彭志穎，夏海寶，許蘊(yùn)山

PENG Zhiying,XIAHaibao,XU Yunshan

空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，西安 710038

College ofAeronautics andAstronautics Engineering,Air Force Engineering University,Xi’an 710038,China

1 引言

非線性濾波源自含噪聲觀測(cè)值的非線性隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，圍繞Arasaratnam等[1]提出的非線性高斯濾波框架，發(fā)展出了一系列次優(yōu)非線性濾波方法[2]，如文獻(xiàn)[3-7]中提出的擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）、無(wú)跡卡爾曼濾波（UKF）、中心差分卡爾曼濾波（CDKF）等非線性濾波算法，其中Jia等提出的高階容積卡爾曼濾波算法（CKF）[8]及其高階形式憑借良好的濾波性能而得到廣泛應(yīng)用。然而，當(dāng)系統(tǒng)存在模型不確定性或狀態(tài)突變時(shí)，CKF算法中的增益矩陣對(duì)預(yù)測(cè)殘差突變反應(yīng)滯后，導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)估計(jì)精度急劇下降。

強(qiáng)跟蹤濾波（STF）基于正交理論，通過(guò)自適應(yīng)漸消因子(λk)實(shí)時(shí)調(diào)整增益矩陣，具有較強(qiáng)的魯棒性和應(yīng)對(duì)狀態(tài)突變等不確定因素的能力。文獻(xiàn)[9]針對(duì)模型不確定時(shí)CKF精度下降問(wèn)題，將STF和CKF相結(jié)合，提出自適應(yīng)容積卡爾曼濾波（ACKF）算法。文獻(xiàn)[10]針對(duì)STF的理論局限以及基于UT變換的強(qiáng)跟蹤濾波器（UTSTF）處理高維非線性系統(tǒng)時(shí)濾波精度下降甚至發(fā)散等問(wèn)題，提出一種基于CKF的強(qiáng)跟蹤濾波器（CKFSTF）。文獻(xiàn)[9-10]中的強(qiáng)跟蹤算法具有一定的自適應(yīng)濾波能力，但是所提算法仍然采用三階球面-徑向容積規(guī)則，其濾波精度只能達(dá)到泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的三階項(xiàng)，尤其對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，基于此種容積準(zhǔn)則的CKF算法估計(jì)精度有限[11]。文獻(xiàn)[11]基于任意階的全對(duì)稱球面插值準(zhǔn)則和矩匹配原理提出了一種自適應(yīng)高階容積卡爾曼濾波（AHCKF）算法，在帶有狀態(tài)突變的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中獲得良好的估計(jì)效果，但構(gòu)造方式復(fù)雜，不易向高階擴(kuò)展，協(xié)方差矩陣易失去正定性，出現(xiàn)濾波中斷的現(xiàn)象。

為解決上述問(wèn)題，本文提出一種自適應(yīng)廣義高階容積卡爾曼濾波（AGHCKF）方法。首先給出廣義高階容積準(zhǔn)則[12]，證明其相對(duì)三階容積準(zhǔn)則具有更高的估計(jì)精度，與高階容積準(zhǔn)則相比具有相近的估計(jì)精度，但擴(kuò)展性更好的特點(diǎn)；將廣義高階容積卡爾曼濾波算法（GHCKF）與非線性STF相結(jié)合，并采用矩陣對(duì)角化變換代替?zhèn)鹘y(tǒng)的喬勒斯（Cholesky）分解進(jìn)行協(xié)方差矩陣的分解，提出AGHCKF方法，并給出其具體算法流程。最后將提出的算法應(yīng)用于帶有未知狀態(tài)突變的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題并進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真實(shí)驗(yàn)表明了所提算法的有效性和可行性。

