□ 蔡曉敏□ 成 超

1.南京郵電大學通達學院 江蘇揚州225000

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曲軸是發(fā)動機上的關鍵零件，軸頸表面加工質量對發(fā)動機的耐磨損性、平衡性、振動、噪聲等性能影響很大。隨著制造業(yè)的快速發(fā)展，對曲軸的產量和精度都提出了更高的要求［1］。插補控制的精度和速度極大地影響著加工精度和效率，由于曲軸的輪廓通常以離散表格或高次曲線形式給出，無法通過基本的直線、圓弧插補進行加工，若能設計出一種合理、迅速的插補方法則將成為解決問題的關鍵。筆者提出了一種分段多項式插補方法，該方法引入了一個插補中間參數(shù)來構造函數(shù)，并根據磨削點恒線速度的要求，準確地確定插補參數(shù)步長，而且配合西門子SINUMERIK 840D數(shù)控系統(tǒng)自帶的多項式插補，大大減小了輪廓誤差，比普通離散點插補加工的加工精度有了較大提高［2-6］。

1 基于磨削點恒線速度的運動模型

曲軸非圓磨削是由曲軸旋轉軸與砂輪架進給軸聯(lián)動形成的，如圖1所示是曲軸非圓磨削運動模型示意圖，可以推導出砂輪中心的運動位移X為（OOs距離）：

式中：R為曲軸連桿頸的偏心距；Rw為連桿頸半徑；Rs為砂輪半徑；Ow為連桿頸中心；Os為砂輪中心；θ為曲軸轉角。

▲圖1 曲軸非圓磨削的運動模型

磨削點線速度恒定時，金屬切除率變化平緩，磨削力變化較小，零件表面各點的磨削進給速度相同，因而在理想情況下，可保證被磨削零件的表面粗糙度在各處基本是一致的，有利于提高被磨削零件表面質量，提高磨削精度。磨削點恒線速度移動時，曲軸旋轉角速度ω 方程為［7］：

式中：α 為磨削點轉角；ωw為磨削點角速度［8］。

2 分段多項式插補的實現(xiàn)

采用分段多項式插補來求取曲軸非圓磨削時的運動軌跡，主要步驟為：首先根據曲軸非圓磨削模型求出一組由曲軸旋轉角度θ和砂輪架跟隨曲軸旋轉時的運動位移X及曲軸旋轉角速度ω構成的節(jié)點（θ0，X0）、（θ1，X1）、…（θi，Xi）、…（θn，Xn）、（θ0，ω0）、（θ1，ω1）、…（θi，ωi）、…（θn，ωn），求出分段多項式插值的表達式，再選擇合適的參數(shù)步長進行插補，得到每個插補周期曲軸的旋轉運動和砂輪架的進給運動［3］。所以分段多項式插補的實現(xiàn)分為兩個部分：分段多項式函數(shù)的構造和插補參數(shù)步長的確定。

2.1 分段多項式函數(shù)的構造

多項式函數(shù)比較容易構造，而且構造出來的函數(shù)誤差較小，所以多項式函數(shù)是對任意復雜軌跡曲線進行插值的有效形式。當目標曲線較復雜時，若多項式的階數(shù)過低，則曲線插值的效果往往不是很好，截斷誤差較大，這時就需要通過增加多項式的階數(shù)n來提高插值精度。然而并非n值越大越好，采用過高階數(shù)的多項式函數(shù)來插值復雜的運動軌跡，可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象（在非節(jié)點處誤差很大），而且隨著n值的增大，計算量增大，舍入誤差增加。因此在節(jié)點較多的情況下，為了在保證插值精度的同時，不用過多的多項式階數(shù)增加計算的難度，可采用分段三次多項式插值的方法，即將曲軸旋轉一周分為k段，每一段用三次多項式來表達。

根據式（1）、（2）可知砂輪位移X和曲軸旋轉角速度ω都是關于曲軸轉角θ的函數(shù)，用三次多項式函數(shù)表示為X（θ）=m1+m2θ+m3θ2+m4θ3（m4≠0、m1、m2、m3∈R）、ω（θ）=m5+m6θ+m7θ2+m8θ3（m8≠0、m5、m6、m7∈R），四個已知條件可以確定唯一的三次多項式函數(shù)，給出曲軸某一段四個節(jié)點的曲軸轉角 θ0、θ1、θ2、θ3及其相對應的曲軸旋轉角速度 ω0、ω1、ω2、ω3和砂輪位移X0、X1、X2、X3， 可以求出唯一的系數(shù)m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7、m8。但是曲軸轉角θ變化1°時，砂輪位移X和曲軸旋轉角速度ω變化很小，按這種方法求出的系數(shù)會產生較大的計算誤差，所以這里引入了一個中間參數(shù)p，且p的范圍為0≤p≤1，這樣保證曲線插值誤差比較小，因此，曲軸轉角θ、砂輪位移X和曲軸旋轉角速度ω可寫成關于中間參數(shù)p的三次多項式函數(shù)為：

