趙漫漫ZHAO Man-man 吳 佳 何雪明 - 錢(qián)志芳 -

(1. 無(wú)錫機(jī)電高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214122；2. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122)

凸輪機(jī)構(gòu)幾乎能夠完成各種變速運(yùn)動(dòng)，可按需調(diào)節(jié)速度，精度高、成本低，在現(xiàn)代包裝機(jī)械中仍應(yīng)用頗多，尤其在一些食品包裝機(jī)械中，如飲料灌裝機(jī)、旋蓋機(jī)等。為了使這些機(jī)械運(yùn)作的振動(dòng)和噪聲更小，凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)行精度必須得到保證，而對(duì)凸輪曲線設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化是提高其運(yùn)行精度最有效、最關(guān)鍵的方法。牧野洋[1]較早提出了一組簡(jiǎn)諧梯形組合凸輪曲線，由于該曲線較以往曲線通用性較好，使得簡(jiǎn)諧梯形組合凸輪曲線在凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中得到了極大的應(yīng)用。肖正揚(yáng)等[2-3]研究了凸輪曲線各個(gè)特性參數(shù)值對(duì)凸輪機(jī)構(gòu)的影響以及各參數(shù)之間的影響關(guān)系，并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。而現(xiàn)階段高速凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)大多采用多項(xiàng)式凸輪曲線，相較于簡(jiǎn)諧梯形組合凸輪曲線，多項(xiàng)式曲線只要取足夠高的冪次數(shù)，它的高階導(dǎo)數(shù)便總是連續(xù)的，因此更適用于高速凸輪機(jī)構(gòu)[4]。劉昌祺等[5]總結(jié)了數(shù)種多項(xiàng)式凸輪曲線的表達(dá)式。葛正浩等[6]給出了多項(xiàng)式凸輪曲線的通用表達(dá)式以及各種邊界條件對(duì)應(yīng)的解決方法。巨剛等[7]得出七次以上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線在加速度這個(gè)范疇內(nèi)具有永遠(yuǎn)的連續(xù)性、無(wú)沖擊現(xiàn)象的結(jié)論，并且證實(shí)了高次多項(xiàng)式凸輪的受力或功率波動(dòng)程度即高次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律凸輪在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的平穩(wěn)程度與次數(shù)有關(guān)。

由于多項(xiàng)式曲線良好的高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，因此設(shè)計(jì)時(shí)只要增加相應(yīng)的次數(shù)，便可實(shí)現(xiàn)無(wú)限高次導(dǎo)數(shù)連續(xù)。但理論上可以實(shí)現(xiàn)的高階多項(xiàng)式凸輪曲線在工程中卻未必實(shí)用，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)升高后會(huì)增大加工難度，同時(shí)降低加工精度，從而無(wú)法實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由于現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式凸輪曲線設(shè)計(jì)方法無(wú)法兼顧以上幾點(diǎn)，因此本研究著重研究低階多項(xiàng)式(階次十一以下)凸輪曲線，在此基礎(chǔ)上尋找盡量同時(shí)滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的多項(xiàng)式凸輪曲線。

1 標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式凸輪曲線

標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式凸輪曲線的設(shè)計(jì)方法是通過(guò)兩端的約束條件，求解出多項(xiàng)式方程未知數(shù)，從而得到標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式凸輪曲線。標(biāo)準(zhǔn)4-5-6-7多項(xiàng)式凸輪曲線設(shè)計(jì)方法：在升程起始位置位移零階導(dǎo)數(shù)S0、一階導(dǎo)數(shù)S0(1)(速度V)、二階導(dǎo)數(shù)S0(2)(加速度A)、三階導(dǎo)數(shù)S0(3)(躍度J)均為0，升程終止位置位移零階導(dǎo)數(shù)S1=1，一階導(dǎo)數(shù)S1(1)、二階導(dǎo)數(shù)S1(2)、三階導(dǎo)數(shù)S1(3)均為0，則標(biāo)準(zhǔn)4-5-6-7多項(xiàng)式凸輪曲線約束條件可寫(xiě)為：

(1)

標(biāo)準(zhǔn)4-5-6-7多項(xiàng)式凸輪曲線方程見(jiàn)式(2)。

(2)

與其它凸輪曲線相比，標(biāo)準(zhǔn)的多項(xiàng)式凸輪曲線設(shè)計(jì)方法較為簡(jiǎn)單，且動(dòng)力學(xué)響應(yīng)性能較好，故在高速凸輪設(shè)計(jì)中得到了一定的應(yīng)用。但該凸輪曲線的各特性參數(shù)已為定值，即運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)特性固定不變。在高速凸輪工程設(shè)計(jì)中，往往需要兼顧二者，或者在滿足動(dòng)力學(xué)性能情況下對(duì)系統(tǒng)的最大加速度Amax或者最大速度Vmax進(jìn)行控制。要實(shí)現(xiàn)以上控制條件，必須要求多項(xiàng)式曲線具有可變性。