2 容積準(zhǔn)則

2.1 容積卡爾曼濾波

考慮如下形式的離散非線性系統(tǒng)：

其中，xk∈?nx和zk∈?nz分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量和量測(cè)向量；f(·)和h(·)為已知的非線性函數(shù)；ωk-1和vk為獨(dú)立的零均值系統(tǒng)狀態(tài)高斯白噪聲和系統(tǒng)量測(cè)高斯白噪聲，分別滿足，其中δkl是Kronecker-δ函數(shù)；初始狀態(tài) x0與ωk和vk不相關(guān)；uk∈?nu為控制輸入向量。

非線性濾波難點(diǎn)在于求解形如：

的非線性函數(shù)與高斯概率密度函數(shù)的數(shù)值積分問(wèn)題。其中，Θ∈?n表示積分區(qū)域，x為狀態(tài)變量x的估計(jì)值，P為x的方差。文獻(xiàn)[1]將貝葉斯估計(jì)理論與球面-徑向容積準(zhǔn)則相結(jié)合，推導(dǎo)出CKF方法，得到三階球面-徑向容積準(zhǔn)則：

其中，n表示應(yīng)用對(duì)象的階數(shù)，表示容積點(diǎn)，ωi=1/(2n)為容積點(diǎn)的權(quán)值，[1]i∈?n表示完全對(duì)稱點(diǎn)集[1]的第i個(gè)元素。

傳統(tǒng)CKF中正的容積點(diǎn)權(quán)值會(huì)導(dǎo)致估計(jì)點(diǎn)越界或者產(chǎn)生形式復(fù)雜的估計(jì)點(diǎn)[13]；當(dāng)n足夠大時(shí)，容積點(diǎn)ξi可能超出積分區(qū)域，另外，將球面-徑向積分進(jìn)行高階拓展需同時(shí)提升容積準(zhǔn)則和高斯-拉蓋爾準(zhǔn)則的階數(shù)，并計(jì)算n維超球體的面積分，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，導(dǎo)致CKF算法的高階擴(kuò)展性較差。

2.2 廣義容積準(zhǔn)則

考慮實(shí)數(shù)域?n上積分：

對(duì)式（4）進(jìn)行計(jì)算，選取前兩條G-軌跡[14]，構(gòu)成如下完全對(duì)稱形式的積分公式。

其中，和是相對(duì)于 G-軌跡[0]和 [u1]的權(quán)值，n為系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)。其中[u1]i具有如下形式：

考慮g在集合{1,}上的積分值，可得：

其中：

由于u1、W0和W1為未知量，式（6）為欠定方程組，有無(wú)窮多組解。當(dāng)取時(shí)，得到，狀態(tài)噪聲和量測(cè)噪聲均值為零，將積分變換至標(biāo)準(zhǔn)高斯分布：

其中，0和I分別為零矩陣和單位矩陣，容積點(diǎn)，權(quán)值ωi=1/(2n)，且 i=1,2,…,2n，n為系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)。該結(jié)論與三階球面-徑向容積準(zhǔn)則推導(dǎo)的結(jié)果完全一致。

可以看到，通過(guò)選取不同u1值，可構(gòu)造出無(wú)窮多包含(2n+1)個(gè)點(diǎn)的CKF算法，但僅由2n個(gè)容積點(diǎn)組成的CKF是唯一存在的，且形式上與三階球面-徑向容積準(zhǔn)則結(jié)果完全一致?？梢?jiàn)，傳統(tǒng)的容積準(zhǔn)則實(shí)際是廣義容積準(zhǔn)則的一個(gè)特例。

2.3 廣義高階容積準(zhǔn)則

為構(gòu)造GHCKF，分別選取第一、第二及第三G-軌跡，構(gòu)成如下廣義五階容積積分公式[14]：

其中是 G-軌跡[u1,u1]的權(quán)值。利用式（10）計(jì)算{1,,,|i≠j}的積分。

其中，I0和 I2分別由式（7）和式（8）給出。 I4和 I2,2為：

方程組（11）中，僅有 u1、、和四個(gè)未知，求解可得唯一解：

將式（10）變換至標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，可得：

其中容積點(diǎn)和權(quán)值分別為：

將式（15）～式（17）置于卡爾曼濾波框架下，即可得到標(biāo)準(zhǔn)GHCKF算法。具體算法流程參考文獻(xiàn)[14]，限于篇幅，在此不再贅述。下面給出三階球面-徑向容積準(zhǔn)則和廣義高階容積準(zhǔn)則的逼近誤差分析。

