廣東省開平市第一中學(xué) (529300) 梅延峰

在解題時(shí)，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法.運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問題的解決.構(gòu)造法解題是一種創(chuàng)造性的思維活動，構(gòu)造法是依據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)，用已知條件中的元素為“元件”，把已知數(shù)學(xué)關(guān)系作“支架”，構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)模型，溝通數(shù)學(xué)模型間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)換命題.運(yùn)用構(gòu)造法，常使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有簡潔、明快、精巧的優(yōu)點(diǎn)，下面以人教A版教材的例題和習(xí)題來感受一下解題中的構(gòu)造法思想.

一、構(gòu)造組合數(shù)

例1 在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是多少？

例2 已知：a≠b，求證a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

二、構(gòu)造數(shù)列

例3 一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了5個(gè)伙伴；第二天，6只蜜蜂飛出去，各自又找回了5個(gè)伙伴……,如果這個(gè)找伙伴的過程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢一共有( )只蜜蜂.

解析：可構(gòu)造數(shù)列a1=1，an+1=5an+an，可計(jì)算到第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢一共有a6=46656只蜜蜂.

三、構(gòu)造幾何圖形

解析：可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)z=

四、構(gòu)造向量

圖1

例5 如圖1，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值.

五、構(gòu)造三角式

六、構(gòu)造函數(shù)

例7 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式lnx

辯證唯物主義認(rèn)為事物是普遍聯(lián)系的，在數(shù)學(xué)中不同的數(shù)學(xué)分支間也都具有這種聯(lián)系性，有的顯而易見，有的則較為隱蔽，數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)功能就是要向?qū)W生揭示這種關(guān)系，在這個(gè)過程中，可以使學(xué)生的知識體系得到整合，并逐漸對數(shù)學(xué)中的各種思想方法產(chǎn)生較為清晰的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)解題方法的拓展其實(shí)也是一種聯(lián)系性的拓展，構(gòu)造法是基本的數(shù)學(xué)方法，構(gòu)造的對象可以是各種各樣的，但要注意抓住問題的本質(zhì)特征，構(gòu)造出相關(guān)模型(式子)來使問題得以簡化，并為問題的最終解決鋪平道路.