廣東省廣州市綠翠現(xiàn)代實驗學校(510300) 唐秋萍

數(shù)學教學的本質是:學生在教師的引導下能動地建構數(shù)學認知結構,并使自己得到全面發(fā)展的過程.數(shù)學教學的根本任務就是要造就學生良好的數(shù)學認知結構,以滿足后繼的學習需要,最終提高學生的問題解決能力.在數(shù)學教學中如何幫助學生建構良好的數(shù)學認知結構,是推進實施有效教學策略所面臨的一項重要課題.本文將從以下幾個方面來闡述如何幫助學生構建良好的數(shù)學認知結構.

一、數(shù)學認知結構概念的界定

(一)數(shù)學認知結構的含義

數(shù)學認知結構就是學生頭腦里獲得的數(shù)學知識結構,只不過是一種經(jīng)過學生主觀改造后的數(shù)學知識結構,它是數(shù)學知識結構與學生心理結構相互作用的產(chǎn)物,其內容包括數(shù)學知識和這些數(shù)學知識在頭腦里的組織方式與特征.學生的數(shù)學認知結構是在后天的學習活動中逐步形成和發(fā)展起來的,由于不同主體對知識內容的理解和組織方式不同,所以數(shù)學認知結構是有個體差異的.

(二)數(shù)學認知結構與數(shù)學知識結構的聯(lián)系與區(qū)別

數(shù)學認知結構和數(shù)學知識結構是兩個不同的概念,它們之間既有密切的內在聯(lián)系,又在嚴格的區(qū)別.兩者的聯(lián)系主要反映為學生的數(shù)學認知結構是由教材中的數(shù)學知識結構轉化而來的,數(shù)學知識結構是數(shù)學認知結構賴以形成的物質基礎和客觀依據(jù)、兩者的區(qū)別主要表現(xiàn)在以下幾個方面:(1)概念的內涵不同;(2)信息的表達方式不同;(3)結構的構造方式不同;(4)結構的完備性不同;(5)內容的科學性不同.

在強調知識結構與認知結構的區(qū)別的同時,并不否認二者之間的密切聯(lián)系,數(shù)學知識結構通過內化在學習者頭腦中,形成觀念的內容和組織,就構成數(shù)學認知結構.所謂內化就是數(shù)學知識通過感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認知活動轉化為學生頭腦中的數(shù)學認知結構的過程.

二、良好的數(shù)學認知結構的特征

數(shù)學教學的根本任務就是造就學生良好的數(shù)學認知結構,以滿足后繼學習的需要,最終促進學生的全面發(fā)展.那么,具備什么特征的數(shù)學認知結構才是良好的呢?前人從不同的角度進行了探討,簡述如下:

(一)根據(jù)美國教育心理學家奧蘇貝爾的觀點可知,良好的數(shù)學認知結構有以下三個特征:

(1)可利用性,即在學習者原有的數(shù)學認知結構中有適當?shù)钠鹜饔玫挠^念可以利用;

(2)可辨別性,即新知識與學習者原有的數(shù)學認知結構中的相關觀念是可辨別的;

(3)穩(wěn)定性,即同化新知識的原有的觀念是清晰和穩(wěn)定的.

(二)華南師大何小亞先生從問題解決出發(fā),認為良好的數(shù)學認知結構的特征包括以下四個:

(1)足夠多的觀念;(2)具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式;(3)層次分明的觀念網(wǎng)絡結構;(4)一定的問題解決策略的觀念.

(三)嚴正香和黃德成老師從實際教學出發(fā),認為學生良好的數(shù)學認知結構具有以下特征:

(1)有序性;(2)廣闊性;(3)構建性;(4)策略性.

總之,良好的數(shù)學認知結構的特征是有利于產(chǎn)生層次更高的數(shù)學認知結構.

