白建方 董士欣

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地震作用下場(chǎng)地有限元建模時(shí)底部邊界條件的影響1

白建方 董士欣

（石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，石家莊 050043）

用有限元方法對(duì)場(chǎng)地進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)需將半無(wú)限域的場(chǎng)地有限化。本文針對(duì)底部人工邊界的設(shè)置，采用滯回阻尼假設(shè)，推導(dǎo)了同時(shí)包含輻射阻尼和材料阻尼的均質(zhì)場(chǎng)地地表位移放大系數(shù)解析式，進(jìn)而研究了材料阻尼和輻射阻尼的變化對(duì)放大系數(shù)的影響。有限元建模時(shí)相當(dāng)于忽略了輻射阻尼，計(jì)算誤差會(huì)隨著所分析場(chǎng)地阻抗的增加而逐漸增大，在共振區(qū)附近，忽略任一種阻尼的影響，都將顯著地高估地表動(dòng)力反應(yīng)；遠(yuǎn)離共振區(qū)，阻尼的影響會(huì)迅速衰退。本文提出了通過(guò)增加場(chǎng)地材料阻尼來(lái)彌補(bǔ)所忽略的輻射阻尼的思路，并給出了有限元建模時(shí)考慮輻射阻尼后新的材料阻尼的確定方法。

底部人工邊界條件 場(chǎng)地地震反應(yīng)分析 有限元方法 輻射阻尼 材料阻尼

引言

實(shí)際的場(chǎng)地是半無(wú)限域空間，在用有限元方法對(duì)其進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)，首先涉及到的一個(gè)問(wèn)題就是如何將此半無(wú)限域空間有限化。通常的做法是在水平向和豎向截取一定范圍的土層進(jìn)行分析，即人為地引入了一些原本不存在的邊界，也就是所謂的人工邊界（Wolf，1985）。為了減小這種人為的有限化處理可能對(duì)計(jì)算結(jié)果帶來(lái)的影響，我們需要讓人工邊界處的有限元節(jié)點(diǎn)滿(mǎn)足一定的條件，即人工邊界條件。目前關(guān)于人工邊界的研究多集中在側(cè)向人工邊界方面，提出了諸如吸收邊界、透射條件、自由場(chǎng)邊界、遠(yuǎn)置側(cè)移邊界等被廣泛應(yīng)用的人工邊界條件（樓夢(mèng)麟等，2003；陳昌斌等，2006；Bielak等，1984）。底部人工邊界影響方面的研究則相對(duì)較少。潘旦光等（2004）將基巖模擬成截面積按指數(shù)函數(shù)隨深度變化的變截面剪切梁模型估計(jì)了基巖的彈簧剛度，利用置于彈簧支座上的一維剪切梁模型分析了基巖的彈性剛度對(duì)土層地震反應(yīng)的影響，認(rèn)為土層較厚、基巖剛度較大時(shí)，基巖彈性剛度的影響很小。而在有限元分析中更為普遍的做法則是將底部視為固定邊界，即認(rèn)為下臥基巖為無(wú)限剛體，從而忽略了基巖彈性剛度帶來(lái)的影響。本文通過(guò)對(duì)比均質(zhì)場(chǎng)地地震反應(yīng)分析的理論模型和有限元模型，研究了底部邊界問(wèn)題的實(shí)質(zhì)及將其視為固定邊界時(shí)可能對(duì)計(jì)算結(jié)果帶來(lái)的影響。在此基礎(chǔ)上提出了一種通過(guò)增加場(chǎng)地材料阻尼來(lái)彌補(bǔ)所忽略掉的基巖輻射阻尼影響的計(jì)算方法，并給出了相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)步驟。