2 變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線

2.1 七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線

為了實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式曲線可變，將標(biāo)準(zhǔn)七次多項(xiàng)式曲線的兩端約束條件由三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)降低為二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并加入最大加速度Amax可變的約束條件，求解多項(xiàng)式函數(shù)，通過(guò)“犧牲”兩端導(dǎo)數(shù)連續(xù)性來(lái)實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式曲線的變化。

本研究的凸輪曲線為對(duì)稱雙停留曲線，可得該凸輪曲線在T=0.5處取得最大速度V0.5=Vmax，此時(shí)A0.5=0，再根據(jù)凸輪曲線兩端的約束條件，可得變系數(shù)七次多項(xiàng)式凸輪曲線約束條件為：

(3)

因?yàn)槠叽味囗?xiàng)式凸輪曲線為二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故其曲線方程見(jiàn)式(4)。

(4)

聯(lián)立約束條件，可解得3-4-5-6-7多項(xiàng)式凸輪曲線位移方程為：

S=(-32Vmax+70)t3+(160Vmax-315)t4+(-288Vmax+546)t5+(224Vmax-420)t6+(-64Vmax+120)t7。

(5)

通過(guò)給出不同的最大加速度值Vmax，可以得到相對(duì)應(yīng)的兩端二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)3-4-5-6-7多項(xiàng)式凸輪曲線，凸輪曲線的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能也發(fā)生相應(yīng)的變化，設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)實(shí)際的設(shè)計(jì)要求選擇最大速度Vmax。

為了研究最大速度Vmax可行域，依次取Vmax=1.3，1.5，1.7，經(jīng)計(jì)算可以得出相應(yīng)的速度圖譜見(jiàn)圖1。研究發(fā)現(xiàn)隨著輸入的最大速度減小，速度波峰逐漸減小，當(dāng)Vmax=1.3時(shí)，速度曲線由原來(lái)的單峰變?yōu)殡p峰，即無(wú)法取得設(shè)計(jì)規(guī)定的最大加速度，說(shuō)明七次變系數(shù)多項(xiàng)式最大速度Vmax存在下限值。通過(guò)計(jì)算分析，發(fā)現(xiàn)Vmax下限值為1.458～1.459，為了方便研究，取Vmax下限值為1.46，即該多項(xiàng)式凸輪曲線的最大速度值Vmax取值范圍為1.46～。

圖1 七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線速度圖譜Figure 1 Speed map of 7 power coefficient polynomial cam curve

考慮到曲率半徑以及慣性力的大小，設(shè)計(jì)中追求較小的最大速度Vmax，過(guò)大的最大速度Vmax并沒(méi)有意義，因此取Vmax研究區(qū)間為1.46～2.00，在此區(qū)間內(nèi)初步研究凸輪曲線各特性參數(shù)的變化，為該曲線下一步的研究提供指導(dǎo)，在研究區(qū)間內(nèi)取值Vmax=1.46，1.80，2.00，并繪制相應(yīng)的凸輪曲線圖譜，見(jiàn)圖2。

為了更好地考查各特性參數(shù)的變化趨勢(shì)，計(jì)算出不同最大速度對(duì)應(yīng)的各特性參數(shù)最大值(見(jiàn)表1)。

表1七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線特性參數(shù)

Table 1 Characteristic parameters of 7 power variable coefficient polynomial cam curve

VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax 1.4606.499 2139.681 953.600 09.488 8 1.8005.623 874.40648.000 010.122 9 2.0006.328 739.00256.570 812.657 5

通過(guò)對(duì)凸輪曲線圖譜2以及表1的分析可以看出，隨著最大速度Vmax的變化，凸輪曲線各個(gè)特性參數(shù)都發(fā)生了較大的變化，且變化規(guī)律各不相同，從而呈現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，因此對(duì)于Vmax的選擇，必須做深入研究。

2.2 九次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪

七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線可以實(shí)現(xiàn)端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，無(wú)法滿足高速凸輪設(shè)計(jì)，為了增加端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，同時(shí)考慮加工的精度、成本，研究九次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線。仿照七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線設(shè)計(jì)方法，九次變系數(shù)多項(xiàng)式兩端要實(shí)現(xiàn)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故其位移方程最低次項(xiàng)應(yīng)為4次，參照七次變系數(shù)多項(xiàng)式條件分別設(shè)置目標(biāo)函數(shù)、約束條件可求得九次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線位移方程通式見(jiàn)式(6)。

圖2 七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線各特性參數(shù)變化圖譜Figure 2 Variation of each characteristic parameter of 7 power coefficient polynomial cam curve

S=(-128Vmax+315)t4+(768Vmax-1 764)t5+(-1 792Vmax+3 990)t6+(2 048Vmax-4 500)t7+(-1 152Vmax+2 520)t8+(256Vmax-560)t9。

(6)

