孫小義，張賢勇，李 露

SUN Xiaoyi1，2,ZHANG Xianyong1，2,LI Lu1，2

1.四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院，成都 610066

2.四川師范大學 智能信息與量子信息研究所，成都 610066

1.College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China

2.Institute of Intelligent Information and Quantum Information,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,China

1 引言

粗糙集理論[1]是一種處理不精確、不一致、不完整信息與知識的數(shù)學工具，也是一種重要的智能信息處理技術。粗糙集理論最初的原型來源于比較簡單的信息模型，它的基本思想是通過關系數(shù)據(jù)庫分類歸納形成概念和規(guī)則，通過等價關系的分類以及分類對于目標的近似去獲得知識發(fā)現(xiàn)。目前，該理論已成為人工智能領域中一個較新的學術熱點，在機械學習、認知診斷、數(shù)據(jù)挖掘、知識獲取、決策分析等許多領域[2-6]得到了廣泛的關注，并應用于醫(yī)療衛(wèi)生、地質環(huán)境、機械制造、交通運輸?shù)刃袠I(yè)[7-10]。

經(jīng)典粗糙集是在等價關系下定義粗糙近似算子。研究一般二元關系下的粗糙近似算子，比如探討基于自反、對稱、傳遞的粗糙近似算子，擴寬了對經(jīng)典粗糙集的適用范圍。近年來，許多作者研究了基于新二元關系的廣義粗糙集[11-13]。

文獻[1]的起源Pawlak粗糙集的上下近似集與拓撲空間中集合的內部與閉包在本質上是相同的，且文獻[14]表明：經(jīng)典粗糙集和以劃分為基的拓撲空間是吻合的。由此，粗糙集的拓撲研究具有學術意義[15-16]，粗糙集理論與拓撲的結合得到很多研究[17-18]。文獻[19]針對自反傳遞關系，證明下近似集族組建拓撲，上下近似集即為拓撲閉包與內部。文獻[20]針對自反關系θ，證明集族

構成拓撲（其中U為非空有限論域，2U為論域冪集，θ-(X)為下近似集）；當θ自反對稱則拓撲（1）還滿足（sym）條件，若有拓撲滿足（clop）條件則存在自反對稱關系θ使得拓撲（1）即為該拓撲；若有拓撲滿足（comp）條件，則存在自反傳遞關系誘使下近似集即為該拓撲內部。文獻[21]證明自反傳遞關系與滿足（COMP）緊條件的拓撲具有一一對應，若θ自反傳遞則拓撲（1）滿足（COMP）條件，其中論域不局限于有限性。文獻[22]指出，自反傳遞誘導的拓撲與滿足（COMP）條件的拓撲皆是Alexandrov拓撲。文獻[23]通過閉包與內部算子研究模糊粗糙集的拓撲結構，證明了自反、傳遞關系下的近似空間中模糊集的上、下近似算子分別為一個模糊拓撲的閉包、內部算子，且相應的模糊拓撲滿足（TC）條件；反之，滿足（TC）條件的模糊拓撲的閉包與內部算子也恰為一自反、傳遞關系下的近似空間中的上、下近似算子。此外，文獻[24-25]基于邏輯代數(shù)和模糊粗糙來建立粗糙集與拓撲空間的聯(lián)系，得到許多相應的性質。

綜上，粗糙集主要通過二元關系密切聯(lián)系著拓撲。事實上，二元關系通常涉及自反性、對稱性、傳遞性，該三性關系的層次結構如圖1?；趫D1，粗糙集一般是由等價關系（即三性）定義粗糙近似算子，但等價關系性質太強；反之，單做一個（自反、對稱、傳遞）關系則性質太弱；所以，雙關系探討是一個可行方向，如上述文獻[19，21-23]對自反對稱、自反傳遞具有詳細研究。特別地，自反關系比較平凡，不太具有核心性，在性質上弱于對稱關系與傳遞關系。此外，對稱傳遞關系的雙性研究罕見文獻報道。對此，本文將結合對稱性與傳遞性來研究相關粗糙集近似，其具有完善雙性研究的基本動機。具體地，本文主要研究基于對稱傳遞關系的誘導拓撲及其可數(shù)性，以進一步揭示粗糙集與拓撲深刻聯(lián)系。