1 問(wèn)題的提出

1.1 場(chǎng)地地震反應(yīng)分析的理論模型（波在分層介質(zhì)中的傳播）

對(duì)于基巖上覆均勻土層來(lái)說(shuō)，理論波動(dòng)解的物理模型由兩個(gè)界面（土與空氣接觸面和巖石與土接觸面）、一個(gè)土層、一個(gè)半無(wú)限巖石層組成（圖1）。需明確一個(gè)問(wèn)題，就是所謂的巖石與土層的下分界面雖為一個(gè)很薄的面，但可以認(rèn)為其包含了界面上表面和界面下表面。場(chǎng)地地震反應(yīng)分析理論波動(dòng)解的問(wèn)題可描述為：垂直入射的P波、SV波或以任意角度入射的SH波入射到下界面的下表面，經(jīng)下表面的反射形成的反射波返回巖石層向無(wú)限域傳播不再回來(lái)，同時(shí)穿過(guò)界面由該界面的下表面到達(dá)上表面形成折射波經(jīng)土層向上傳播。我們關(guān)注的是土層內(nèi)這一折射波的傳播過(guò)程，如果將波到達(dá)下界面的上表面時(shí)間定為0時(shí)刻，則折射波經(jīng)過(guò)/（指土層厚度，代表波在土層的傳播速度）之后到達(dá)上界面（土與空氣交界面），在其表面只發(fā)生反射，反射系數(shù)為1，地表振幅為2倍入射波振幅。反射波經(jīng)/后到達(dá)下界面，一部分經(jīng)折射后向下傳向無(wú)限域的巖層，另一部分經(jīng)過(guò)反射后又向上傳播，再經(jīng)/后又到達(dá)地表。如此反復(fù)，可知，如果時(shí)間持續(xù)較久的話(huà)，地表實(shí)際振動(dòng)是由一條折射波再加上無(wú)數(shù)次該折射波在土層上下界面的反射形成的反射波疊加組成。當(dāng)然每次在界面的反射需滿(mǎn)足反射條件，反射后的波振幅需乘以反射系數(shù)。這就是分層介質(zhì)中的波動(dòng)理論解（薩瓦林斯基，1981）。文獻(xiàn)（廖振鵬，2002）中給出了地表任一時(shí)刻位移計(jì)算公式（式（1））。

圖1 理論模型

1.2 場(chǎng)地地震反應(yīng)分析的有限元模型

1.3 底部邊界的設(shè)置所帶來(lái)的兩個(gè)問(wèn)題

與理論模型對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，有限元模型在設(shè)置了底部邊界后會(huì)引起兩個(gè)問(wèn)題：①有限元模型底部固定邊界無(wú)法模擬真實(shí)土層中波由上界面（土層與空氣分界面）反射回向下傳播的波到達(dá)下界面（土層與基巖交界面）后經(jīng)下界面的折射情況（實(shí)際中是存在的）；②通常對(duì)于實(shí)際工程來(lái)說(shuō)，尤其是土層厚度較大的情況，有限元模型的下邊界很難取到基巖面（模型尺寸會(huì)很大，計(jì)算量也將非常大），一般選取滿(mǎn)足一定條件的土層界面作為假想基巖面來(lái)輸入地震波。

關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題，即所取的不再是實(shí)際基巖面時(shí)會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果帶來(lái)哪些影響，目前已有許多研究成果可資借鑒（沈建文，2004；戴國(guó)瑩等，2005；李建亮等，2015）。本文只關(guān)注第一類(lèi)問(wèn)題的影響。

2 考慮材料阻尼時(shí)地表放大系數(shù)解析解

為考慮材料阻尼的影響，采用滯回阻尼假設(shè)時(shí)，僅需用下面的復(fù)波速代替式（1）中的剪切波速即可（廖振鵬，2002）。

采用滯回阻尼后，公式（1）變?yōu)椋?/p>

進(jìn)一步整理得：

放大系數(shù)為：

公式（6）其實(shí)等同于有限元建模時(shí)不考慮輻射阻尼影響時(shí)的均質(zhì)場(chǎng)地地表放大系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

3 參數(shù)分析

3.1 材料阻尼的變化對(duì)動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果的影響

由圖2可以看出，當(dāng)不考慮輻射阻尼，即假設(shè)土層下臥基巖為無(wú)限剛體時(shí)，土層材料阻尼的大小對(duì)地表動(dòng)力反應(yīng)有顯著的影響。在共振時(shí)，阻尼的大小對(duì)計(jì)算結(jié)果影響最大，阻尼比為0時(shí)，地表反應(yīng)無(wú)限增大；只要設(shè)置很小的阻尼比，如5%時(shí)，其峰值就會(huì)迅速降低；遠(yuǎn)離共振區(qū)后，材料阻尼的影響幾乎可以忽略不計(jì)；僅考慮材料阻尼時(shí)地表動(dòng)力反應(yīng)隨著激振頻率的增加有減小的趨勢(shì)，即高階振型衰減更快。

圖2 材料阻尼的影響

3.2 輻射阻尼的變化對(duì)動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果的影響

圖3 輻射阻尼的影響

圖4 共振時(shí)放大系數(shù)隨α的變化規(guī)律

3.3 不同阻尼類(lèi)型對(duì)動(dòng)力反應(yīng)的影響

圖5 ＝5%的結(jié)果

圖6 ＝10%的結(jié)果

通過(guò)對(duì)比圖5和圖6發(fā)現(xiàn)，不管是哪一類(lèi)阻尼都只在共振時(shí)會(huì)有明顯影響，遠(yuǎn)離共振區(qū)后幾乎沒(méi)什么差別；僅考慮輻射阻尼或僅考慮材料阻尼都會(huì)高估地表的動(dòng)力反應(yīng)；尤其是在第1階共振頻率附近，忽略任何一種阻尼都將產(chǎn)生明顯的誤差；僅考慮輻射阻尼時(shí)會(huì)顯著高估后續(xù)高階振型的反應(yīng)；通過(guò)增加材料阻尼可以一定程度上減小由于忽略輻射阻尼帶來(lái)的影響。

