□ 余金寶 □ 范元?jiǎng)?/p>

南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 南京210094

1 研究背景

諧波齒輪傳動(dòng)技術(shù)始于1955年，由美國(guó)學(xué)者M(jìn)usser提出，主要應(yīng)用于航天和機(jī)器人等高精密機(jī)械傳動(dòng)場(chǎng)合，現(xiàn)在也被應(yīng)用于某些軍事裝備和農(nóng)業(yè)器械中。隨著航天和機(jī)器人技術(shù)的飛速發(fā)展，對(duì)諧波傳動(dòng)體積小、質(zhì)量輕、承載能力大等性能的要求更高［1］。柔輪作為諧波傳動(dòng)最重要的部件，其體積和強(qiáng)度直接決定著諧波傳動(dòng)的工作情況［2］，因此進(jìn)行柔輪應(yīng)力和結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)提高諧波傳動(dòng)的性能有著重要意義。

筆者通過(guò)ABAQUS軟件進(jìn)行柔輪負(fù)載和空載狀態(tài)下的應(yīng)力計(jì)算，然后運(yùn)用Isight軟件對(duì)柔輪筒體應(yīng)力和筒長(zhǎng)進(jìn)行優(yōu)化，以獲得既滿足強(qiáng)度要求，又能減小體積的最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2 柔輪筒體的應(yīng)力計(jì)算

2.1 有限元模型的建立

一些對(duì)柔輪應(yīng)力情況影響不大的結(jié)構(gòu)參數(shù)可以相應(yīng)簡(jiǎn)化或者略去，如齒圈前后端處的倒角、前沿長(zhǎng)度及凸臺(tái)處的螺栓孔等，齒圈部位轉(zhuǎn)換成相應(yīng)尺寸的齒圈壁厚［3］，齒圈壁厚 δ1的計(jì)算式為：

式中：δ為筒體壁厚。

簡(jiǎn)化后，柔輪的結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖1中的結(jié)構(gòu)尺寸見(jiàn)表1。

▲圖1 柔輪結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)表1中的尺寸，建立柔輪的三維模型。柔輪的最大徑向變形量為變形因子與模數(shù)的乘積，本例中變形因子取1，最大徑向變形量為0.5 mm。柔輪和波發(fā)生器材料及性能參數(shù)見(jiàn)表2。

2.2 邊界條件和載荷

在空載條件下，約束柔輪底面所有自由度，將波發(fā)生器簡(jiǎn)化成上下兩部分的剛性橢圓環(huán)，分別沿徑向移動(dòng)0.5 mm，圓環(huán)寬度取13 mm，模擬撐開(kāi)柔輪的過(guò)程。在負(fù)載條件下，同樣使用空載情況中的邊界條件，為了方便柔輪結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模，將施加轉(zhuǎn)矩后的剛輪對(duì)柔輪的作用力轉(zhuǎn)化為集中力，施加在柔輪齒圈部位［4］，施加邊界條件和載荷后的柔輪模型如圖2所示。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸表mm

表2 材料性能參數(shù)

▲圖2 載荷和邊界條件示意圖

2.3 有限元應(yīng)力結(jié)果

運(yùn)用有限元軟件經(jīng)計(jì)算后顯示的應(yīng)力一般是經(jīng)過(guò)處理后的Mises等效應(yīng)力，它基于von Mises準(zhǔn)則，實(shí)質(zhì)就是第四強(qiáng)度理論，Mises應(yīng)力σ的計(jì)算式為：

式中：σ1為第一主應(yīng)力；σ2為第二主應(yīng)力；σ3為第三主應(yīng)力。

Mises應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限，零件就會(huì)發(fā)生屈服破壞。

在ABAQUS軟件中，經(jīng)過(guò)以上柔輪和波發(fā)生器模型的處理，得到柔輪筒體的空載和負(fù)載240 N·m的Mises應(yīng)力云圖，如圖3所示。

▲圖3 Mises應(yīng)力云圖

由圖3可知，柔輪所受應(yīng)力主要集中在齒圈部位，并且最大應(yīng)力也發(fā)生在此處，分別為399 MPa和437.2 MPa，兩者相差不大，但是負(fù)載狀態(tài)較空載狀態(tài)的柔輪齒圈部位受力復(fù)雜，在波發(fā)生器長(zhǎng)軸方向的齒圈前端受力明顯增加。