圖1 自反、對稱、傳遞三性關系的三層結構

2 粗糙集與拓撲的預備

2.1 粗糙集預備

本節(jié)回顧粗糙集的近似集及其性質。有限論域U與二元關系R?U×U組建了廣義近似空間(U,R)，其中觀測集為X,Y?U。

定義1[1]X關于R的上下近似集為：

其中為x關于R的后繼鄰域。相應地，稱為上下近似算子。

命題1[1]上下近似集（及算子）具有如下性質：

基于二元關系，近似集采用了后繼鄰域與元素的形式，相關性質聚焦集合運算與二元關系，泛化與弱化了基于等價關系的性質。

2.2 拓撲預備

本節(jié)復習拓撲概念與可數(shù)性質。

定義2[26]設集族T?2U滿足開集公理：

則稱T為U上的拓撲，(U,T)為拓撲空間，其中T的每個集元稱為開集，開集的補集則為閉集。

定義3[26]設映射i:2U→2U滿足內部公理：

則i稱為U上的內部算子，其中i(X)稱為集合X的內部。類似地，四個條件

確定的映射c:2U→2U稱為U上的閉包算子，其中c(X)稱為集合X的閉包。

拓撲是一種包含空集全集且對有限交與無限并封閉的集族結構。其內部與閉包從內外雙向界定觀測集合，緊密地關聯(lián)著粗糙集上下近似集的雙向逼近[19]。拓撲主要關注在同胚映射下的不變性質，下面介紹可數(shù)性拓撲性質。

定義4[26]在拓撲空間(U,T)中，子族B?T稱為基，若

拓撲空間若具有可數(shù)基（即有限個開集組成的基），則稱為第二可數(shù)。

定義5[26]在拓撲空間(U,T)中，記N(x)為點x∈U的鄰域系，子族B(x)?N(x)稱為x的鄰域基，若

拓撲空間滿足每點具有可數(shù)鄰域基，則稱為第一可數(shù)。

對拓撲可數(shù)性，第二可數(shù)與第一可數(shù)分別由可數(shù)基與可數(shù)鄰域基定義；此外，還可以基于可數(shù)稠密子集與可數(shù)子開覆蓋分別定義可分空間與Lindelof空間。這四種特征均為拓撲性質。下面的結論表明，第二可數(shù)蘊含其他可數(shù)性，具有基礎性。

定理1[26]第二可數(shù)拓撲空間性必是第一可數(shù)拓撲空間、可分拓撲空間、Lindel of拓撲空間。

在第二可數(shù)條件下，四種可數(shù)特征均具有對于子空間的遺傳性。對乘積空間，第二可數(shù)性、第一可數(shù)性、可分性均具有可數(shù)可乘性，但Lindel of性不具有可乘性。

3 基于對稱傳遞關系的近似集與拓撲

3.1 基于對稱傳遞關系的近似集

本節(jié)討論基于對稱傳遞二元關系的近似集。下面主要采用文獻[20-21]的記號風格，以區(qū)分2.1節(jié)中通常二元關系R及其近似集。具體地，這里設θ為滿足對稱性與傳遞性的二元關系，并用θ+與θ-標注上下近似集，而為上下近似算子。

引理1。

定理2X的上下近似集為：

基于定義1與對稱傳遞，引理1提供了單點集{}x的上近似集θ+{x}，其作為核心因素刻畫了通常集合的上下近似（定理2）。進而，近似集具有如下基本性質，其深化了命題1所述性質。

命題2關于對稱傳遞關系θ，上下近似集（及算子）具有如下性質：

3.2 基于對稱傳遞關系的拓撲

本節(jié)利用對稱傳遞關系誘導拓撲，并給出內部與閉包關聯(lián)于近似集的性質。

定義6定義對稱傳遞關系θ的誘導集族：

在下述拓撲意義下，Tθ稱為θ誘導拓撲。

定理3Tθ是U上的拓撲。

證明（1）?,U∈Tθ是顯然的。

（2）設。 x∈X 且 x∈Y ，故，即

（3）設。因此

綜上三條，Tθ成為U上的拓撲。

關于構建思路，對稱傳遞關系θ首先確立單元上近似集θ+{x}（引理1），θ+{x}進而激發(fā)拓撲Tθ（定理3）。根據(jù)公式（9），其中開集包含它所有元素的單元集上近似。

定理4在拓撲空間(U,Tθ)中，內部算子i與閉包算子c具有如下性質：

其中，孤立點指沒有在對稱傳遞關系θ的序對集合里出現(xiàn)的元素。

定理4刻畫了Tθ內部與閉包，表明了在對稱傳遞關系下粗糙集與拓撲的關系。誘導拓撲空間(U,Tθ)中的內部與閉包主要分別對應廣義近似空間(U,Tθ)的下上近似集；但是，其中存在關于孤立點的描述差異，這主要根源于二元關系θ不一定具有自反性。相應地，內部閉包公式（10）（11）涉及到觀測集與孤立點的四種關系。這四種關系其實可以部分界定Tθ開集與閉集，結論如下。

