王 永，馬鍵濱，陳 燕，何 波

WANG Yong1，2,MAJianbin1,CHEN Yan1,HE Bo2

1.重慶郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400065

2.重慶郵電大學(xué) 電子商務(wù)與現(xiàn)代物流重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065

1.College of Computer Science and Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China

2.Key Laboratory of Electronic Commerce and Logistics,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China

1 引言

流密碼技術(shù)被廣泛用于數(shù)據(jù)傳輸、信息加密等領(lǐng)域，其核心是設(shè)計(jì)安全高效的偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器[1-2]。伴隨著混沌密碼的發(fā)展，時(shí)空混沌系統(tǒng)以其在空間和時(shí)間上具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為的優(yōu)點(diǎn)被應(yīng)用于加密領(lǐng)域。

最近，一些基于混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器算法被提出[3-5]。這些算法分別是基于組合混沌映射、分段非線性映射和高維混沌映射，其設(shè)計(jì)思想均是利用混沌的偽隨機(jī)性來構(gòu)建加密方案。為進(jìn)一步增強(qiáng)混沌系統(tǒng)的性能，一些研究者提出了基于耦合映像格子模型的混沌加密方案[6-8]。然而，這些方案中均存在混沌模型概率密度分布不均勻的問題。針對(duì)上述問題，本文將分段Logistic映射[9]作為改進(jìn)時(shí)空混沌模型的局部映射，通過變耦合系數(shù)的方法，提升混沌系統(tǒng)自身的密碼學(xué)特性，從而提升算法的性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明本文提出的偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生算法具有良好統(tǒng)計(jì)性和效率高的特點(diǎn)，具有很好的應(yīng)用潛力。

2 Logistic混沌映射及分段形式

2.1 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射由于其表達(dá)式簡單，隨機(jī)性能良好，常被用于混沌保密通信的各個(gè)領(lǐng)域，其數(shù)學(xué)表達(dá)公式如下：

其中x0∈(-1,1)，μ∈(1.4,2]時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。

2.2 分段Logistic映射

分段Logistic映射有兩種分段形式[10]，根據(jù)文獻(xiàn)[9-11]中的研究，可知分段Logistic映射具有優(yōu)于Logistic映射的密碼學(xué)性能。因此，為提升Logistic映射的性能，本文提出如下分段Logistic映射，其表達(dá)式如下：

2.3 局部混沌映射的特性分析

本文擬通過對(duì)局部混沌映射性能的提升，從而提升整個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)的性能，為設(shè)計(jì)偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器奠定良好的基礎(chǔ)。

2.3.1 分岔圖

Logistic映射和分段Logistic映射(N=64)的分岔圖如圖1所示。從圖中可以明顯看出分段Logistic映射的倍周期分岔速度比Logistic映射更快。系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)μ的取值范圍更大，更適合用于密碼算法設(shè)計(jì)。

圖1 局部映射的分岔圖

2.3.2 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)用于量度相空間中相近軌道的平均收斂性或平均發(fā)散性。最大Lyapunov指數(shù)（LLE）是描述系統(tǒng)混沌程度的一個(gè)重要指標(biāo)。對(duì)于函數(shù)xn+1=f(xn)的Lyapunov指數(shù)λ表示如下：

根據(jù)公式（3）計(jì)算Logistic映射和分段Logistic映射(N=64)的Lyapunov指數(shù)，Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)μ的變化情況如圖2所示。從圖中可以看出，分段Logistic映射的Lyapunov指數(shù)值大于Logistic映射的Lyapunov指數(shù)值。此外，Logistic映射當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取μ∈（1.4，2]時(shí)具有穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，分段Logistic映射當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取μ∈（0，2]時(shí)具有穩(wěn)定的混沌狀態(tài)。因此，分段Logistic映射運(yùn)動(dòng)軌跡更加不穩(wěn)定，系統(tǒng)混亂程度更高，對(duì)該映射產(chǎn)生序列的分析預(yù)測更加困難，安全性得到提高。

圖2 局部映射的Lyapunov指數(shù)

3 時(shí)空混沌

3.1 時(shí)空混沌模型

本文選用時(shí)空混沌中臨近二維耦合映像格子模型（Nearest-neighboring Coupled Map Lattices，NCML）作為設(shè)計(jì)偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的核心部件，其表達(dá)式為：

其中，n=1,2,3,…,為時(shí)間索引；i=1,2,…,R為模型格子的行坐標(biāo)；j=1,2,…,L為格子的列坐標(biāo)；f(x)為局部混沌映射，ε∈(0,1)為耦合系數(shù)。同時(shí)，設(shè)置式（4）的周期邊界條件為。此處，式（2）所示的分段Logistic映射作為該模型的局部映射，并根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的研究結(jié)果，將N設(shè)置為64。

