姚倫標 李寧 張琪 于明飛

摘要：在對比分析常用腔體散射的研究方法優(yōu)缺點基礎(chǔ)上，分析了腔體散射具有散射強度高、散射角度寬、高頻散射等特征，亟待解決對電大尺寸復(fù)雜終端腔體的精確數(shù)學(xué)模型處理及計算精度問題。基于以矩量法（MOM）為基礎(chǔ)的三維電磁分析軟件FEKO，分別采用低頻數(shù)值算法、高頻近似算法開展了對文獻單端開口復(fù)雜終端模型的雷達截面積（RCS）對比計算研究，得出在綜合考慮計算精度、效率時，由矩量法改進而來的多層快速多極子法（MLFMM）在電大尺寸復(fù)雜終端腔體電磁散射特性研究中具有較大優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：FEKO;MLFMM;腔體;電磁散射特性;ROS

中圖分類號：V218 文獻標識碼：A

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，飛行器的低可探測性是其戰(zhàn)場生存力的重要指標。在飛行器的電磁特性研究中，進氣道、座艙、排氣噴管等凹腔結(jié)構(gòu)使入射電磁波在腔體內(nèi)多次反射及相互作用，電磁能量從口徑面返回，可在入射方向上形成強烈的雷達回波，構(gòu)成飛行器前向、后向的強散射源。由此，進氣道、噴管等腔體成為評估隱身飛機隱身性能的關(guān)鍵部件，對這類腔體構(gòu)件開展雷達截面積（RCS）分析研究是飛行器隱身技術(shù)的重要研究課題。

飛行器的腔體結(jié)構(gòu)尺寸較雷達波長都為電大尺寸，且腔體內(nèi)部均含有復(fù)雜的終端結(jié)構(gòu)，這使得腔體的電磁散射機理十分復(fù)雜，散射強度大，相對于平板、曲面等結(jié)構(gòu)的計算分析難度巨大。早期對腔體的電磁散射特征分析，應(yīng)用模式匹配法（MM）[1]進行分析，其局限性非常明顯，后來發(fā)展了高頻射線類方法，如彈跳射線法（SBR）、廣義射線法（GRE）、高斯波束法（GB）等，主要是基于高頻電磁波的類光學(xué)特性而提出，而基于積分方程的矩量法（MOM）及基于差分方程的有限元法（FEM）、有限時域差分（FDTD）等方法也得到不同程度的發(fā)展，同時基于上述方法的混合算法也備受研究學(xué)者關(guān)注[2-6]。但對于單端開口復(fù)雜終端的腔體結(jié)構(gòu)電磁散射分析一直沒有形成公認的、系統(tǒng)而精確的算法，對其開展電磁特性分析需要在計算精度與效率上合理取舍。多層快速多極子法（MLFMM）是基于MOM發(fā)展而來，在保留了數(shù)值算法計算精度的同時，大大提高了計算效率，使其在電大尺寸任意幾何形狀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜腔體RCS研究具有較大優(yōu)勢。

本文基于三維電磁計算軟件FEKO，對單端開口復(fù)雜終端腔體進行不同方法對比計算后，與文獻測試結(jié)果進行對比，得出在綜合考慮計算精度、計算資源需求、計算效率等方面因素下的電磁散射分析優(yōu)選方法。

1 腔體散射研究方法

腔體結(jié)構(gòu)作為一類重要的電磁散射結(jié)構(gòu)，一直吸引著眾多研究者致力于其電磁特性研究。腔體散射具有散射強度高、散射角度寬、高頻散射等特征[7]，且腔體類部件幾何尺寸通常遠大于入射電磁波長，屬于電大尺寸問題，這些特征使得腔體類部件RCS計算難度很大。對此，國內(nèi)外學(xué)者提出了各種針對腔體的電磁計算方法[8]。根據(jù)各類方法的特點，可將其大致分為三類，分別是低頻數(shù)值算法、高頻近似算法和混合算法。

1.1 低頻數(shù)值算法

數(shù)值方法諸如MOM、FEM、FDTD等，是基于嚴格麥克斯韋方程及Stratton-Chu微積分方程來描述電磁場邊值問題的方法，原則上其可用于研究任意頻率范圍、任意幾何形狀結(jié)構(gòu)的目標，計算精度高，但隨著電尺寸的增加，計算量和內(nèi)存資源需求將迅速增加，即使一般計算中心也很難滿足。同時高頻區(qū)的散射變成了局部效應(yīng)，距離遠的面元之間相互作用變得非常微弱，使整個目標離散為基礎(chǔ)的Stratton-Chu方程效率大大降低[7]。

