車 艷, 舒慧生, 闞 秀

(1．莆田學(xué)院 信息工程學(xué)院, 福建 莆田351100；2．東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620；3．上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院, 上海201620)

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的工程系統(tǒng)所處環(huán)境十分復(fù)雜并且可能時時變化, 使得系統(tǒng)受到多種不確定性因素的影響。特別是在近70年的控制工程實(shí)踐中, 研究人員已完全認(rèn)識到基于控制系統(tǒng)的精確模型是不存在的。一個系統(tǒng)的品質(zhì)(如穩(wěn)定性、干擾抑制性和最優(yōu)性等指標(biāo))如果對于系統(tǒng)內(nèi)外的不確定性因素不敏感, 則稱該系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。早期魯棒控制(robust control)研究大多著眼于微攝動不確定性[1]，現(xiàn)代魯棒控制受到廣泛關(guān)注的有Kharitonov定理[2]、棱邊定理[3]、H∞控制思想[4]、μ理論[5]等。魯棒控制自1972年首次被Davison[6]提出以來, 已經(jīng)過近半個世紀(jì)的發(fā)展, 取得了豐富的成果, 但依然是一個相當(dāng)活躍的研究領(lǐng)域[7-8]。

一般意義下的不確定性分為兩類：一是系統(tǒng)外部不確定性, 在常見的系統(tǒng)模型中表述為外部干擾, 即由噪聲引起的不確定性,H∞便是處理這類不確性的方法之一[4, 9-15]；二是系統(tǒng)內(nèi)部不確定性, 如量測誤差、參數(shù)估計(jì)誤差及模型化誤差、未知參數(shù)等。系統(tǒng)內(nèi)部描述參數(shù)不確定性的常見方法主要有范數(shù)有界不確定性[16-19]和凸多面體不確定性[20]兩類, 文獻(xiàn)[21]的研究表明，在一定條件下這兩種方法是等價的。

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的工程系統(tǒng)不僅受到不確定性因素的影響, 在通信受限條件下, 測量信息丟失(或稱測量信息不完全、測量信息不完整)現(xiàn)象廣泛呈現(xiàn)于網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(networked control systems, NCSs)[22-23]的信號采集、數(shù)據(jù)傳輸與處理過程中。例如在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中, 由于受交換機(jī)、路由器、集線器等網(wǎng)絡(luò)設(shè)備故障, 以及多路徑傳輸、信道帶寬受限、瞬時失效、病毒攻擊、網(wǎng)絡(luò)癱瘓等的影響, 測量信息(數(shù)據(jù)包)丟失現(xiàn)象時有發(fā)生[24-26]。測量信息丟失現(xiàn)象的建模方法有Bernoulli分布[10, 12, 19-20, 27], Kroneckerδ函數(shù)、[0 1]區(qū)間分布[28-29]、示性函數(shù)[30]、馬爾可夫過程及不完全矩陣技術(shù)[31-33]。同時, 測量信息丟失現(xiàn)象的研究多側(cè)重于離散系統(tǒng)的濾波問題[10, 12-18, 24-25, 27-29], 作為其對偶的離散系統(tǒng)的控制研究相對較少[19-21, 33]。在實(shí)際工程中, 由于受系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、環(huán)境因素、經(jīng)濟(jì)成本等的制約, 通常難于測取系統(tǒng)狀態(tài)信息, 所以狀態(tài)反饋控制器的研究成果雖然遠(yuǎn)多于輸出反饋控制器, 但其研究成果的工程應(yīng)用前景受到限制。

目前, 對測量信息丟失的離散型、基于凸多面體不確定性、靜態(tài)輸出反饋控制器的研究已有報(bào)道[20]。文獻(xiàn)[20]研究了工業(yè)過程控制中的一類離散時滯不確定性系統(tǒng)的H∞靜態(tài)輸出反饋控制, Bernoulli序列刻畫了測量數(shù)據(jù)的丟失過程, 凸多面體表述不確定性, 取得了使系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制充分條件。但基于測量信息多丟失、凸多面體不確定性、隨機(jī)非線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋情況鮮有報(bào)道。

受文獻(xiàn)[20]的啟發(fā), 本文研究一類基于測量信息多丟失、凸多面體不確定性、時滯依賴、隨機(jī)非線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的魯棒控制問題, 從下述3個方面推廣了文獻(xiàn)[20]的成果。

(1) 測量信息不完全現(xiàn)象的多丟失刻畫, 丟失模型中經(jīng)常采用的Bernoulli序列可看作其特例。

(2) 較文獻(xiàn)[20]的靜態(tài)輸出反饋, 本文實(shí)現(xiàn)了動態(tài)輸出反饋控制。在系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明過程中, 雖然動態(tài)輸出反饋使凸多面體刻畫的不確定性處理變得十分復(fù)雜, 但研究仍然取得了使系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。仿真結(jié)果表明，同時考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的測量信息多丟失、動態(tài)輸出反饋、凸多面體不確定、時滯依賴、隨機(jī)非線性等情況是可行的。