三、教學中構建良好的認知結構策略

(一)幫助學生構建合理的知識結構,完善學生的認知結構

根據(jù)學習的認知理論,數(shù)學學習過程是一個數(shù)學認知過程,即新的數(shù)學學習內容和學生原有的數(shù)學認知結構相互作用形成新的數(shù)學認知結構的過程.數(shù)學學習過程包括三個階段:新知識輸入階段,新舊知識相互作用階段和新知識進行操作階段.奧蘇貝爾強調,學生原有的知識結構是決定新的學習的最重要的因素.他指出,“如果我不得不把全部心理學還原為一條原理的話,那么我會說,影響學習的最重要因素是學生已經(jīng)知道了什么,根據(jù)學生原有的知識狀況進行教學.”由此可見,教師在向學生輸入新的知識時,必須注意學生原有的知識水平和認知水平,換句話說,學生的認知結構中必須具有適當?shù)闹R,即合理的知識結構.因此,教師在數(shù)學課堂教學中就要幫助學生構建合理的數(shù)學知識結構,完善學生的數(shù)學認知結構.

(二)幫助學生優(yōu)化定理教學,構建學生良好的認知結構

數(shù)學定理的學習主要是讓學生掌握數(shù)學概念之間的本質聯(lián)系,使學生原有數(shù)學認知結構中的兩個或者多個固定點聯(lián)系起來,在數(shù)學認知結構中形成一個新的固定點,有效的教學方法能使學生在頭腦中建立起數(shù)學觀念之間穩(wěn)定的聯(lián)系,從而使學生在頭腦中形成關于所學定理的穩(wěn)定的認知結構,從而完善學生的數(shù)學認知結構.

數(shù)學定理內化后是數(shù)學認知結構的重要組成部分,隨著數(shù)學學習過程的不斷發(fā)生,數(shù)學認知結構的內部觀念在不斷地分化和抽象,形成了許多大大小小的“金字塔”結構,這些小“金字塔”結構又互相聯(lián)系成了一種立體網(wǎng)狀結構.每個定理的形成都包含如下兩個過程:一是相關的數(shù)學觀念的形成過程;二是定理觀念的形成.

為構建良好的數(shù)學認知結構,筆者在數(shù)學定理教學中采取如下措施:

(1)形成穩(wěn)定清晰可辯別的相關數(shù)學概念;

(2)引導學生在問題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理;

(3)讓學生掌握最基本的邏輯知識、邏輯規(guī)律和邏輯方法;

(4)幫助學生認識理解和掌握定理之間的關系.

(三)重視數(shù)學思想方法的滲透,形成良好的認知結構

數(shù)學知識結構通過內化形成數(shù)學認知結構,而數(shù)學思想是數(shù)學知識結構的精髓,是數(shù)學知識的內核,正是由于數(shù)學思想方法的存在,才使得數(shù)學知識不再是孤立的單點或離散的片段,使得解決問題的方法不再是刻板的套路和個別的一招一式,因此數(shù)學思想方法在數(shù)學認知結構中起著固定的作用.聶春霞老師在其《數(shù)學認知結構的層次及轉化》一文中認為,含有數(shù)學思想方法的數(shù)學認知結構可稱之為高層次的數(shù)學認知結構,反之便是低層次的.因此,要想實現(xiàn)數(shù)學認知結構由低到高的轉化,必須重視數(shù)學思想方法的教學.筆者認為至少要從兩方面入手:(1)注重數(shù)學思想方法的課堂滲透;由于數(shù)學思想方法具有隱蔽性強,抽象度高等特征,學生自己概括和總結不易得到,所有教師必須在課堂上有意識的滲透其載體及數(shù)學認知結構中已有的思想方法建立聯(lián)系.課堂中滲透數(shù)學思想方法有下面措施:是在知識的發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法;是在在解決數(shù)學問題中滲透數(shù)學思想方法;是化隱為顯,揭示數(shù)學思想方法.(2)注重數(shù)學思想方法的及時加強;數(shù)學思想方法是高度抽象化的,僅憑學生在課堂上的學習和理解是不夠的.隱私做相應的練習必不可少.由于數(shù)學思想方法蘊含在多個分支中,所以綜合性問題與實際問題的解決對鞏固數(shù)學思想方法會更加有效.

總之,想讓學生將數(shù)學思想方法應用自如,需學生在解題實踐中反復練習和運用,使數(shù)學思想方法轉化為自己的“經(jīng)驗”和“習慣”,這樣才能讓學生形成對數(shù)學思想方法有良好認知結構.

