浙江省杭州外國語學(xué)校(310023) 袁勁松

1試題呈現(xiàn)

(2017年麗水卷第16題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=?x+m分別交x軸,y軸于A、B兩點,已知點C(2,0).

(1)略;(2)設(shè)P為線段OB的中點,連結(jié)PA,PC,若∠CPA=45°,則m的值是___.

(2017年金華卷第15題)如圖2,已知點A(2,3)和點B(0,2),點A在反比例函數(shù)的圖象上.作射線AB,再將射線AB繞點A按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,交反比例函數(shù)的圖象于點C,則點C的坐標(biāo)是____.

圖1

圖2

上面的兩道中考填空題,雖然形式上不太一樣,但是有著一個共同的特點,都存在一個45°的特殊角.因此,如何利用45°的角成為了本題的突破口,45°的角的兩邊與軸的交點形成了一個類似的三角形,因此這兩道題有著如下的共同解法.

2 共同解法展示

2.1 構(gòu)造“一線三等角”,利用相似三角形

圖3

圖4

圖5

麗水卷解法1如圖3,在y軸截取OD=OC,此時∠PDC=45°,可以證得 △ABP∽ △PDC,所以進而得到方程解得m=12.

金華卷解法1如圖4,過點A作等腰直角△PNG,作ND=NF,連結(jié)DF,易得NP=NG=6,設(shè)FN=DN=a,可以證得△APG∽ △FDA,得到得到方程解得a=1,所以F(1,0),求出AF的解析式為y=3x?3,再和聯(lián)列方程得到C點坐標(biāo)為(?1,?6).

金華卷解法還可以構(gòu)造如圖5的“一線三等角”模型,構(gòu)造過點A的等腰直角△ODE,易得DE的解析式為y= ?x+5,可得E(0,5)和D(5,0),可以證得△AEB∽ △FDA,所以進而得到方程解得DF=4,得到F(1,0),求出AF的解析式為y=3x?3,再和聯(lián)列方程得到C點坐標(biāo)為(?1,?6).

分析“一線三等角”是一種常見的建立三角形相似的方法,該模型在這兩小題的應(yīng)用中看上去有些“異?！?一個只有兩等角,另一個根本不存在等角,所以我們利用45°的角去構(gòu)造等腰直角三角形,形成“一線三等角”的基本模型,再利用相似三角形的基本性質(zhì)列出方程.

2.2 構(gòu)造“三垂型”模型,利用全等三角形

圖6

圖7

圖8

麗水卷解法2如圖6,過點C作CD⊥CP交AP于點D,再作DE⊥x軸,易得 △OPC△ECD,所以DE=OC=2,AE=OA?OC?CE=因為DE//OP,所以得到列出方程解得m=12.

金華卷解法2如圖7,過點MF⊥AM,構(gòu)造如圖所示的輔助線,易得△EFM=△DMA,設(shè)M的坐標(biāo)為(0,m),可以求出MD=EF=2,AD=EM=3?m,因為點G在直線上,可以求得點G的坐標(biāo)為(2m?4,m),進而求得GE=1?m,GD=6?2m,因為EF//AD,所以列出方程2:(3?m)=(1?m):(6?2m),解得m=±3(m=3舍去).所以點M的坐標(biāo)為(0,?3).

金華卷解法如圖8,也可以過點C構(gòu)造如圖所示的“三垂型”全等,設(shè)點C的坐標(biāo)為所以CE=DG=2?a,可以求得點D的坐標(biāo)為又因為點D在直線上,化簡得a2?a?2=0,解得a1=?1,a2=2(舍去),所以點C的坐標(biāo)為(?1,?6).

分析“三垂型”模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形,也可以用來證明勾股定理.看到45°角可以構(gòu)造等腰直角三角形,進而形成“三垂型”模型.

2.3 構(gòu)造“角平分線”,運用內(nèi)角平分線的性質(zhì)

圖9

圖10

預(yù)備知識如圖9,AD是△ABC的角平分線,則有

證明如圖10,過點B作BE//AC交AC的延長線于點E,可以得到又因為∠E=∠CAD,∠CAD=∠BAD,所以∠E=∠BAD,所以BE=AB,代入上面比例式就可以得到結(jié)論.

圖11

圖12

麗水卷解法 3如圖11,過點P作PD⊥PA,因為∠APC=45°,所以CP為 △APD的角平分線,因此并且求出D的坐標(biāo)可以列出方程解得m=12.

金華卷解法3如圖12,方法完全同上.

分析由于45°是90°的一半,構(gòu)造了角平分線,恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基本性質(zhì).45°這一條件,讓人產(chǎn)生了很多遐想,補全直角也是一種常見的手段.

2.4 構(gòu)造“正方形”,借用正方形旋轉(zhuǎn)

預(yù)備知識如圖,正方形ABCD,點E,F分別在BC和CD上,且∠EAF=45°,求證:BE+DF=EF.