1.2 高頻近似算法

高頻算法是基于電磁波的類光學(xué)特性提出的針對電大尺寸的近似算法，早期提出的MM法只適合計算規(guī)則腔體且軸向不能有大的變化，因為只有在簡單典型體才能找到波導(dǎo)的本征模式表達式，計算時間也比較長。后來發(fā)展了一些高頻射線類方法，如SBR、GRE、GB、GO、迭代物理光學(xué)法（IPO）等，在計算效率及規(guī)模上具有一定優(yōu)勢，因其為近似算法，計算精度及適用條件都限制了其應(yīng)用范圍，這也是研究學(xué)者致力于不斷提高的重要研究方向。

1.3 混合算法

對于內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電大尺寸開口腔體，高頻近似方法處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)帶來的誤差太大，而低頻數(shù)值方法又不能負載電大尺寸腔體電磁分析的龐大計算量?；旌纤惴ɡ碚撋辖Y(jié)合了兩者的優(yōu)點，利用高頻方法計算終端前的緩變空腔，利用低頻數(shù)值算法計算終端的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[9，10]。這樣大部分腔體可以用高頻算法快速計算，其余電尺寸已經(jīng)減小到低頻數(shù)值方法可處理的程度，降低了對計算機硬件的要求。國內(nèi)外學(xué)者對此進行了大量探索，但從目前的研究成果來看，并沒有被廣泛采用，對諸如航空發(fā)動機排氣腔體等復(fù)雜終端開口腔體RCS分析行之有效的方法。

2 腔體散射研究中存在的問題

從早期的模式匹配法提出至今，國內(nèi)外學(xué)者提出不同腔體的RCS計算方法，但由于腔體結(jié)構(gòu)電磁散射機理復(fù)雜，且實際目標結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，目前對于腔體散射研究中仍存在一些亟待解決的問題。

（1）電大尺寸問題的精確處理

電磁散射問題的核心是將散射、輻射問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)方程后進行數(shù)值求解。理論上說，不管目標尺寸的大小，只要能建立足夠精確的模型都應(yīng)該能得到問題的解，但實踐證明當(dāng)目標電尺寸增大或減小到一定尺寸時，數(shù)值解與測量結(jié)果之間存在很大差異。對于電大目標的誤差，除了數(shù)值離散誤差、數(shù)學(xué)模型誤差，還有計算機本身硬件資源限制也是精確處理問題的一個瓶頸。如以積分方程為基礎(chǔ)的MOM方法，其離散方程的系數(shù)矩陣通常為滿矩陣，需要大量的求逆過程，其求解通常需要O（N³）量級的數(shù)值計算量和O（N²）量級的計算機內(nèi)存資源（N為未知量數(shù)目）[11]。因此，解決電大尺寸與計算機限制之間的矛盾，是實現(xiàn)腔體RCS精確處理的重要研究內(nèi)容。

（2）復(fù)雜終端

在大量的文獻中研究進氣道、尾噴管等復(fù)雜終端結(jié)構(gòu)均等效為短路理想導(dǎo)體板，沒有考慮復(fù)雜終端結(jié)構(gòu)的真實影響效果。例如，飛機發(fā)動機的進氣腔道及排氣腔道分別是飛機前向、后向的強散射源，腔道內(nèi)含有風(fēng)扇葉片、渦輪葉片、混合器、穩(wěn)定器等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，嚴格分析終端對電磁波的反射是十分困難的，不僅建立幾何結(jié)構(gòu)的準確數(shù)學(xué)描述困難，而且結(jié)構(gòu)的復(fù)雜也使散射機理非常復(fù)雜。此外，當(dāng)發(fā)動機在運轉(zhuǎn)中葉片的調(diào)制作用也使得該類問題的散射研究更加復(fù)雜。

（3）計算誤差

一般來說，不光高頻近似算法本身存在誤差，低頻數(shù)值方法也同樣存在誤差，主要包括模型描述帶來的誤差、物理模型參數(shù)測定誤差、離散求解誤差及計算機求解舍人誤差等方面，如何提高各類方法求解中的誤差進行控制，從而提高腔體電磁散射計算精度也是研究學(xué)者的一大挑戰(zhàn)課題。

3 多層快速多極子算法

快速多極子方法（FMM）是美國耶魯大學(xué)的Rokhhn在80年代末提出的。90年代中后期，C.C.Lu，W .C.Chew等將該方法用于精確高效計算電大復(fù)雜目標的電磁散射[12，13]為了進一步提高計算速度，在FMM基礎(chǔ)上引入了多層的概念進一步加快了矩陣和矢量相乘，發(fā)展出MLFMM方法。該方法使MOM的存儲量及計算復(fù)雜度都降到了O（NlogN），適用于電大尺寸任意幾何形狀結(jié)構(gòu)的電磁散射分析。

其基本思路是：保留FMM中聚集、轉(zhuǎn)移和解聚的概念，引入多層概念，將未知數(shù)分為不同層次的組，讓聚集和解聚過程在細分層進行，通過移置、插值完成低層中的聚集和解聚，而轉(zhuǎn)移過程只在每層的部分組之間進行，其過程示意如圖1所示。

