于國(guó)際，李飛鵬，李世強(qiáng),2，吳桂英

(1.太原理工大學(xué) a.應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所，材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.材料科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024；2.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082)

在自然界不同的環(huán)境中，自然選擇和進(jìn)化產(chǎn)生了大量的多功能生物材料，由于這些材料通常都包含大量不同尺度的微孔層級(jí)結(jié)構(gòu)，使其具有了優(yōu)越的力學(xué)特性[1]，吸引了許多研究者的關(guān)注，也為現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了寬廣的設(shè)計(jì)思路。人工層級(jí)材料的應(yīng)用可追溯到埃菲爾鐵塔的修建工程中[2]，其網(wǎng)狀鋼架層級(jí)結(jié)構(gòu)不僅相對(duì)密度較低而且具有很高的整體強(qiáng)度。隨著高新技術(shù)的發(fā)展及材料/結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)新理念的日漸成熟， 兼?zhèn)漭p質(zhì)吸能和其他多種優(yōu)異性能的人工層級(jí)材料(如圖1所示)已被廣泛應(yīng)用于航空航天、高速運(yùn)載(新型節(jié)能汽車、動(dòng)車)、國(guó)防工程等高技術(shù)領(lǐng)域。

圖1 層級(jí)點(diǎn)陣多孔材料各階細(xì)觀、微觀結(jié)構(gòu)[2]Fig.1 Microstructure of hierarchical lattice porous material[2]

蜂窩鋁是以鋁合金為基體的多孔金屬材料，作為一種吸能緩沖的功能材料已獲得了廣泛的研究[3]，GIBSON et al[4]系統(tǒng)的研究了蜂窩的面內(nèi)準(zhǔn)靜態(tài)壓縮力學(xué)性能,指出蜂窩鋁在面內(nèi)壓縮時(shí)孔壁會(huì)首先出現(xiàn)彎曲，產(chǎn)生線彈性變形，并且隨著應(yīng)變的增加，彈性彎曲、塑性屈服、蠕變或脆性斷裂等現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致胞孔的坍塌；當(dāng)相對(duì)的胞孔壁相互接觸時(shí)，胞孔坍塌結(jié)束。影響蜂窩面內(nèi)力學(xué)性能的參數(shù)主要包括孔徑大小、壁厚以及基體材料的性質(zhì)。由于其胞孔的可設(shè)計(jì)性，其最大優(yōu)點(diǎn)是可根據(jù)不同需求對(duì)芯層胞孔微結(jié)構(gòu)和尺度進(jìn)行多樣化設(shè)計(jì)，改善結(jié)構(gòu)力學(xué)性能[5-7]。LAKES[8]指出相同質(zhì)量下，二階層級(jí)蜂窩的壓縮強(qiáng)度是傳統(tǒng)蜂窩的3～4倍。YIN et al[9-10]通過(guò)對(duì)兩種不同的層級(jí)角錐點(diǎn)陣夾芯板進(jìn)行面外壓縮試驗(yàn)，分別給出了“拉-拉組合(stretch-stretch-hybrid)”和“拉-彎組合(stretch-bend-hybrid)”層級(jí)芯層的變形失效模式圖，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)拉-彎聯(lián)合屈服的層級(jí)芯層主要有芯層面板起皺和芯層整體剪切變形兩種模式；拉-拉聯(lián)合屈服的層級(jí)芯層主要有芯層支撐屈曲、芯層面板屈曲、芯層面板壓潰、芯層桁架歐拉屈曲以及芯層桁架剪切屈曲五種失效模式。在此基礎(chǔ)研究者根據(jù)其構(gòu)造的變形機(jī)制圖對(duì)復(fù)合角錐點(diǎn)陣(CPL)芯層做了進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)陣桁架細(xì)觀形狀對(duì)層級(jí)結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)影響較小，在同樣的相對(duì)密度下，層級(jí)CPL芯層的強(qiáng)度是普通矩形截面點(diǎn)陣桁架芯層的5倍。CHEN et al[11]通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)蜂窩胞孔壁進(jìn)行三角形點(diǎn)陣層級(jí)設(shè)計(jì)，研究二階層級(jí)蜂窩面內(nèi)壓縮力學(xué)行為，提出兩尺度方法計(jì)算二階層級(jí)蜂窩的平臺(tái)應(yīng)力，給出了面內(nèi)準(zhǔn)靜態(tài)壓潰與動(dòng)態(tài)沖擊的平臺(tái)應(yīng)力表達(dá)式，指出層級(jí)結(jié)構(gòu)能夠提高蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺(tái)應(yīng)力。