3.2 模型特性分析

根據(jù)2.3節(jié)中對(duì)比分析局部映射之間的特性差異，進(jìn)而分析時(shí)空混沌模型之間性能的變化。

3.2.1 時(shí)空混沌的Lyapunov指數(shù)

時(shí)空混沌模型中，設(shè)置參數(shù)R=L=8。分別計(jì)算局部映射為Logistic映射和分段Logistic映射的時(shí)空混沌的最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)μ的變化情況如圖3所示?？梢钥闯?，局部映射為分段Logistic映射的時(shí)空混沌系統(tǒng)的混沌特性得到了有效的提升。

圖3 時(shí)空混沌模型的最大Lyapunov指數(shù)

3.2.2 概率密度分布

一個(gè)良好的偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器滿足概率密度均勻分布。混沌映射的概率密度分布能反映混沌映射的優(yōu)劣，決定偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器算法的性能。為此，進(jìn)行如下測試，將區(qū)間[-1，1]等分為1 000區(qū)間，然后迭代混沌映射若干次，統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間內(nèi)狀態(tài)值出現(xiàn)的概率。不同混沌映射的概率密度分布情況如圖4所示，從圖中可以看出，分段Logistic映射的概率密度相較于Logistic映射均不均勻。局部映射為分段Logistic映射和Logistic映射的時(shí)空混沌，概率密度分布在均勻性上有一定的改進(jìn)，但仍然是不均勻的。

圖4 混沌映射的概率密度分布情況

4 偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器

4.1 變耦合強(qiáng)度的時(shí)空混沌模型

為解決3.2.2節(jié)中時(shí)空混沌模型概率密度分布不均勻的缺陷，提出改變時(shí)空混沌耦合系數(shù)的策略，即設(shè)置耦合參數(shù)的下限值為εmin=0.005，上限值εmax=0.7。然后，調(diào)整耦合系數(shù)從εmin到εmax變化，即每迭代一次時(shí)空混沌系統(tǒng)，ε變化一次，具體過程如圖5偽代碼所示。

圖5 ε變化的偽代碼

采用策略后，重新測試局部映射為分段Logistic映射的時(shí)空混沌模型的密度概率分布情況，由圖6可以看出模型概率密度的均勻分布性得到了顯著提高。

圖6 變耦合強(qiáng)度的NCML生成序列的分布情況

4.2 偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器方案

該方案詳細(xì)步驟如下：

步驟1迭代分段Logistic映射產(chǎn)生初始序列{xi}，其中 {xi}={x0,x1,…,xR×L-1}。

步驟2將初始序列{xi}放入時(shí)空混沌中，進(jìn)行NCML迭代一次，得到變化后的{xi}={x0,x1,…,xR×L-1}序列，然后將{xi}中的每一個(gè)狀態(tài)值抽取8個(gè)比特（小數(shù)點(diǎn)后的9至16位）轉(zhuǎn)化為0～255值的序列{Xi}={X0,X1,…,XR×L-1}。

步驟3根據(jù)高級(jí)加密標(biāo)準(zhǔn)（Advanced Encryption Standard，AES）S盒對(duì)步驟2中產(chǎn)生的序列進(jìn)行替換操作，替換操作后的序列{Yi}為NCML當(dāng)前輪次下輸出的偽隨機(jī)數(shù)。其中替換規(guī)則如下：

其中，i=0,1,…,R×L-1；寄存器初值 D取[0，255]內(nèi)的任意值，然后根據(jù)Xi更新寄存器D的值；因此最終得到的偽隨機(jī)序列是{Yi}={Y0,Y1,…,YR×L-1}。

步驟4每循環(huán)一次后，根據(jù)4.1節(jié)中提到方法調(diào)整時(shí)空混沌的耦合系數(shù)ε。

重復(fù)步驟1～3，得到任意長度的偽隨機(jī)序列。

5 算法安全測試與分析

5.1 密鑰空間分析

一個(gè)安全的加密系統(tǒng)應(yīng)該具備足夠大的密鑰空間，一般說來，密鑰空間應(yīng)大于2128。本文算法的密鑰由改進(jìn)的時(shí)空混沌的四個(gè)初始參數(shù)組成，分別為：初始值x0，局部映射的參數(shù)μ，耦合系數(shù)ε，寄存器初值D，其中 x0∈(-1,1),μ∈(0,2],ε∈(0,1),D∈[0,255]，假設(shè)浮點(diǎn)數(shù)精度為10-14，則x0的取值為2×1014可能值中的任意一個(gè)。類似地μ的取值為2×1014可能值中的任意一個(gè)，ε的取值為1014可能值中的任意一個(gè)，D的取值為255范圍內(nèi)的任何整數(shù)值。因此，整個(gè)密鑰空間的大小約為1×1045，則密鑰空間為1×1045＞2128，滿足暴力破解要求。