4 實例對比計算

（1）計算模型

本文的計算模型為一單端開口、終端帶有支板結(jié)構(gòu)的腔體結(jié)構(gòu)[14]，其腔體直徑為300mm，總長為300mm，支板寬度為100mm，內(nèi)錐體直徑為150mm，結(jié)構(gòu)如圖2所示。

（2）計算參數(shù)

參考文獻[14]提供了在頻率8GHz下的測試數(shù)據(jù)，如圖3所示。結(jié)合計算機能力，本文計算頻率為8GHz，極化為水平及垂直極化方式，計算網(wǎng)格約14萬。以開口端中心水平面為0°俯仰，其中心為90°偏航，計算30°～90°偏航角范圍內(nèi)的單站RCS，角度間隔取0.5°。

（3）結(jié)果對比分析

本文分別采用低頻數(shù)值算法FEM、MLFMM及高頻近似算法GO、PO進行RCS計算。圖4、圖5分別為采用FEM、MLFMM算法的計算結(jié)果在水平極化、垂直極化下與文獻測試結(jié)果對比曲線圖。圖6、圖7分別為采用GO、PO算法的計算結(jié)果在水平極化、垂直極化下與文獻測試結(jié)果對比曲線圖。

從圖4，圖5中可以得出，低頻數(shù)值算法MLFMM及FEM的計算結(jié)果與文獻數(shù)據(jù)十分吻合，在水平極化下MLFMM與FEM的計算結(jié)果差別非常小，但在垂直極化下，MLFMM的計算結(jié)果更加吻合文獻數(shù)據(jù)。從圖6、圖7可以看出，采用高頻近似算法對單端開口復(fù)雜終端腔體結(jié)構(gòu)進行RCS計算很難得到高精度的結(jié)果，在偏離中心的小角度范圍內(nèi)，探測裝置接收到的電磁回波主要來自終端的直接反射電磁波，所以高頻算法GO、PO還能有一定精度。隨著偏離中心角度的逐漸增大，電磁波經(jīng)過腔體內(nèi)壁面及終端的多次反射，形成復(fù)雜的腔體散射效應(yīng)，高頻近似算法就很難對腔體散射進行精確計算。

表1、表2是不同極化方式下、不同方法在不同取值范圍的均值統(tǒng)計，以90°為基準。從表中的均值分布得出，在水平極化下，采用MLFMM、FEM數(shù)值算法在15°、30°及45°范圍內(nèi)的均值與文獻結(jié)果非常接近，而高頻的GO、PO在各取值范圍內(nèi)的均值誤差較大。在垂直極化方式下，F(xiàn)EM、MLFMM及GO法在15°，30°范圍內(nèi)的均值誤差相對小。結(jié)合圖4～圖7可以得出，采用加速的MLFMM法的計算結(jié)果與全波有限元FEM精確算法的計算結(jié)果基本一致，在15°、30°、45°及60°范圍內(nèi)的均值誤差約±6%以內(nèi)，也進一步說明了MLFMM具備精確求解的能力。

通過對計算過程中各種方法的計算機資源使用情況和時間統(tǒng)計，得到各算法的計算效率，見表3?？梢悦黠@看出，F(xiàn)EM法雖然計算精度較高，但其對計算機資源需求高，求解速度慢。而同樣具有較高計算精度的MLFMM方法，可以大大降低計算的復(fù)雜度和計算時間，計算效率較MOM、FEM等數(shù)值算法得到大大提高。采用高頻算法，由于其對求解過程做了一定的近似和假設(shè)，所以其求解速度更快，對計算機硬件需求更低。盡管高頻近似算法在這類復(fù)雜腔體散射中很難得到滿足精度要求的計算結(jié)果，但在一些超電大平面及曲面等大面元結(jié)構(gòu)的RCS計算中，可以兼具精度及高效的優(yōu)勢，得到廣泛應(yīng)用。

5 結(jié)論

本文通過對比分析目前用于腔體電磁散射研究的一些常用方法的優(yōu)缺點基礎(chǔ)上，總結(jié)了腔體散射的特點及腔體散射研究中亟待解決的幾個問題。通過對文獻模型開展不同算法對比計算分析，得出結(jié)論如下：

（1）在腔體散射研究中需要解決帶復(fù)雜終端電大尺寸腔體問題的精確數(shù)學(xué)模型處理及誤差問題。

（2）采用加速的MLFMM方法的計算結(jié)果與全波有限元FEM精確算法的計算結(jié)果基本一致，各取值范圍內(nèi)的均值誤差約在±6%以內(nèi)，且與測試結(jié)果曲線吻合良好，具備精確求解的能力。

（3）基于MOM改進而來的MLFMM方法在計算單端開口復(fù)雜終端的腔體結(jié)構(gòu)RCS研究兼具精度和效率，對其開展在如發(fā)動機排氣腔體等電大尺寸復(fù)雜終端電磁散射特性研究中具有重要意義。

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