本文通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)正六邊形蜂窩胞孔的自相似層級(jí)設(shè)計(jì)，獲得了二階層級(jí)自相似六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)，并利用商業(yè)有限元軟件ABAQUS對(duì)其受面內(nèi)載荷時(shí)的壓縮行為進(jìn)行了研究，分析了面內(nèi)壓縮變形模式及沖擊速度對(duì)其變形模式的影響，并提出了準(zhǔn)靜態(tài)變形模式以及沖擊模式下，面內(nèi)x與y方向壓縮變形的理論模型。

1 有限元模型

1.1 層級(jí)蜂窩有限元模型

通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)正六邊形蜂窩的胞壁進(jìn)行自相似層級(jí)設(shè)計(jì)，獲得了二階層級(jí)自相似六邊形蜂窩，其胞元如圖2(a)所示，一階胞孔孔壁由6個(gè)二階六邊形蜂窩胞孔構(gòu)成。層級(jí)蜂窩上下設(shè)置兩塊帶有集中質(zhì)量的剛性板，下端的剛性板固定，上端的剛性板以恒定的速度v沖擊蜂窩，采用四節(jié)點(diǎn)殼單元(S4R)對(duì)層級(jí)蜂窩進(jìn)行網(wǎng)格劃分。x方向加載時(shí)沖擊方向取16個(gè)一階胞元，另一方向取9個(gè)一階胞元，如圖2(b)所示。y方向加載時(shí)沖擊方向取15個(gè)一階胞元，另一方向取9個(gè)一階胞元，如圖2(c)所示。層級(jí)蜂窩的一階胞孔尺寸為L(zhǎng)，二階胞孔尺寸為l，二階胞孔孔壁厚度為h，面外厚度為b.蜂窩的基體材料采用理想彈塑性模型，密度為ρs=2 700 kg/m3，彈性模量E=70 GPa，屈服強(qiáng)度σys=75 MPa，泊松比υ=0.3.

圖2 蜂窩面內(nèi)沖擊示意圖Fig.2 Schematic of SOHH under in-plane impact load

層級(jí)蜂窩的相對(duì)密度為：

(1)

式中：ρ為層級(jí)蜂窩的密度；ρs為基體材料的密度；ρ*為層級(jí)蜂窩的相對(duì)密度。

1.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證有限元計(jì)算的穩(wěn)定性與可靠性，對(duì)網(wǎng)格尺寸敏感性進(jìn)行了計(jì)算對(duì)比，網(wǎng)格尺寸確定為0.5 mm×0.5 mm.圖3給出了剛性板以v=14 m/s時(shí)面內(nèi)沖擊普通蜂窩不同時(shí)刻的變形模式，并與RUAN[12]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。從圖中可以看到，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中傳統(tǒng)正六邊形蜂窩面內(nèi)變形模式基本吻合，其結(jié)果證明了有限元模型的有效性與可靠性。

圖3 六邊形蜂窩沿面內(nèi)壓縮變形模式圖Fig.3 In-plane compression modes of hexagonal honeycomb

2 變形模式

RUAN[12]通過(guò)數(shù)值仿真的方法研究了普通蜂窩在面內(nèi)沖擊載荷下的變形模式，研究表明在不同的沖擊速度下，普通蜂窩在面內(nèi)x方向的變形模式可分為準(zhǔn)靜態(tài)模式(X Mode)、過(guò)渡模式(V Mode)以及沖擊模式(I Mode).本文對(duì)面內(nèi)x方向和y方向不同沖擊載荷下的二階層級(jí)自相似六邊形蜂窩的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究，分析了沖擊速度對(duì)層級(jí)蜂窩材料的變形模式的影響。

