江蘇省盱眙中學(211700) 董培仁

問題在圖1的 △ABC中,邊AB=25、AC=40,高AD=24,沿高AD將△ABC折成如圖2的幾何體,試考慮∠BAC與∠BDC大小關系.

圖1

一、學生的思考

學生給出的結論大都是∠BAC＜∠BDC.

圖2

不少學生是這樣看的:在圖2中,因為AD⊥BD,AD⊥CD,所以AD⊥平面BCD,∠BDC是∠BAC正投射到平面BCD得到的,顯然應該有∠BAC＜∠BDC.有學生將圖2中△ABC“平放”到平面BCD上 (如圖3),連接AD并延長交BC于E.由于三角形的一個外角大于不相鄰的一個內(nèi)角,則∠BDE＞∠BAE,∠EDC＞∠EAC,所以∠BDC＞∠BAC.

圖3

二、教學的處理

為了糾正學生錯誤,我們在講解時用“極端化”方法進行了處理,即:當折的幅度很小(接近圖1情形)時,∠BDC接近180°,顯然∠BAC＜∠BDC;而當折的幅度很大(接近B在DC上的圖4情形)時,∠BDC接近0°,顯然∠BAC＞∠BDC.因此,∠BAC與∠BDC誰大誰小是不確定的.

圖4

上面的處理,并沒有給出兩個角大小關系轉(zhuǎn)換具體情形,雖學生不得不接受結論,但不能理解兩個角大小轉(zhuǎn)換的原因.

為讓學生理解,我們通過計算兩個角的余弦進行處理.

在圖2中,Rt△ABD的斜邊AB=25,一直角邊AD=24,則另一直角邊Rt△ACD的斜邊AC=40,一直角邊AD=24,則另一直角邊DC=32.設BC=d,由于DC?BD＜BC＜DC+BD,則BC=d∈(25,39).由余弦定理:由得222d2=205950,即則當時,cos∠BAC＞cos∠BDC,即∠BAC＜∠BDC;當時,cos∠BAC=cos∠BDC,即∠BAC=∠BDC;當時,cos∠BAC＜cos∠BDC,即∠BAC＞∠BDC.因此,∠BAC與∠BDC的大小是不確定的.

三、問題的再思考

我們給出了“極端化”和求余弦值的兩種解法后,學生不得不承認∠BAC與∠BDC的大小是不確定的這個結論.但一些喜歡思考的同學多次與我探討這個問題,始終不明白直觀體驗到那么明顯的關系怎么就是錯誤的,原因到底在哪里?

事實上,學生對圖的形狀與相應數(shù)據(jù)沒有對應好.為讓學生的“彎子”能繞過來,我們參照學生的“平放”法,在學校的江蘇省“數(shù)字化高中課程基地”里進行了試驗.

在圖5中作DH⊥BC,垂足為H,連接AH.由于AD⊥平面BCD,則AD⊥BC,又DH⊥BC,AD∩DH=D,所以BC⊥平面ADH,故BC⊥AH.再將△ABC“平放”到平面BCD上(如圖6),則AH⊥BC且D在AH上.我們將圖6中AB、AC、BD、DC、AE(過D、H)做成骨架,且D、H在骨架AE上都可以滑動,移動B、C點(始終有AE⊥BC).由于BC∈(25,39),我們就考察B與C兩點距離d在(25,39)范圍內(nèi)變化時,∠BAC與∠BDC的大小關系.

圖5

圖6

d在(25,39)范圍內(nèi)變化時,會出現(xiàn)三種情況:H在BC之間、H與B重合、H在CB的延長線上.

圖7

由條件及前面的計算已知AB=25,AD=24,BD=7,AC=40,AD=24,DC=32,d=BC∈(25,39).

若H在BC之間 (如圖7(1))時,∠DBH是銳角,則BD2+BC2＞DC2得所以d＜39.此時∠BDH是△ABD中∠BDA的外角,則∠BDH＞∠BAD,同理∠CDH＞∠CAD,則顯然有∠BAC＜∠BDC.

若H與B重合 (如圖7(2))時,顯然有∠BAC＜∠BDC.

若H在CB的延長線上(如圖7(3))時,易知25＜d＜情況比較復雜,下面進行具體分析.由于H在BC之間、H與B重合兩種情形都有∠BAC＜∠BDC,因此兩個角大小轉(zhuǎn)換應該在“H在CB的延長線上”這種情形中發(fā)生.

學生得出錯誤結論的原因:一是只想到了“H在BC之間”這一種情形;二是雖然有的想到了三種情況,但認為“H在CB的延長線上”這種情形下仍只有∠BAC＜∠BDC.

對于錯誤一的糾正,要引導學生考慮∠DBC＞90°、∠DBC=90°的情況,再進一步進行處理.

對于錯誤二的糾正,考慮到學生對“H在CB的延長線上情形中,圖的形狀與相應數(shù)據(jù)沒有對應好,我們先引導學生從圖形的模型變化中進行體驗,再用數(shù)的形式進行推導與計算.

圖8

我們在圖6的骨架中,移動B、C點(D、H在骨架AE上滑動,始終有AE⊥BC),讓BC逐漸變小,學生就會體驗到兩個角的大小就會出現(xiàn)三種情形變化:∠BAC＜∠BDC(如圖8(1)),∠BAC=∠BDC(如圖8(2)),∠BAC＞∠BDC(如圖8(3)).

為了讓學生理解形的變化與數(shù)量的變化保持一致,先看下面的一個問題:

如圖9,∠MON=90°,點A、B在射線OM上,其中OA=a,OB=b(b＞a＞0),點C是在射線ON上的動點,當∠BCA取得最大值時,求OC的長.

圖9

設OC=x,則可 得 tan∠BCA= tan(∠OCB?∠OCA) =即 tan∠BCA=我們知道:上是增函數(shù),在上是減函數(shù);y=tanx在上增函數(shù).因此容易知道:時,x越大,tan∠BCA越大,所以∠BCA越大;時,x越大,tan∠BCA越小,所以∠BCA反而越小.故當時,∠BCA取得最大值.

因此,“H在CB的延長線上”情形中(如圖7(3)),雖然A在D的上方,并不總有∠BAC＜∠BDC,而是有對應圖8中的三種情形.

事實上,由于25＜d＜39,結合上面余弦定理計算的結果,數(shù)形對應如下(如圖10):

圖10

當25時,∠BAC＞∠BDC;當d=時,∠BAC=∠BDC;當時,∠BAC＜∠BDC.

在后來的交流中,那些提出疑問的學生接受了上面對問題的處理.這也讓我們體會到:在問題處理中,數(shù)形之間不能切合時,若只從一個角度進行思考,雖然能得出解答,但并沒有讓學生真正理解,難以達到應有的教學效果.因此,不能為了解決問題,只用“數(shù)解形”或用“形解數(shù)”,而是要讓兩者在真正地結合.這就要求我們在教學中,讓“做”與“算”建立協(xié)作體,對于學生不理解的“算”,要通過技術手段“做”出來讓學生看,同樣對于學生不理解的“做”時,要通過“算”出來幫助理解,讓兩者全方位、多角度、深層次交互作用,達到真正地切合,才能讓教學效果最優(yōu)化.