(四)充分暴露數(shù)學思維過程,調動學生思維的積極性

數(shù)學教學活動中存在著三種思維活動,即數(shù)學家的思維活動,數(shù)學教師的思維活動和學生的思維活動.在數(shù)學教學中,暴露數(shù)學思維過程,就是重視數(shù)學知識產(chǎn)生的思維過程.教師既要暴露數(shù)學家的思維活動,又要暴露教師的思維活動,還要讓學生暴露他們自己的思維過程.這樣才能使知識的邏輯展開與學生的認知規(guī)律相結合,讓學生參與知識的形成過程,弄清知識的來龍去脈,在“揭露”的過程中優(yōu)化學生的數(shù)學認知結構,調動學生思維的積極性.那么在教學過程中應該如何暴露學生的思維過程呢?筆者認為需要做到以下兩點:一是教師必須讓學生正真參與到知識的探索中去,不能以教師的教去代替學生的學;二是教師必須尊重學生的思維選擇,盡量沿著學生的思維軌道,對思維展開調控.

(五)幫助學生構建數(shù)學知識網(wǎng)絡,培養(yǎng)學生系統(tǒng)的思維導圖

知識網(wǎng)絡構建是指學生把所學知識與多方面的相關知識進行串聯(lián),建構起新知識與各方面因素間的網(wǎng)絡構架.但同時教師對其要有透徹的認識,才能幫助學生不僅在形式上建立如概念圖的知識網(wǎng)絡結構,而且使其結構中的信息流通暢順,即結構中各知識點之間有著其數(shù)學本質意義的聯(lián)系.

例如:學完“數(shù)列”一章概念即可幫助學生構建如下知識網(wǎng)絡圖:

通過這個知識網(wǎng)絡,對數(shù)列這章的所有定理和公式都能清楚的梳理,也能從系統(tǒng)的看數(shù)列知識的考點和聯(lián)系.所以教師應該幫助學生主動地對所學的知識進行分類和歸納、整理和提煉,構建出適合自己的知識網(wǎng)絡,以便在解決數(shù)學問題時更快地提取有關知識點,達到提高問題解決的能力.

(六)培養(yǎng)學生良好的反思習慣,鞏固學生的認知結構

在數(shù)學學習過程中,良好的反思習慣有助于學生構建數(shù)學認知結構.所謂反思,就是學習者對自身數(shù)學學習活動的過程,以及活動過程中涉及的有關事物的學習特征的反向思考.筆者認為學生對知識的反思分為兩種:一是總結性反思,即考慮解題的關鍵步驟用到了哪些定理、法則、體現(xiàn)了什么思想方法.對解題中出現(xiàn)的挫折要找出原因,弄清哪部分知識不熟悉造成,這樣從正反兩個方面強化了所學知識,提高了數(shù)學思維能力;二是提高性反思,即對所解的數(shù)學問題進行發(fā)散性擴展或是收效性概括.發(fā)散性擴展,指通過改變習題條件,擴大外延的一題多變的思考,培養(yǎng)發(fā)散性思維;收斂性概括,是對所解的題目從結構上和思路上進行抽象、概括和歸納,以便形成高層次的題型模式和數(shù)學思維模式.

總之,反思學習是智能發(fā)展的高層次表現(xiàn),是建構學說在教學實踐中的主要體現(xiàn).唯有反思,才能控制思維操作,才能促進理解,提高學生的認知結構水平,從而促進教學觀點的形成和發(fā)展,不斷完善學生的認知結構,實現(xiàn)良好的循環(huán).

[1]何小亞.建立良好的數(shù)學認知結構的教學策略[J].數(shù)學教育學報,2002,11(1):24-27.

[2]嚴正香、黃德成.如何建構學生良好的數(shù)學認知結構[J].沈陽農(nóng)業(yè)大學學報(社會科學版),2005,7(2):190-191.

[3]涂榮豹.試論反思性數(shù)學學習[M].數(shù)學教育學報,2000,(4).

[4]管鵬.形成良好數(shù)學認知結構的認知心理學原則[J].教育理論與實踐,1998,18(2):40-45.