表1 共振時(shí)的地表動(dòng)力放大系數(shù) Table 1 The amplification under

4 有限元建模時(shí)場(chǎng)地阻尼的模擬

上述分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于軟弱場(chǎng)地，這種做法帶來(lái)的誤差一般不會(huì)太大。但是對(duì)于較硬場(chǎng)地，尤其是共振時(shí)，將會(huì)明顯高估地表的動(dòng)力反應(yīng)（如表1所示）。同時(shí)從表1還可以看出，隨著材料阻尼的增加，動(dòng)力反應(yīng)的結(jié)果也會(huì)明顯降低。由此我們想到在用有限元建模時(shí)，是否可以通過(guò)增加材料阻尼的方式來(lái)彌補(bǔ)忽略輻射阻尼的影響呢？下面將給出進(jìn)一步分析。

假設(shè)某場(chǎng)地在動(dòng)力荷載很小時(shí)處于線彈性范圍。地表動(dòng)力放大系數(shù)可由公式（3）計(jì)算。由于有限元分析時(shí)無(wú)法考慮輻射阻尼的影響，只能采用類(lèi)似公式（6）的方式進(jìn)行計(jì)算。令兩種情況下動(dòng)力放大系數(shù)一致，即：

由此解出阻尼比參數(shù)為：

這樣，相當(dāng)于重新構(gòu)造了一個(gè)包含材料阻尼而沒(méi)有輻射阻尼的場(chǎng)地，通過(guò)令動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果一致來(lái)求出其材料阻尼作為有限元分析時(shí)阻尼比設(shè)置的依據(jù)。

因此，對(duì)于某一處于線彈性范圍的均質(zhì)場(chǎng)地，我們可以先根據(jù)勘探資料確定阻抗之比，然后根據(jù)場(chǎng)地的深度和激振頻率得到，就可以根據(jù)公式（8）求出有限元分析時(shí)需要附加的材料阻尼的大小。

圖7 材料阻尼隨α的變化

圖8 材料阻尼隨的變化

在動(dòng)力荷載較大時(shí)，土體進(jìn)入彈塑性階段，需同時(shí)考慮材料阻尼和輻射阻尼的影響，理論上可由公式（5）求其放大系數(shù)。采用有限元分析時(shí)，由于無(wú)法考慮輻射阻尼，可以通過(guò)增加材料阻尼的辦法來(lái)減小這一影響。

圖9 新的材料阻尼比隨α的變化

圖10 新材料阻尼隨的變化

綜上，對(duì)實(shí)際均質(zhì)場(chǎng)地進(jìn)行有限元分析時(shí)，若需要同時(shí)考慮輻射阻尼和材料阻尼的影響，可按下述步驟確定有限元分析時(shí)新的材料阻尼比參數(shù)：

5 算例分析

利用有限元軟件PLAXIS 2D（劉志祥等，2015）進(jìn)行該場(chǎng)地的地震反應(yīng)分析，底部采用固定邊界。為消除側(cè)向人工邊界的影響，取水平距離為400m（單側(cè)人工邊界距離為深度的20倍），有限元模型如圖11所示。有限元分析所得地表位移的動(dòng)力放大系數(shù)為6.57。

圖11 場(chǎng)地有限元模型

利用公式（6）可得忽略輻射阻尼時(shí)（即假設(shè)基巖剛度無(wú)窮大，相當(dāng)于底部固定邊界）地表位移動(dòng)力放大系數(shù)的理論解為6.34。考慮到有限元分析時(shí)側(cè)向邊界及單元?jiǎng)澐值挠绊?，該結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，從而印證了文中公式的正確性。

利用公式（5）可進(jìn)一步得到，同時(shí)考慮基巖輻射阻尼和場(chǎng)地材料阻尼時(shí)的地表動(dòng)力放大系數(shù)為2.78，此時(shí)有限元結(jié)果的誤差約為136%。可見(jiàn)，對(duì)于該場(chǎng)地來(lái)說(shuō)，當(dāng)完全忽略掉基巖的彈性剛度時(shí)，將高估地表的動(dòng)力反應(yīng)（約為理論值的2.36倍）。