（1）若函數(shù)g(x)無(wú)法被精確到三階的多項(xiàng)式擬合時(shí)，會(huì)產(chǎn)生逼近誤差，誤差主要來(lái)源于四階項(xiàng)，其中i,j=1,2,…,n，且d=0,1,…,n。不失一般性，考慮四階項(xiàng)（其中 i≠1），則球面-徑向容積準(zhǔn)則的估計(jì)誤差為：

形如的四階項(xiàng)，因其含有坐標(biāo)變量的奇次項(xiàng)，故積分為零。則x1-軸的總逼近誤差可表示為：

其中，c1為四階項(xiàng)的系數(shù)，c1ir1i是互誤差項(xiàng)在x1-軸的投影。

（2）廣義高階容積準(zhǔn)則主要誤差來(lái)源于六階項(xiàng),i,j=1,2,…,n;d=0,1,…,6。不失一般性，考慮六階項(xiàng)和，相應(yīng)的得出x1-軸的逼近誤差為：

其中，為單項(xiàng)式的系數(shù)，和分別是互誤差項(xiàng)及的積分在x1-坐標(biāo)軸的投影。

與式（18）相比，式（19）的逼近誤差的分母要大得多，且誤差不隨狀態(tài)空間的維數(shù)增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。因此，基于廣義五階容積準(zhǔn)則的GHCKF比基于傳統(tǒng)球面-徑向容積準(zhǔn)則的CKF估計(jì)精度更高。通過(guò)選取更高階的G-軌跡，可構(gòu)造出任意階的廣義高階容積濾波算法，具有良好的高階擴(kuò)展性。

對(duì)文獻(xiàn)[8]中的高階容積準(zhǔn)則和本文中的廣義高階容積準(zhǔn)則進(jìn)行分析。二維情況下兩種容積準(zhǔn)則在第一象限的Sigma點(diǎn)如圖1所示。

圖1 二維情況下高階容積變換在第一象限的Sigma點(diǎn)

將圖1中二維情況推廣到n維空間，可以看出兩種準(zhǔn)則都需要三類Sigma點(diǎn)：第一類Sigma點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)為1；第二類Sigma點(diǎn)對(duì)稱地分布在與原點(diǎn)距離相同的n條坐標(biāo)軸上，點(diǎn)數(shù)為2n；第三類Sigma點(diǎn)對(duì)稱地分布于(0 ,…,±s1k,…,±s1l,…)T（第 k個(gè)和第 l個(gè)元素不為0，k＜l，k,l=1,2,…,n），點(diǎn)數(shù)為 2n(n -1)。兩者的容積點(diǎn)個(gè)數(shù)都為2n2+1，區(qū)別僅在于各個(gè)Sigma點(diǎn)的權(quán)值不同。從而兩種高階容積準(zhǔn)則具有相近的估計(jì)精度。

3 自適應(yīng)廣義高階容積卡爾曼濾波

3.1 非線性強(qiáng)跟蹤算法

STF原理是通過(guò)在預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣Pk|k-1中引入一個(gè)自適應(yīng)漸消因子λk，達(dá)到在線調(diào)整增益矩陣Kk的目的，濾波器需要滿足2個(gè)條件：

式（20）使得濾波器滿足最小方差估計(jì)的性能指標(biāo)。式（21）強(qiáng)迫濾波器的殘差序列時(shí)刻保持正交，克服了濾波器在遇到模型不確定或者狀態(tài)突變等情況時(shí)，因?yàn)闅埐钚蛄胁徽唬瑢?dǎo)致濾波器性能下降的問(wèn)題[8-9]，使得強(qiáng)跟蹤濾波器對(duì)模型不確定性有較強(qiáng)的魯棒性，對(duì)狀態(tài)突變有較強(qiáng)的跟蹤能力。