(3) 本研究不僅在工程過程控制, 而且在軍事、交通系統(tǒng)、遠(yuǎn)程醫(yī)療及智能建筑等多個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

文中涉及符號表述說明：Rn為n維歐幾里德空間,N+為自然數(shù)集合,AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置,E{x}表示隨機(jī)變量x的期望, *為對稱分塊矩陣中由對稱性決定項(xiàng)的省略符號, diag{Λ}為塊對角矩陣, (Ω,F, {F+}k∈N+,P)為帶流的完備概率空間,I為具有合適維數(shù)的單位矩陣, tr(A)表示矩陣A的跡。

1 系統(tǒng)描述

一類具有凸多面體參數(shù)不確定特性的離散隨機(jī)非線性時滯系統(tǒng), 即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

函數(shù)f(x(k),x(k-τ))與g(x(k),x(k-τ))是非線性函數(shù), 具有以下統(tǒng)計(jì)學(xué)特點(diǎn)：

(6)

(7)

(8)

構(gòu)造式(9)形式的動態(tài)輸出反饋控制器, 即

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2 動態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

下面給出充分條件滿足系統(tǒng)(10)均方指數(shù)穩(wěn)定。

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

證明取Lyapunov候選函數(shù)：

(24)

式中：Δη(k):=η(k+1)-η(k), 所以

(25)

(26)

則系統(tǒng)(10)可以寫成

(27)

Ε{ΔV(η(k))} =Ε{V(η(k+1))|η(k)|}-V(η(k))=

(28)

(29)

根據(jù)式(30)

(30)

有

(31)

由式(6)～(8)可知

(32)

(33)

式(33)右側(cè)第一項(xiàng)處理為

(34)

(35)

(36)

由式(33)～(36)可得

(37)

則可以推出式(38)為

(38)

式中：

(39)

(40)

(41)

(42)

Ε{ΔV(η(k))}≤-λmin(Λd)‖η(k)‖2

(43)

至此, 證明完成。

3 動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)

由定理1穩(wěn)定性分析, 進(jìn)一步研究可得控制器的設(shè)計(jì)方案。限于篇幅, 定理2證明略去。

(44)

(45)

(46)

(47)

W-U>0

(48)

(49)

M5:=UE1+Q2E2

則控制器(9)的參數(shù)為：

(50)

由于定常線性時滯離散系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為高維、沒有時滯的線性離散系統(tǒng), 然后通過離散線性系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)方案獲得控制律；如果時滯未知, 這一方法將不再有效。本文針對這一問題, 運(yùn)用Lyapunov理論發(fā)展了基于凸多面體不確定參數(shù)的離散時滯系統(tǒng)的時滯依賴的魯棒鎮(zhèn)定問題, 并通過定理1和2獲得了基于LMI(linear matrix inequality)的充分條件, 該條件實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)系統(tǒng)的均方指數(shù)隨機(jī)穩(wěn)定性?？刂破髟O(shè)計(jì)問題的可行性可以應(yīng)用LMI工具箱求解一組LMI得到驗(yàn)證。

4 數(shù)值例子

本節(jié)通過數(shù)值例子與仿真, 對具有凸多面體不確定性和多測量信息丟失特征的離散系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的魯棒控制器的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

針對式(1)～(3)所表征的系統(tǒng), 取如下參數(shù)：

得到的理想控制律參數(shù)如下：

仿真結(jié)果如圖1和2所示。圖1給出了未加控制輸入時的狀態(tài)軌跡, 圖2則給出了加入控制后的狀態(tài)軌跡。由圖1和2可知，仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制器的有效性和可靠性。

圖1 無控制情況下的軌跡xi(i=1,2,3)Fig.1 State trajectories of xi(i=1,2,3) without control

圖2 有控制情況下的軌跡xiu(i=1,2,3) Fig.2 State trajectories of xiu(i=1,2,3) under control

5 結(jié) 語

本文討論了一類網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的、具有凸多面體不確定特征、離散時滯隨機(jī)系統(tǒng)在多測量信息丟失情形下的動態(tài)輸出反饋控制問題。通過測量輸出構(gòu)造了動態(tài)輸出反饋控制器, 采用Lyapunov穩(wěn)定性理論, 給出了增廣系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件, 并基于該條件利用線性矩陣不等式技術(shù)得到了控制器的設(shè)計(jì)方案。數(shù)值例子與仿真結(jié)果表明該控制方案是可靠的。

參 考 文 獻(xiàn)

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