3 柔輪筒體的優(yōu)化設(shè)計(jì)

Isight是一種集成諸多算法的多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，它提供了有限元軟件接口，可以控制CAE（計(jì)算機(jī)輔助工程）軟件的分析計(jì)算，并提取相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。筆者通過(guò)Isight軟件調(diào)用ABAQUS軟件的求解器對(duì)柔輪進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以得到柔輪結(jié)構(gòu)的最佳參數(shù)。

3.1 聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

ABAQUS與Isight軟件的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖4所示。由圖4可知，基于Isight軟件的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要包括Simcode和優(yōu)化設(shè)計(jì)兩部分。Simcode是一種數(shù)據(jù)接口，它可以生成試驗(yàn)矩陣并寫(xiě)入和讀出相應(yīng)的數(shù)據(jù)值，通過(guò)執(zhí)行程序調(diào)用ABAQUS軟件的求解器分別對(duì)不同試驗(yàn)點(diǎn)的有限元模型進(jìn)行計(jì)算，并提取相應(yīng)的最大應(yīng)力值，實(shí)現(xiàn)柔輪的自動(dòng)化參數(shù)求解，并擬合結(jié)構(gòu)參數(shù)與最大應(yīng)力的近似關(guān)系模型。而優(yōu)化設(shè)計(jì)是選擇合適的數(shù)學(xué)算法，對(duì)之前求出的近似模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，通過(guò)設(shè)計(jì)變量、約束條件及目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定，得出最優(yōu)參數(shù)［5］。

▲圖4 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

3.2 讀文件與寫(xiě)文件

Isight軟件的讀文件和寫(xiě)文件就是在柔輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍內(nèi)選取定量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，再調(diào)用ABAQUS軟件的求解器進(jìn)行循環(huán)計(jì)算和提取結(jié)果。

Isight軟件利用Python語(yǔ)言進(jìn)行柔輪的參數(shù)化建模并完成最大應(yīng)力計(jì)算和提取［6］。根據(jù)短圓柱形柔輪的設(shè)計(jì)參數(shù)，選取的設(shè)計(jì)變量對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)因子a～e及取值范圍［7］見(jiàn)表3。

表3 圓柱形柔輪的設(shè)計(jì)變量及取值范圍mm

3.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與近似模型

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是優(yōu)化領(lǐng)域中的重要統(tǒng)計(jì)方法，主要包括計(jì)劃、執(zhí)行、結(jié)果分析三個(gè)過(guò)程。試驗(yàn)設(shè)計(jì)有著確定取值范圍內(nèi)數(shù)值的最佳組合、分析輸入與輸出參數(shù)之間的關(guān)系和變化規(guī)律、構(gòu)建近似模型及經(jīng)驗(yàn)公式等作用。

Isight軟件包含多種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，根據(jù)柔輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，本次試驗(yàn)選用最優(yōu)拉丁超立方（Optimal Latin Hypercube）設(shè)計(jì)方法，根據(jù)設(shè)計(jì)變量可知試驗(yàn)因子有5個(gè)、取樣點(diǎn)200個(gè)。

近似模型就是根據(jù)試樣點(diǎn)用近似關(guān)系擬合輸入輸出變量之間的關(guān)系，當(dāng)精度足夠高時(shí)，可信度滿足，可以用函數(shù)關(guān)系代替ABAQUS軟件的求解過(guò)程，節(jié)省時(shí)間成本，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率［8］。近似模型的關(guān)系擬合函數(shù)f（x）式為：式中：（x）為描述響應(yīng)近似值的多項(xiàng)式；ε 為（x）與f（x）的誤差，服從正態(tài)分布。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的近似模型選用響應(yīng)面模型，它可以通過(guò)較少的樣點(diǎn)擬合出誤差較小的近似函數(shù)［9］，有很強(qiáng)的實(shí)用性和廣泛性，其一般表達(dá)式為：

式中：x為擬合變量；n為變量個(gè)數(shù)；y為用函數(shù)描述的響應(yīng)值；ci為多項(xiàng)式常數(shù)；φi（x）為基函數(shù)；k為基函數(shù)的個(gè)數(shù)。