非線性STF算法核心結(jié)構(gòu)為：

式中，為k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值；zk為k時(shí)刻的量測(cè)值，Kk為濾波增益，ek為量測(cè)殘差。λk的計(jì)算方法為：

式中，和分別為不考慮和考慮λk和vk-1的狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差的協(xié)方差陣，滿足=+；為未考慮λk的互協(xié)方差矩陣；為積分權(quán)值，如式（16）；為不考慮λk的狀態(tài)一步預(yù)測(cè)產(chǎn)生的容積點(diǎn)；是由得到的預(yù)測(cè)量測(cè)值，如式（33）～式（37）；Nk、Mk、Hk和V0,k均為計(jì)算過(guò)程參數(shù)矩陣；弱化因子β=3，ρ為遺忘因子，取ρ=0.95。

3.2 自適應(yīng)廣義高階容積卡爾曼濾波

以GHCKF為框架，將STF中的λk引入到時(shí)間和測(cè)量更新方程中構(gòu)造AGHCKF，如圖2所示。

圖2 AGHCKF算法流程圖

在構(gòu)造AGHCKF算法過(guò)程中，由于計(jì)算誤差、舍入誤差和模型失準(zhǔn)等原因，協(xié)方差矩陣易失去正定性，導(dǎo)致濾波中斷?？紤]到協(xié)方差矩陣的平方根形式保留了協(xié)方差矩陣的特征空間信息，可使協(xié)方差傳遞更加準(zhǔn)確；矩陣對(duì)角化變換不要求協(xié)方差矩陣正定，可避免協(xié)方差矩陣非正定引起的濾波中斷。本文將矩陣對(duì)角化變換引入算法的時(shí)間和量測(cè)更新過(guò)程，以提高AGHCKF的濾波精度和穩(wěn)定性。

假設(shè)k-1時(shí)刻的狀態(tài)向量xk-1的后驗(yàn)概率密度函數(shù)滿足，誤差協(xié)方差陣的特征平方根初值。則得到AGHCKF算法如下：

（1）時(shí)間更新

①計(jì)算容積點(diǎn)Xi,k-1|k-1(i=1,2,…,2n)

②計(jì)算由狀態(tài)方程傳播后的容積點(diǎn)

③計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值

④計(jì)算未引入漸消因子的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣

⑤計(jì)算的矩陣對(duì)角化變換

其中上標(biāo)l表示未加入漸消因子。

（2）計(jì)算自適應(yīng)漸消因子

將式（34）、式（38）代入式（27）求取 Hk的等價(jià)表述，再利用式（23）～（26）、式（28）和式（29）求取自適應(yīng)漸消因子λk。

①計(jì)算引入漸消因子后的協(xié)方差矩陣Pk|k-1

②計(jì)算由Pk|k-1生成的容積點(diǎn)

（3）量測(cè)更新

①計(jì)算k時(shí)刻的量測(cè)預(yù)測(cè)值

②計(jì)算k時(shí)刻引入漸消因子的量測(cè)誤差協(xié)方差陣Pzz,k|k-1和引入漸消因子的預(yù)測(cè)互相關(guān)協(xié)方差陣Pxz,k|k-1。

③計(jì)算濾波增益矩陣Kk

④當(dāng)前時(shí)刻k的濾波狀態(tài)值

4 數(shù)值仿真

將AGHCKF算法應(yīng)用到具有未知機(jī)動(dòng)的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，并與CKF、GHCKF、交互式多模型-容積卡爾曼濾波器（IMM-CKF）[15]和ACKF進(jìn)行對(duì)比。定義地面坐標(biāo)系o-xyz的原點(diǎn)位于地面，ox指向東向，oy指向北向，oz指向天向。假設(shè)目標(biāo)以未知角速度Ω等高度機(jī)動(dòng)飛行，飛行高度h=10 000 m，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)由如下模型描述：