2.1 x方向的變形模式

不同沖擊速度下層級(jí)蜂窩在x方向的變形模式，如圖4-圖6所示，其中層級(jí)蜂窩的二階胞孔尺寸l=1.5 mm，二階胞孔壁厚h=0.06 mm.當(dāng)v=2 m/s時(shí)，支撐端附近胞元的局部變形產(chǎn)生了一個(gè)“X”形狀的變形帶(ε=0.14)，之后，變形不僅發(fā)生在變形帶內(nèi)，同時(shí)向附近的胞元拓展。當(dāng)壓縮應(yīng)變達(dá)到0.36時(shí)，在沖擊端出現(xiàn)了第二個(gè)“X”形狀的變形帶，并逐漸向支撐端拓展，直至一階胞孔全部壓潰。

v=2 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖4 層級(jí)蜂窩在x方向上的準(zhǔn)靜態(tài)模式(X Mode)變形Fig.4 Deformation of quasi-static mode (X Mode) of SOHH in the x direction

v=10 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖5 層級(jí)蜂窩在x方向上的過(guò)渡模式(V Mode)變形Fig.5 Deformation of transitional mode (V Mode) of SOHH in the x direction

當(dāng)v=10 m/s時(shí)，在沖擊端附近首先出現(xiàn)“V”形變形帶(ε=0.14)，伴隨著變形帶內(nèi)胞元的變形，變形帶左右兩側(cè)各出現(xiàn)了一個(gè)由沖擊端向支撐端逐層拓展的傾斜變形帶，直至一階胞孔全部壓潰。

v=50 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖6 層級(jí)蜂窩在x方向上的沖擊模式(I Mode)變形Fig.6 Deformation of impact mode (I Mode) of SOHH in the x direction

當(dāng)v=50 m/s時(shí)，在整個(gè)沖擊過(guò)程中變形區(qū)域完全集中在沖擊端，形成了垂直于沖擊方向的“I”形變形帶(ε=0.14)，在整個(gè)壓縮過(guò)程中沒(méi)有出現(xiàn)明顯的傾斜變形帶。

2.2 變形模式分類圖

通過(guò)以上對(duì)層級(jí)蜂窩的數(shù)值模擬結(jié)果的分析，表明沖擊速度對(duì)層級(jí)蜂窩的變形模式具有顯著影響。根據(jù)以上不同變形帶的特征可將層級(jí)蜂窩在不同沖擊速度下的變形模式相應(yīng)的分為準(zhǔn)靜態(tài)模式，過(guò)渡模式與沖擊模式。

將準(zhǔn)靜態(tài)模式轉(zhuǎn)變?yōu)檫^(guò)渡模式的臨界速度稱為第一臨界速度vc1[12]，將過(guò)渡模式轉(zhuǎn)變?yōu)闆_擊模式的臨界速度稱為第二臨界速度vc2[12]，在不同沖擊速度下，對(duì)不同h/l的層級(jí)蜂窩進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)應(yīng)的變形模式如圖7.對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行擬合，最終得到式(2)的兩個(gè)臨界速度的經(jīng)驗(yàn)公式：

(2)

由數(shù)值模擬的擬合結(jié)果式(2)可知，層級(jí)蜂窩的第一臨界速度vc1和第二臨界速度vc2與(h/l)1/2呈線性關(guān)系。

圖7 層級(jí)蜂窩的變形模式分類圖Fig.7 Deformation mode map of SOHH in terms of h/l and v

2.3 y方向的變形模式

層級(jí)蜂窩在y方向的變形模式，如圖8-圖10所示。當(dāng)v=2 m/s時(shí)，最初，在支撐端處能夠觀察到一個(gè)“V”形的變形帶(ε=0.14)，但是沒(méi)有在x方向沖擊時(shí)的傾斜V變形帶明顯。隨著壓縮方向位移的增加，靠近支撐端處的一階胞孔開(kāi)始發(fā)生折疊，形成垂直于加載方向的變形帶(ε=0.36)，之后，發(fā)生折疊的區(qū)域從支撐端逐步拓展至沖擊端，直至一階胞孔完全壓潰。沖擊速度提高至20 m/s時(shí)，變形集中在沖擊端附近，沒(méi)有明顯的傾斜帶出現(xiàn)，形成垂直于加載方向的變形帶(類似于x方向的沖擊模式)。隨著位移的增加，變形帶通過(guò)漸進(jìn)形式一層一層的由沖擊端向支撐端擴(kuò)展。相比沖擊速度為2 m/s時(shí)的變形模式，該模式更加規(guī)則。進(jìn)一步提高沖擊速度(v=50 m/s)，變形越來(lái)越集中在沖擊端，變形帶仍呈現(xiàn)“I”形。

v=2 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖8 層級(jí)蜂窩在y方向上的準(zhǔn)靜態(tài)模式變形Fig.8 Deformation of quasi-static mode of SOHH in the y direction

v=20 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖9 層級(jí)蜂窩在y方向上的沖擊模式變形Fig.9 Deformation of impact mode of SOHH in the y direction

v=50 m/s，l=1.5 mm，h=0.06 mm圖10 層級(jí)蜂窩在y方向上的沖擊模式變形Fig.10 Deformation of impact mode of SOHH in the y direction