已知曲軸某一段四個節(jié)點p1、p2、p3、p4對應的曲軸轉角為 θ0、θ1、θ2、θ3，曲軸旋轉角速度為 ω0、ω1、ω2、ω3及砂輪位移為X0、X1、X2、X3，p1、p2、p3、p4滿足p1=0、p2=1/3、p3=2/3、p4=1，代入式（3）～式（5）即可得到：

由式（6）～式（8）可以求解出某一段曲軸轉角 θ、砂輪位移X和曲軸旋轉角速度ω關于中間參數(shù)p的三次多項式函數(shù)的系數(shù)a1、b1、c1、d1、a2、b2、c2、d2、a3、b3、c3、d3。接著以曲軸上一段節(jié)點的終點作為下一段節(jié)點的起點，求出下一段曲軸轉角θ、砂輪位移X和曲軸旋轉角速度ω關于中間參數(shù)p的三次多項式函數(shù)的系數(shù)。

2.2 參數(shù)步長的確定

由式（3）～式（5）可知，每個坐標可定義為參數(shù)p的函數(shù)而直接進行計算，因此人們自然會想到用參數(shù)p直接進行插補運算，若設參數(shù)p的增量步長不變，在每個插補周期Ts內，由相等的參數(shù)微小增量Δp計算相應的插補點［9］。然而這種設想存在兩個主要缺點：①曲軸旋轉速度不是按照磨削點恒線速度的運動規(guī)律，影響磨削質量；②很難確定Δp的最優(yōu)值，如果Δp取得太小，插補點過多，計算量大，系統(tǒng)速度就會受到影響而變慢；反之，如果Δp取得太大，就可能引起較大的截斷誤差，無法滿足精度的要求。由此可見，不能使用參數(shù)均分的方法進行插補運算。

如何根據軌跡長度足夠準確地確定參數(shù)步長對于插補的有效應用是非常重要的［10］，因此，下面介紹一種方法，保證曲軸旋轉速度滿足磨削點恒線速度的要求，提高磨削質量。

設曲軸的曲軸轉角、砂輪位移和曲軸旋轉速度的表達式仍為式（3）～式（5），曲軸某一段第i（i∈N+）個節(jié)點pi處砂輪位移是X（pi）=a2+b2pi+c2pi2+d2pi3，曲軸旋轉速度 ω（pi）=a3+b3pi+c3pi2+d3pi3。

此插補周期Ts內曲軸旋轉的角度 Δθ=ω（pi）Ts，則第i+1個節(jié)點pi+1處曲軸轉角為：

又因為：

聯(lián)立式（9）和（10）可求得下一個插補節(jié)點的參數(shù)pi+1，因此，pi+1處砂輪的位移是X（pi+1）=a2+b2pi+1+c2pi+12+d2pi+13，插補點pi到pi+1之間的砂輪移動速度V（pi）=［X（pi+1）-X（pi）］/Ts。

3 誤差分析和實例測試

由于分段多項式插補的實現(xiàn)分為分段多項式插值和參數(shù)步長選擇兩個部分，因此，采用分段多項式插補方法，理論誤差主要有兩個來源：曲線插值誤差和插補誤差。以下分別對這兩個誤差進行分析和仿真。

3.1 插值誤差

設曲軸某一段第j個節(jié)點（j=0，1，2，3），曲軸旋轉一周可分為k段，每一段最大插值誤差εmax可由式（11）求?。?/p>

采用表1所示的參數(shù)進行曲線插值誤差仿真分析，曲軸非圓磨削時砂輪運動軌跡的分段多項式函數(shù)相鄰兩插值點間最大插值誤差絕對值如圖2所示，其值小于5×10-7mm，遠遠小于機床的分辨率，故此方法的插值效果比較好。

表1 仿真計算中涉及的參數(shù)

▲圖2 插值點之間誤差紙絕對值圖

3.2 插補誤差

按照上述插補方式進行插補控制，每個插補周期上插補節(jié)點位置不存在插補誤差，但是每兩個相鄰插補點之間存在的插補誤差仍然是不可避免的。

設曲軸某一段第i個節(jié)點pi和第i+1個節(jié)點pi+1（i∈N+），由此插補方法在每個插補周期內相鄰兩插補節(jié)點間最大的插補誤差εmax可由公式（12）求取：

采用表1的參數(shù)進行插補誤差仿真分析，曲軸非圓磨削時，砂輪運動軌跡的分段多項式兩個相鄰插補點之間最大插補誤差絕對值如圖3所示，其最大插補誤差約4.5×10-4mm，插補精度比較高。

▲圖3 插補節(jié)點之間誤差絕對值圖

4 結束語

該分段多項式插補方法，引入了一個中間參數(shù)p，并根據磨削點恒線速度的要求，準確地確定插補參數(shù)步長Δp，大大減小了理論誤差，同時也為其它非圓磨削提供了一種思路。