其中，為 k 時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)和為目標(biāo)的位置和速度矢量；Ω為未知的目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角速度；uk-1為機(jī)動(dòng)輸入；高斯白噪聲vk-1～N(0,Qk)，協(xié)方差矩陣Qk=diag(M1,M1,M2),其中M1=q1T[T2/3,T/2;T/2,1]，M2=q2TI，q1=0.1 m2s-3和 q2=1.75×10-4s-3為過(guò)程噪聲強(qiáng)度參數(shù)；T=1 s為量測(cè)時(shí)間間隔。

地面坐標(biāo)系原點(diǎn)的測(cè)量雷達(dá)獲取目標(biāo)斜距η和方位角θ的信息。測(cè)量向量為 yk=[ηkθk]T，滿足

其中wk～N(0,Rk)為量測(cè)噪聲，Rk=diag()為其協(xié)方差陣，ση=10 m 和為雷達(dá)斜距量測(cè)噪聲和方位角量測(cè)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

假設(shè)初始時(shí)刻t0=1 s，目標(biāo)分別在t=25 s和t=75 s進(jìn)行一次加強(qiáng)機(jī)動(dòng)，持續(xù)時(shí)間2 s，大小為：

進(jìn)行200次蒙特卡洛打靶實(shí)驗(yàn)，打靶時(shí)間為100 s，初值 X0=[1 000 m,300 ms-1,1 000 m,0 ms-1,-3°s-1]T，P0|0=diag[100 m210 m2s-2100 m210 m2s-2100 mrad2s-2],角速度設(shè)置為Ω=-3°/s。每次實(shí)驗(yàn)的初始狀態(tài)估計(jì)由滿足均值為、協(xié)方差為 P0|0的高斯正態(tài)分布N(;P0|0)隨機(jī)生成。分別采用 CKF、GHCKF、IMM-CKF、ACKF和AGHCKF對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。其中IMM-CKF采用勻速運(yùn)動(dòng)模型（CV）和協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎模型（CA）來(lái)描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，模型初始化概率μ0={0.9 0.1}，模型轉(zhuǎn)移概率：

定義位置均方根誤差和均方根誤差均值分別為：

其中，(,)和(,)分別為第i次打靶時(shí)第 k時(shí)刻的目標(biāo)真實(shí)位置分量和估計(jì)值；N為打靶次數(shù)。同理，可以定義速度均方根誤差RMSEvel和均方根誤差均值MRMSEvel以及轉(zhuǎn)速均方根誤差RMSEomg和均方根誤差均值MRMSEomg。

圖3為目標(biāo)的“C”型平面運(yùn)動(dòng)軌跡，圖中，“I”表示軌跡起點(diǎn)，“F”表示軌跡終點(diǎn)，“○”表示目標(biāo)機(jī)動(dòng)位置。圖4為第一次機(jī)動(dòng)時(shí)五種算法的目標(biāo)跟蹤軌跡，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，AGHCKF算法所估計(jì)的跟蹤軌跡與真實(shí)軌跡最為貼近，具有較強(qiáng)的抗干擾能力和更高的跟蹤精度。

圖3 “C”型平面運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 第一次機(jī)動(dòng)時(shí)五種算法的目標(biāo)跟蹤軌跡（局部圖）

圖5 至圖7為5種濾波方法對(duì)目標(biāo)位置、速度和轉(zhuǎn)速的均方根誤差的對(duì)比結(jié)果。

圖5 目標(biāo)位置的估計(jì)均方根誤差

由仿真結(jié)果可以看出本文所提AGHCKF算法對(duì)于目標(biāo)位置、速度和轉(zhuǎn)速的估計(jì)均具有較小的均方根誤差，濾波效果較好。