研究發(fā)現(xiàn)，類似七次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線的特性，九次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線同樣存在Vmax下限值，經(jīng)計(jì)算得九次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線的變化范圍Vmax下限值在1.640 6與1.640 7之間，為了方便研究，取九次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線Vmax下限值為1.641，在Vmax變化范圍為1.641～2.200，對(duì)九次變系數(shù)凸輪曲線進(jìn)行初步研究。

為了研究九次多項(xiàng)式曲線的變化趨勢(shì)，分別繪制Vmax=1.641,2.000,2.500時(shí)九次多項(xiàng)式曲線各特性參數(shù)圖譜，見(jiàn)圖3。同時(shí)計(jì)算出各特性參數(shù)對(duì)應(yīng)的最大值，見(jiàn)表2。

通過(guò)圖3和表2可以看出，九次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線實(shí)現(xiàn)了端點(diǎn)躍度J連續(xù)，各特性參數(shù)隨最大速度的變化而變化，但變化趨勢(shì)各不相同。

表2九次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線特性參數(shù)

Table 2 Characteristic parameters of 9 power variable coefficient polynomial cam curve

VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax 1.6416.829 357.325 72 015.040 012.326 9 2.0006.808 547.429 61 416.000 013.616 9 2.5009.672 182.500 0662.245 324.180 2

2.3 十一次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線

為了進(jìn)一步提高凸輪曲線的動(dòng)力學(xué)特性，在九次變系數(shù)冪函數(shù)凸輪曲線基礎(chǔ)上，提出十一次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線，位移方程最低階次提高到五次，這樣就可實(shí)現(xiàn)凸輪曲線方程兩端四階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，參照七次變系數(shù)多項(xiàng)式設(shè)置約束條件可求得十一次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線位移方程通式見(jiàn)式(7)。

圖3 九次變系數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線各特性參數(shù)變化圖譜Figure 3 Variation of each characteristic parameter of 9 power coefficient polynomial cam curve

S=(-512Vmax+1 386)t5+(3 584Vmax-9240)t6+(-10 240Vmax+25 740)t7+(15 360Vmax-38 115)t8+(-12 800Vmax+31 570)t9+(5 632Vmax-13 860)t10+(-1 024Vmax+2 520)t11。

(7)

仿照七次變系數(shù)多項(xiàng)凸輪曲線，經(jīng)過(guò)計(jì)算得出十一次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線的變化范圍下限值在1.804 6和1.804 7之間，為了便于研究，并與傳統(tǒng)多項(xiàng)式曲線對(duì)比，取十一次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線Vmax下限值為1.805，變化范圍為1.805～2.707。為考察十一次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線的變化趨勢(shì)，在Vmax=1.805，2.000，2.707時(shí)，計(jì)算并繪制十一次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線各特性參數(shù)圖譜(見(jiàn)圖4)，為方便對(duì)比，計(jì)算各特性參數(shù)的最大值(見(jiàn)表3)。

通過(guò)對(duì)表3分析可以看出，與七次和九次變系數(shù)多項(xiàng)曲線一樣，十一次變系數(shù)多項(xiàng)凸輪曲線各特性參數(shù)并未隨著最大速度的變大而變大，變化趨勢(shì)各有不同，變化范圍差距較大。

分析圖4及表3可知，十一次變系數(shù)多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)了跳度Q的連續(xù)，且各特性參數(shù)在整個(gè)周期內(nèi)變化平穩(wěn)、無(wú)突變。

表3十一次變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線特性參數(shù)

Table 3 Characteristic parameters of 11 power variable coefficient polynomial cam curve

VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax 1.8058.231 966.713 3969.108 814.858 5 2.0007.927 158.796 9800.123 315.854 1 2.70711.266 3108.277 5945.684 930.497 9

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式凸輪曲線的研究，本研究提出了七、九、十一次變系數(shù)多項(xiàng)式曲線，并對(duì)凸輪曲線方程及特性參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，繪制了特性參數(shù)圖譜，通過(guò)圖譜分析可看出，該曲線各特性參數(shù)隨著最大速度Vmax取值的變化而變化。綜合3種變系數(shù)多項(xiàng)式最大速度Vmax下限值可以看出，為了提高動(dòng)力學(xué)性能，增加多項(xiàng)式次數(shù)可提高凸輪曲線方程兩端的可導(dǎo)性。但是最大速度Vmax下限值由七次變系數(shù)多項(xiàng)式的1.46提高到十一次變系數(shù)多項(xiàng)式的1.805時(shí)，雖然動(dòng)力學(xué)性能提高，但運(yùn)動(dòng)學(xué)性能變差?？梢?jiàn)在采用變系數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線時(shí)，對(duì)偏重于運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的中低速凸輪機(jī)構(gòu)，可以選取次數(shù)較低的凸輪曲線，對(duì)動(dòng)力學(xué)性能要求較高的高速凸輪則可以選取次數(shù)較高的凸輪曲線。

圖4 十一次變系數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式凸輪曲線各特性參數(shù)變化圖譜Figure 4 Variation of each characteristic parameter of 11 power coefficient polynomial cam curve

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