推論1（1）X內含所有孤立點時，θ-(X)為Tθ拓撲開集；

（2）當 X 外含有孤立點 x時，為Tθ拓撲開集；

（3）當X外含所有孤立點時，θ+(X)為Tθ拓撲閉集；

（4）當 X 內含孤立點 x 時為Tθ拓撲閉集。

4 對稱傳遞關系的誘導拓撲的基、鄰域基、可數(shù)性

4.1 Tθ誘導拓撲的基與鄰域基

本節(jié)提供誘導拓撲Tθ的基與鄰域基，為后續(xù)可數(shù)性研究奠定基礎。

引理2

證明?y∈θ+{x}有 x∈θs(y)，即(y,x)∈θ。若 ?z∈θ+{y},則有 y∈θs(z)，即(z,y)∈θ。由 θ傳遞性，(z,x)∈θ，即 x∈θs(z)。因此，z∈θ+{x}，θ+{y}?θ+{x}，進而θ+{x}∈Tθ。

定理5是誘導拓撲Tθ的一個基，且為最小基（即 Bθ?B′θ若 B′θ是Tθ的任意基）。

定理6是誘導拓撲Tθ在點x∈U處的一個鄰域基，且為最小鄰域基（即Bθ(x)?B′θ(x)若B′θ(x)是Tθ在點 x 處的任意鄰域基）。

證明Bθ是拓撲Tθ的一個基，則對任意x∈U及其任意鄰域N(x)，存在x的一個開鄰域U(x)使得U(x)?N(x)。根據(jù)U(x)的開集性與基的定義，Bθ(x)?Bθ使得 U(x)=∪B∈Bθ(x)B 。由 x∈∪B∈Bθ(x)B 存在 L(x)∈Bθ(x)?Bθ使得因此，Bθ(x)是x的一個鄰域基。此外，Bθ(x)的最小基性容易證明。

這里，定理5與定理6利用上近似集構建了誘導拓撲Tθ的基Bθ與鄰域基Bθ(x)，它們均具有對應的最小性。

4.2 Tθ誘導拓撲的可數(shù)性

利用基與鄰域基，本節(jié)研究誘導拓撲Tθ的可數(shù)性。

定理7拓撲空間(U,Tθ)為第二可數(shù)空間、第一可數(shù)空間、可分空間、Lindelof空間。

關于誘導拓撲Tθ，基Bθ顯然是一個可數(shù)族，所以第二可數(shù)性存在；鄰域基Bθ(x)也是一個可數(shù)族，所以第一可數(shù)性亦存在。由定理1，利用第二可數(shù)性可以直接誘導第一可數(shù)性，以及可分性與Lindelof性，即定理7成立。下面對Tθ提供一些基本的可數(shù)性刻畫。

推論2設 (U′,T ′)為拓撲空間，f:(U,Tθ)→(U′,T ′)。若 f是滿的開映射，則(U′,T′)為第二、第一可數(shù)空間；若 f是連續(xù)映射，則(U′,T′)為可分空間、Lindelof空間。

推論3在(U,Tθ)拓撲空間中，每點 x∈U 具有可數(shù)鄰域套基{Vn(x)}(n∈Z+)，適合于條件

推論4聚點x∈Xd等價于X-{x}中存在序列收斂于x。

推論5（1）設U′?U,T ′=T|U′，則子空間 (U′,T ′)為第二可數(shù)空間、第一可數(shù)空間、可分空間、Lindelof空間。

（2）設θi(i=1,2,…,n)為對稱傳遞關系族，則乘積拓撲空間 (U×…×U，Tθ1×…×Tθn)為第二可數(shù)空間、第一可數(shù)空間、可分空間。

上述推論2～5來源于Tθ的四種可數(shù)特征（定理7）與經(jīng)典拓撲性質（如2.2節(jié)）。推論2闡述可數(shù)性的拓撲不變性，推論3與4說明第一可數(shù)延展性質，推論5則聚焦子空間與乘積空間的結構制造（其中Lindelof空間不具有可乘性）。