圖7 目標(biāo)轉(zhuǎn)速的估計(jì)均方根誤差

目標(biāo)在第25 s和75 s加強(qiáng)機(jī)動(dòng)時(shí)，CKF和GHCKF的估計(jì)誤差立即增大，且收斂緩慢。原因是狀態(tài)突變后，目標(biāo)真實(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與運(yùn)動(dòng)模型不再匹配，基于模型的時(shí)間更新過(guò)程引入較大誤差，協(xié)方差陣無(wú)法準(zhǔn)確反映目標(biāo)真實(shí)狀態(tài)，也不能根據(jù)測(cè)量信息進(jìn)行調(diào)整，算法的估計(jì)性能受到影響，跟蹤精度下降。IMM-CKF算法雖然使用交互的多個(gè)模型描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，仍無(wú)法準(zhǔn)確描述目標(biāo)的突變過(guò)程，不精確和不完備的模型集合導(dǎo)致誤差仍然較大。ACKF和AGHCKF的估計(jì)誤差增大幅度較小，雖然目標(biāo)狀態(tài)的突變導(dǎo)致了系統(tǒng)模型失準(zhǔn)，但由殘差的方差陣而得到的λk根據(jù)殘差的變化實(shí)時(shí)調(diào)整增益矩陣Kk，提取殘差序列中的有效信息，迫使輸出的殘差序列正交，較為準(zhǔn)確的測(cè)量信息在測(cè)量更新中的比重得到提高，降低了模型失準(zhǔn)造成的狀態(tài)一步預(yù)測(cè)估計(jì)誤差的比重，提高了跟蹤精度。同時(shí)，AGHCKF采用更精確的容積準(zhǔn)則，其計(jì)算精度優(yōu)于ACKF。

表1定量分析了5種方法對(duì)目標(biāo)位置、速度和轉(zhuǎn)速的濾波均方根誤差均值MRMSE、使用的容積點(diǎn)個(gè)數(shù)?？梢钥闯?，5種算法均能有效處理文中給出的強(qiáng)非線性系統(tǒng)。（1）對(duì)于采用三階容積規(guī)則的ACKF、IMM-CKF、CKF，均可以達(dá)到三階精度，但ACKF加入了自適應(yīng)漸消因子，濾波器可以更好地處理狀態(tài)突變的情況，因此具有更高的濾波精度；（2）ACKF和AGHCKF均在算法當(dāng)中加入了自適應(yīng)因子，對(duì)于系統(tǒng)存在較大狀態(tài)突變的問(wèn)題，兩者均能取得較高的濾波精度，但是采用廣義高階容積規(guī)則的AGHCKF表現(xiàn)明顯優(yōu)于ACKF，這也進(jìn)一步證實(shí)了廣義高階容積準(zhǔn)則在濾波精度方面的優(yōu)越性。

表1 5種濾波方法的均方根誤差均值對(duì)比

圖8對(duì)比了5次仿真中各濾波方法計(jì)算所消耗的CPU時(shí)間。IMM-CKF采用多模型進(jìn)行濾波增加了計(jì)算量，需要較長(zhǎng)的執(zhí)行時(shí)間。而GHCKF和AGHCKF因?yàn)樵跁r(shí)間更新和測(cè)量更新計(jì)算中采用51個(gè)容積點(diǎn)，因此執(zhí)行時(shí)間大于其他3種方法。同時(shí)λk的引入也增加AGHCKF的計(jì)算量。

圖8 5種濾波方法的執(zhí)行時(shí)間

5 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于廣義高階容積規(guī)則和矩陣對(duì)角化變換的AGHCKF算法。通過(guò)引入STF方法中的自適應(yīng)漸消因子，減少了因系統(tǒng)狀態(tài)突變?cè)斐傻墓烙?jì)精度下降的幅度。將該方法用于具有狀態(tài)突變的目標(biāo)跟蹤中，仿真結(jié)果表明，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生加強(qiáng)機(jī)動(dòng)時(shí)，AGHCKF相對(duì)于CKF和GHCKF具有更強(qiáng)的魯棒性和系統(tǒng)自適應(yīng)能力，且估計(jì)精度和狀態(tài)跟蹤能力也優(yōu)于IMM-CKF和ACKF，表現(xiàn)出良好的濾波性能。

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