3 層級(jí)蜂窩的理論模型

3.1 層級(jí)蜂窩在x方向準(zhǔn)靜態(tài)模式下的理論模型

通過(guò)觀察層級(jí)蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)下的變形模式(圖4)可知，層級(jí)蜂窩一階胞孔的變形是由一階胞孔角點(diǎn)附近的二階胞孔的變形導(dǎo)致的。將一階胞孔的孔壁視為連續(xù)均勻的梁[11]，只考慮宏觀一階胞孔孔壁的變形情況，建立如圖11的理論模型。一階胞孔的形狀由正六邊形變成了平行四邊形，孔壁的變形為孔壁繞角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與孔壁長(zhǎng)度的縮短，假定在孔壁的兩端各有一個(gè)塑性鉸(如圖11綠色虛線中的黑點(diǎn)所示)。

圖11 層級(jí)蜂窩在x方向上準(zhǔn)靜態(tài)變形模式下的理論模型Fig.11 Analytical model of SOHH under quasi-static mode in the x direction

選取圖11中的虛線框?yàn)橛?jì)算單元，作用在單元上的外力功為

(3)

其中，σx為層級(jí)蜂窩在x方向上的平臺(tái)應(yīng)力，Δx=9l為x方向計(jì)算單元壓縮的長(zhǎng)度。

由塑性鉸耗散的能量為

WM=2Mpθ.

(4)

其中，Mp=bl2σhex[11]為一階孔壁的極限彎矩，θ=π/3為塑性鉸的旋轉(zhuǎn)角度；σhex為一階孔壁的塑性壓潰應(yīng)力。由式(5)計(jì)算

(5)

一階胞孔孔壁的縮短所耗散的能量為

(6)

通過(guò)求解Wex=WM+Ws可得平臺(tái)應(yīng)力為

(7)

3.2 層級(jí)蜂窩在y方向準(zhǔn)靜態(tài)模式下的理論模型

通過(guò)觀察層級(jí)蜂窩在y方向的準(zhǔn)靜態(tài)變形模式(圖8)，通過(guò)與3.1中同樣的方法，建立如圖12所示的理論模型。根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，假定每個(gè)孔壁具有兩個(gè)塑性鉸(圖12中虛線框中的黑點(diǎn))，黃色和藍(lán)色的傾斜孔壁長(zhǎng)度縮短，紅色的豎直孔壁長(zhǎng)度沒(méi)有縮短。

圖12 層級(jí)蜂窩在y方向上準(zhǔn)靜態(tài)變形模式下的理論模型Fig.12 Analytical model of SOHH under quasi-static mode in the y direction

選取圖12中的虛線框?yàn)橛?jì)算單元，作用在單元上的外力功為

Wex=18σyblΔy.

(8)

6個(gè)塑性鉸所耗散的能量為

WM=6Mpθ.

(9)

其中，Mp=bl2σhex[11]為一階孔壁的極限彎矩，θ=π/3為塑性鉸的旋轉(zhuǎn)角度。

2個(gè)傾斜的孔壁長(zhǎng)度縮短所耗散的能量為

Ws=2Δsblσhex.

(10)

通過(guò)求解Wex=WM+Ws可得平臺(tái)應(yīng)力為

(11)

3.3 層級(jí)蜂窩在沖擊模式下的理論模型

層級(jí)蜂窩在面內(nèi)x，y方向沖擊模式下的變形特征均為一層一層的漸進(jìn)壓潰，當(dāng)胞元壓潰并達(dá)到密實(shí)化應(yīng)變時(shí)，它的速度從0增加到?jīng)_擊速度v，外力的沖量為

(12)

其中，σd為動(dòng)態(tài)壓潰應(yīng)力；σqs為準(zhǔn)靜態(tài)模式下的平臺(tái)應(yīng)力(x方向?yàn)棣襵，y方向?yàn)棣襶)，在動(dòng)態(tài)沖擊時(shí)支撐端的應(yīng)力近似的等于準(zhǔn)靜態(tài)模式的平臺(tái)應(yīng)力[13]；A是胞元的橫截面積；t=εdH/v為胞元的速度從0增加到v的時(shí)間；εd為密實(shí)化應(yīng)變[14]；H為胞元在壓縮方向上壓縮的長(zhǎng)度。

胞元的動(dòng)量變化量為

ΔP=AHρ*ρsv.