5 實例分析

本章采用一實例來具體分析對稱傳遞關系的誘導拓撲及其可數(shù)性。

例1設論域U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}，二元關系

雖然θ滿足對稱性與傳遞性，但不滿足自反性。因此，θ為U上的對稱傳遞關系，而元素x5,x6為孤立點。

單點集的上近似集為：

設 X={x2,x3,x4,x5}，Y={x1,x3,x4,x6}，Z={x1,x2}，則 X?Y={x1,x2,x3,x4,x5,x6}、X?Y={x3,x4}。

相關的上下近似集為：

由此，可以驗證命題2，例如：

對稱傳遞θ誘導拓撲為：

且θ+{xi}∈Tθ(i=1,2,3,4,5,6)?；谌N觀測集計算，表1在上下近似集基礎上提供Tθ內部與閉包結果，從而驗證了兩者之間的關系（定理4）。此外，表1標注部分開集與閉集來驗證推論1。相關觀測集的內部閉包與上下近似的復合：

]

表1 三種觀測集的上下近似集與拓撲內部閉包

在誘導拓撲空間(U,Tθ)中，可數(shù)基為：

再考慮基

則有B?B′，該結果表明B最小性。x1∈U的鄰域系為：

x1的可數(shù)鄰域基為B(x1)={{x1,x2}}。考慮x1的鄰域基：

則有B(x1)?B′(x1)，該結果表明B最小鄰域基性。對本例誘導拓撲空間(U,Tθ)，可數(shù)基與可數(shù)鄰域基的存在性確定了第二可數(shù)性與第一可數(shù)性，以及可分空間與Lindelof空間，即定理7被驗證?；诮?jīng)典拓撲結果，推論2～5自然成立，無需驗證。

下面將比較分析本文結果與文獻[11]結果。在文獻[11]中，通過閉包算子與內部算子研究模糊粗糙集的拓撲結構，證明了自反、傳遞關系下的近似空間中模糊集的上下近似算子分別是一個模糊拓撲的閉包算子與內部算子，且相應的模糊拓撲滿足（TC）條件。文獻[11]主要討論模糊集背景（其F(U)中的集合都是模糊集），而本文是在精確集下討論基于對稱傳遞關系的誘導拓撲及其可數(shù)性；對此，可以將文獻[11]中的結論退化到精確集來與本文進行比較。特別地，表2提供了相關結果的異同點，其中Ρ(U)為U上的全體粗糙集的集合。

基于表2，兩文結果的對比分析簡單說明如下。（1）本文與文獻[11]的相同點具有相同形式但不同背景。在相同點（1）中，兩者的二元關系都是泛化的，但本文集合只涉及精確集，而文獻[11]采用模糊集；在相同點（2）中，本文的二元關系仍是泛化的，但文獻[11]的二元關系是定義的一種自反傳遞關系。（2）本文與文獻[11]的不同點在形式與本質上都具有不同。在不同點（1）中，本文對于任意集合Y∈Ρ(U)，3集Y,θ-(Y),θ+(Y)無任何包含關系。同時，本文在對稱傳遞關系下，削弱了i(θ-(X))和 i(X)、c(θ+(X))和 c(X)的包含關系。（3）將文獻[11]的模糊集退化到精確集，可通過上述實例來進行相關比較，這里不再詳述。

通過上面與文獻[11]的比較分析，說明了在對稱傳遞關系下的上下近似和拓撲的內部與閉包具有獨特性質。

表2 本文結果與文獻[11]結果的異同點

6 結束語

本文主要基于對稱傳遞關系θ，確定近似集（算子）及其性質，構建誘導拓撲Tθ及其內部（算子）與閉包（算子）；進而，針對誘導拓撲Tθ提出基與鄰域基研究可數(shù)性，得到第二可數(shù)性、第一可數(shù)性、可分性、Lindelof性等四種可數(shù)特征及其性質。本文采用一種新的二元關系拓展了粗糙集與拓撲的結合，深化了粗糙集與拓撲的聯(lián)系。以基于對稱傳遞關系，拓撲空間(U,Tθ)的其他拓撲性質可以深入。此外，一般拓撲需要什么條件以激發(fā)對稱傳遞二元關系并反之對應誘導拓撲，值得思考。最后，根據(jù)圖1，本文的工作完善了雙性研究，而單性研究正是后續(xù)工作，并期待最終完成整個三性層次的系統(tǒng)分析。相應地，“基于對稱傳遞的拓撲可數(shù)性特征”（如本文）與“基于自反、自反對稱、自反傳遞等關系的特征”的區(qū)別，也成為后續(xù)工作。

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