若按照本文第4節(jié)的方法，利用公式（9）可求出考慮了輻射阻尼后場(chǎng)地新的材料阻尼比為22.46%，以此代替場(chǎng)地原材料阻尼比10%，其他條件保持不變，重新進(jìn)行有限元分析，可得地表位移的動(dòng)力放大系數(shù)為3.07。通過(guò)與公式（5）的結(jié)果對(duì)比，可知此時(shí)有限元方法的計(jì)算誤差約為10%。由此可見(jiàn)，對(duì)于該均質(zhì)場(chǎng)地模型，當(dāng)采用本文建議的方法重新確定場(chǎng)地材料阻尼比后，有限元計(jì)算結(jié)果的精度會(huì)得到顯著的提高。

6 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)比場(chǎng)地地震反應(yīng)分析的理論模型和有限元模型，指出了采用底部固定邊界可能帶來(lái)的影響。結(jié)合滯回阻尼假設(shè)，推導(dǎo)了同時(shí)包含輻射阻尼和材料阻尼時(shí)均質(zhì)場(chǎng)地地表位移動(dòng)力放大系數(shù)的解析表達(dá)式。通過(guò)參數(shù)分析，分別研究了各類(lèi)阻尼的大小對(duì)動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果的影響規(guī)律，并提出了通過(guò)增設(shè)場(chǎng)地材料阻尼來(lái)彌補(bǔ)忽略基巖輻射阻尼的計(jì)算方法。主要研究結(jié)論有：

（1）建立了較完整的均質(zhì)場(chǎng)地地表位移放大系數(shù)解析式，能夠同時(shí)考慮激振頻率特性、場(chǎng)地材料阻尼特性以及反映基巖彈性剛度的輻射阻尼效應(yīng)的影響。為進(jìn)行均質(zhì)場(chǎng)地動(dòng)力反應(yīng)的理論研究奠定了基礎(chǔ)。

（2）在有限元分析中，將底部邊界視為固定，相當(dāng)于完全不考慮土層內(nèi)的波傳到土層與基巖接觸面時(shí)的透射現(xiàn)象，會(huì)高估地表動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果，尤其是當(dāng)場(chǎng)地和下臥基巖之間的阻抗相差不是很大時(shí)（例如堅(jiān)硬場(chǎng)地），會(huì)大幅增加土層地震反應(yīng)的計(jì)算誤差，從而影響我們對(duì)實(shí)際場(chǎng)地在地震作用下可能產(chǎn)生的動(dòng)力反應(yīng)的判斷；對(duì)于阻抗較小的深厚軟弱場(chǎng)地，由于此時(shí)場(chǎng)地和基巖阻抗之比較小，采用固定邊界，即忽略輻射阻尼帶來(lái)的影響一般不大。

（3）不管是材料阻尼，還是輻射阻尼，在共振區(qū)附近，都對(duì)動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果影響顯著，遠(yuǎn)離共振區(qū)后影響迅速減??；其中材料阻尼對(duì)高階振型的影響更加明顯，而輻射阻尼對(duì)每一階振型的影響幾乎一樣。

（4）用有限元方法對(duì)場(chǎng)地進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)，通常底部采用固定邊界，相當(dāng)于忽略掉了基巖處輻射阻尼的影響。此時(shí)可通過(guò)增加場(chǎng)地材料阻尼的方式來(lái)減小這一影響帶來(lái)的誤差。針對(duì)均質(zhì)場(chǎng)地模型，給出了考慮輻射阻尼后場(chǎng)地新的材料阻尼比的計(jì)算公式和步驟，并通過(guò)算例驗(yàn)證了所提方法的可行性。

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The Effect of the Bottom Boundary Condition on Site Finite Element Modeling under Earthquake Load

Bai Jianfang and Dong Shixin

(Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

The actual site is a semi-infinite space and not only on the horizontal direction, but also on the downward are infinitely. In order to build the numerical model for site through direct finite element method, we have to account the artificial boundary conditions first because it is the foundation of how to consider the scope of soil site. In common used method the interface between overlaying bedrock and soil is assumed to be the fixed bottom boundary. In order to find the effect created from this bottom boundary condition, in this paper we performed the theoretical analysis and numerical tests. On this base, we studied the effect of the radiation damping and material damping on the site dynamic response under earthquake load, and it would be possible to decrease the influence of the bottom boundary condition by increases the material damping.

The bottom boundary condition; Site earthquake response analysis; Finite element method; Radiation damping; Material damping

白建方，董士欣，2018．地震作用下場(chǎng)地有限元建模時(shí)底部邊界條件的影響．震災(zāi)防御技術(shù)，13（1）：41—51．

10.11899/zzfy20180104

河北省大型基礎(chǔ)設(shè)施防災(zāi)減災(zāi)協(xié)同創(chuàng)新中心項(xiàng)目和河北省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（橋梁與隧道工程）

2017-03-20

白建方，男，生于1976年。博士，講師。主要從事工程系統(tǒng)抗震方面的研究。E-mail：bjf2004@126.com