(13)

由動(dòng)量守恒Pi=ΔP，可得動(dòng)態(tài)平臺(tái)應(yīng)力為

(14)

此處獲得的動(dòng)態(tài)平臺(tái)應(yīng)力的表達(dá)式與REID[15]的沖擊波模型具有一樣的形式。層級(jí)蜂窩在沖擊模式下所表現(xiàn)出來(lái)一層一層的漸進(jìn)壓潰，所反映出的物理現(xiàn)象正是“沖擊波效應(yīng)”。

準(zhǔn)靜態(tài)變形模式下，不同相對(duì)密度的層級(jí)蜂窩在x，y方向的數(shù)值模擬得到的平臺(tái)應(yīng)力與理論平臺(tái)應(yīng)力如圖13所示，從圖中可知，在較大的相對(duì)密度范圍內(nèi)，理論模型與數(shù)值模擬的吻合程度較好。相對(duì)密度為1.15%的層級(jí)蜂窩在不同的沖擊速度下平臺(tái)應(yīng)力如圖14所示，從圖中可以看出，在沖擊速度較低時(shí)，由于層級(jí)結(jié)構(gòu)的效應(yīng)，面內(nèi)x，y方向?qū)蛹?jí)蜂窩的平臺(tái)應(yīng)力差別較大，但隨著沖擊速度的提高，兩者之間的差別越來(lái)越小，這是因?yàn)闆_擊速度越高，慣性的影響越大，而慣性效應(yīng)主要與密度和速度相關(guān)[16]。由式(14)可知，層級(jí)蜂窩的動(dòng)態(tài)平臺(tái)應(yīng)力可分為準(zhǔn)靜態(tài)項(xiàng)σqs和慣性項(xiàng)ρ*ρsv2/εd，在本文中，由于層級(jí)蜂窩的相對(duì)密度是保持不變的，沖擊速度變化時(shí)，對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)項(xiàng)沒(méi)有影響，具有較大變化的為沖擊速度的平方項(xiàng)v2，隨著沖擊速度的提高，慣性項(xiàng)所占的比重越來(lái)越大，因而隨著沖擊速度的提高，慣性的影響越來(lái)越大。

圖13 不同相對(duì)密度的層級(jí)蜂窩在準(zhǔn)靜態(tài)模式下的平臺(tái)應(yīng)力Fig.13 Plateau stress of SOHH with different relative density under quasi-static mode

圖14 相對(duì)密度為1.15%的層級(jí)蜂窩在不同沖擊速度下的平臺(tái)應(yīng)力Fig.14 Plateau stress of SOHH with relative density 1.15% under different impact velocity

4 結(jié)論

本文提出了一種二階層級(jí)自相似六邊形蜂窩，并應(yīng)用ABAQUS對(duì)其在面內(nèi)沖擊載荷下的響應(yīng)進(jìn)行了研究,并建立了x方向與y方向面內(nèi)壓縮理論模型。通過(guò)以上數(shù)值模擬與理論分析，得出以下結(jié)論：

1) 受到面內(nèi)x方向沖擊載荷時(shí)，層級(jí)蜂窩的變形模式表現(xiàn)為3種模式：準(zhǔn)靜態(tài)模式、過(guò)渡模式以及沖擊模式。受到面內(nèi)y方向沖擊載荷時(shí)，層級(jí)蜂窩的變形模式表現(xiàn)為2種模式：準(zhǔn)靜態(tài)模式與沖擊模式。

3) 將層級(jí)結(jié)構(gòu)引入到普通蜂窩中形成層級(jí)蜂窩，面內(nèi)壓縮變形時(shí)，一階胞孔的孔壁變形是孔壁繞角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與孔壁長(zhǎng)度縮短兩種變形機(jī)制的組合。通過(guò)能量平衡的方法建立的層級(jí)蜂窩面內(nèi)壓縮平臺(tái)應(yīng)力理論模型與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好。

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