5.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性，即密鑰很小的一點(diǎn)變化，會(huì)導(dǎo)致密文發(fā)生很大的變化。下面對(duì)密鑰敏感性進(jìn)行如下的測試。

首先改動(dòng)如下：

Case1密鑰初始值 x0由0.123 456 789更改為x0+Δx；

Case2將μ由2更改為μ-Δμ；

Case3將 ε0由0.05更改為 ε0+Δε；

Case4將D由3更改為4。

其中，Δx=10-14,Δμ=10-14,Δε=10-14。然后比較改變前后生成序列之間的差別。量化差別，測試序列之間的相關(guān)性。分別在四種情況下循環(huán)100次時(shí)空混沌得到一個(gè)6 400偽隨機(jī)數(shù)的序列，與原序列進(jìn)行測試，得到的結(jié)果如表1所示。

表1 原序列和4個(gè)序列之間的相關(guān)系數(shù)

從表1可以看出所有的相關(guān)系數(shù)非常小，這意味著沒有檢測到原序列和4個(gè)序列之間存在相關(guān)性。因此，該方案具有很高的密鑰敏感性。

5.3 偽隨機(jī)序列的測試與隨機(jī)性對(duì)比分析

美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院（National Institute of Standards and Technology，NIST）提供了15個(gè)檢測指標(biāo)[12]，鑒別一個(gè)隨機(jī)或偽隨機(jī)序列是否為隨機(jī)序列。將偽隨機(jī)序列中的數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制序列進(jìn)行測試，每項(xiàng)測試指標(biāo)歸一化后的檢測結(jié)果被稱之為P_value值。預(yù)先設(shè)置閾值α，若P_value值大于閾值α，則表明方案產(chǎn)生序列的隨機(jī)性具有1-α的可信度。設(shè)置α為0.01，這表明若序列通過測試，則其隨機(jī)性具有99%的可信度。因此，通過本文方案得到2 000條長度為1 000 000比特的序列，測試每個(gè)序列的15個(gè)檢測指標(biāo)，均通過了檢測，各指標(biāo)的P_value值如表2所示。測試本文與文獻(xiàn)[13-14]算法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列的15項(xiàng)指標(biāo)的P_value值如表3所示。從表中對(duì)比可知，各項(xiàng)指標(biāo)的值非常接近，并且本文算法產(chǎn)生的隨機(jī)序列測試的FBT、BMRT等值大于上述文獻(xiàn)算法中的值。另一方面，統(tǒng)計(jì)不同算法產(chǎn)生的100條隨機(jī)序列，進(jìn)而比較序列的通過率，本文算法產(chǎn)生序列的各項(xiàng)指標(biāo)通過率為99.29%，略高于文獻(xiàn)[13]的98.82%，表明本文算法產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列有更好的隨機(jī)性。

表3 算法結(jié)果對(duì)比

5.4 速度對(duì)比分析

本算法中，迭代一次時(shí)空混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生64個(gè)字節(jié)的偽隨機(jī)數(shù)，對(duì)每一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)取小數(shù)點(diǎn)后8比特位，即512比特偽隨機(jī)序列段。而如果用混沌密碼典型的迭代和取整操作，產(chǎn)生64字節(jié)的偽隨機(jī)數(shù)則需要迭代時(shí)空混沌映射系統(tǒng)16次。最近，一些基于混沌映射的偽隨機(jī)數(shù)生成器方案[9，15-16]被提出。其中，文獻(xiàn)[15]是基于Logistic映射的；文獻(xiàn)[16]中的三種算法是基于時(shí)空混沌系統(tǒng)的。為了驗(yàn)證不同方案產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)序列的效率，分別在一臺(tái)配置為3.30 GHz Intel Core i5-4590 CPU，8 GB RAM電腦，操作系統(tǒng)為Win 7，在Visual C++6.0平臺(tái)下實(shí)現(xiàn)本文和文獻(xiàn)中的算法。算法的運(yùn)行速度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示，從表中可以看出本文提出的方案在效率上得到了極大的提高。

表4 產(chǎn)生偽隨機(jī)序列算法的運(yùn)行速度

6 結(jié)束語

在本文方案中，為獲得更好的復(fù)雜性，對(duì)時(shí)空混沌模型進(jìn)行分析，為得到良好的混沌特性，將時(shí)空混沌的局部映射進(jìn)行了改進(jìn)，即分段Logistic映射。分別測試改進(jìn)后混沌映射的相關(guān)特性，結(jié)果表明本文方案在Lyapunov指數(shù)、概率密度分布等方面都有很好的改進(jìn)，從而產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列安全性和效率得到提高。實(shí)驗(yàn)表明本文的加密方案能產(chǎn)生良好性能的偽隨機(jī)序列。

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