證明△將ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,可以證得△AEG△AEF,所以EF=EG=BE+BG=BE+DF.

圖13

圖14

麗水卷解法4如圖15,過點P構(gòu)造正方形OPDE,因為利用預(yù)備知識可以得到又因為在△CEN中利用勾股定理得到解得m=12.

圖15

圖16

金華卷解法4如圖16,因為所以設(shè)點E為(m,0),則DE=2?m,GE=1+m.利用預(yù)備知識可以得到在直角△HGE中利用勾股定理列出方程解得m=1,得到E(1,0).

分析“半角模型”也是一種常見的基本圖形,這類問題一般利用旋轉(zhuǎn)完成,可以得到全等三角形,進而得到線段之間的關(guān)系.

2.5 構(gòu)造“三角形的高”,回到勾股定理

麗水卷解法 5如圖17,作CD⊥AP,可知 △PCD為等腰直角三角形.因為PO:AO=CD:AD=1:2,AC=m?2,易得在Rt△POC中,利用勾股定理得解得m=12.

金華卷解法5如圖18,作ED⊥AF,(后面計算可得B和D重合),設(shè)AD=ED=a,則DE=2a,AF=3a,又因為得到所以所以E(1,0).

圖17

圖18

圖19

麗水卷解法如圖19,我們也可以過點P作PD⊥AB,可得易證△POC∽△ADP,所以得到方程解得m=12.

分析遇到直角問題,有時要回歸到勾股定理,利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問題中,我們經(jīng)常會利用勾股定理構(gòu)造方程.本題中依靠∠CPA=45°構(gòu)造等腰直角三角形,同時得到△POA∽△CDA,一箭雙雕.

2.6 構(gòu)造“四點共圓”,運用兩點間的距離公式

圖20

圖21

麗水卷解法6如圖20,以AC為直角邊構(gòu)造等腰直角 △ADC,因為∠D=∠APC=45°,所以A、C、P、D四點共圓,且以CD為直徑,E為圓心.因為D(m,m?2),根據(jù)EP=EC,可以列出方程解得m=12.

金華卷解法6如圖21,方法同上.

分析“四點共圓”是一種常見的基本圖形,它可以運用同弧所對的圓周角相等,半徑相等直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點,靈活多變.

3 解題后的反思

3.1 明確解題方向,確定解題途徑

這兩道中考題都是以函數(shù)為載體的幾何問題,以上的解法都充分利用了數(shù)形結(jié)合,把題中的“形”轉(zhuǎn)化為運算,達到“化形為數(shù)”的目的,這是解決問題的關(guān)鍵所在,也是基本思路,有了這些基本思路就有了解決問題的方向.在解決函數(shù)中的幾何問題時,一定要充分利用幾何的基本性質(zhì),抓住問題表象中的隱含條件.利用幾何性質(zhì)的同時結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)計算,達到幾何與代數(shù)的完美結(jié)合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等,等腰直角三角形的性質(zhì)的運用即在意料之外又在情理之中,順其自然,水到渠成.

3.2 抓住問題本質(zhì),學(xué)會異中求同

上面的兩道中考題看似不同,卻有著共同的本質(zhì),可以稱得上是多題一解.數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化,僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是很難抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),盲目地做題還不如靜下心來去思考.我們應(yīng)該由表及里,發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系,抓住問題的本質(zhì)達到有效的解題.筆者在本文中既有一題多解又有多題一解.一題多解注重學(xué)生思維能力的廣度,多題一解更善于挖掘?qū)W生思維能力的深度,兩者并不矛盾并相互依托.因此,在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中,不能只顧其一,要兩者兼顧,使得學(xué)生的思維即可發(fā)散又可回歸,做到收放自如.

3.3 活用解題模型,呈現(xiàn)多樣解法

基本圖形是解決綜合性幾何問題的一個很好的突破口,從復(fù)雜的圖形中抽出簡單的圖形,利用基本圖形的性質(zhì)可以化難為易,讓你在解題時由山重水復(fù)疑無路突然柳暗花明又一村.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),因此教師的任務(wù)就是要通過教解題,讓學(xué)生在解題學(xué)習(xí)中達到“學(xué)會思考”這一核心的數(shù)學(xué)育人功能,教學(xué)生解題,應(yīng)注重在解題的方法,核心概念和基本模型,培養(yǎng)學(xué)生加強知識之間的遷移能力.既要注重一題多解,也要關(guān)注多題一模型.如何幫助學(xué)生識別典型的基本圖形結(jié)構(gòu),怎么進行策略選擇,如何完成基本技能的疊加……如果我們能夠幫助學(xué)生搭建解題的臺階,他們或許在一道題中走得更遠,看得更透,離我們期望的能力和素養(yǎng)更近一點.