在Isight軟件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和分析中，采用二階多項(xiàng)式，即二階響應(yīng)面模型，其表達(dá)式為：

常數(shù)矩陣為H=（c0，c1，...，ck）T，可以用最小二乘法確定其值，具體為：

式中：Y=（y1，y2，...，yn）T為實(shí)際響應(yīng)值矩陣；X為基函數(shù)矩陣；z為試驗(yàn)次數(shù)。

將200個(gè)試樣點(diǎn)經(jīng)響應(yīng)面模型擬合后的誤差見(jiàn)表4。由表4可知，響應(yīng)面模型的最大響應(yīng)誤差、平均相對(duì)誤差及均方根誤差都很小，與應(yīng)力實(shí)際值相差七個(gè)量級(jí)，可忽略不計(jì)，而且決定因數(shù)較高，都大于0.95，所以用響應(yīng)面模型代替ABAQUS軟件的求解過(guò)程是合理的。

表4 擬合誤差值

3.4 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及算法

在保證柔輪內(nèi)徑不變的條件下，通過(guò)改變?nèi)彷喌慕Y(jié)構(gòu)參數(shù)，使應(yīng)力或者筒長(zhǎng)達(dá)到最小值，屬于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

Isight軟件含有多種優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，筆者選擇基于遺傳算法開(kāi)發(fā)的NSGA-II多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)柔輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，遺傳算法流程如圖5所示。

▲圖5 遺傳算法流程圖

NSGA-II優(yōu)化算法具有較優(yōu)的探索能力，它先通過(guò)“擁擠距離”的方法進(jìn)行個(gè)體排序。然后根據(jù)父代群體的交叉和變異獲得子代群體，合并父子群體。最后按照Pareto優(yōu)化關(guān)系，將個(gè)體與目標(biāo)向量比較，并分為多個(gè)順序控制的前沿層，評(píng)價(jià)個(gè)體的優(yōu)劣，選出最佳值［10-11］。

3.5 優(yōu)化結(jié)果及對(duì)比分析

內(nèi)徑一定，在保證柔輪筒體長(zhǎng)度不變的條件下，通過(guò)Isight軟件優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的優(yōu)化值與初值見(jiàn)表5。

表5 優(yōu)化筒長(zhǎng)優(yōu)化值與初值參數(shù)對(duì)比表mm

根據(jù)優(yōu)化值得到的柔輪優(yōu)化后應(yīng)力云圖如圖6所示，由圖6可知，優(yōu)化后的柔輪在空載和負(fù)載狀態(tài)下的最大應(yīng)力為351.3 MPa和365.5 MPa，與初值相比分別下降了12%和16%，受力情況明顯改善。

▲圖6 優(yōu)化后應(yīng)力云圖

在Isight軟件優(yōu)化計(jì)算中，也可以將柔輪筒長(zhǎng)最小作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，以減小其質(zhì)量和體積。由于是多目標(biāo)優(yōu)化，負(fù)載應(yīng)力較空載應(yīng)力大，所以將負(fù)載應(yīng)力和筒長(zhǎng)最小作為優(yōu)化目標(biāo)，在Isight軟件中可以在迭代圖中選出不同柔輪長(zhǎng)度下對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值，在保證柔輪最大應(yīng)力基本不變的情況下，得到筒體最小優(yōu)化值及初值，見(jiàn)表6。

表6 優(yōu)化筒長(zhǎng)和應(yīng)力優(yōu)化值與初值參數(shù)對(duì)比表

由表6可知，在保證柔輪整體受力基本不變的情況下，優(yōu)化后的最小筒長(zhǎng)為40.6 mm，降低了約10%，節(jié)約了材料成本并減小了柔輪體積。

4 結(jié)論

運(yùn)用ABAQUS軟件進(jìn)行柔輪筒體的應(yīng)力分析，得出了空載和負(fù)載條件下的最大應(yīng)力值，兩者都發(fā)生在與波發(fā)生器相接觸的柔輪齒圈部位，為柔輪筒體應(yīng)力的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了方向。

運(yùn)用Isight軟件進(jìn)行柔輪筒體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證筒長(zhǎng)不變的條件下，改變其余結(jié)構(gòu)參數(shù)，使空載、負(fù)載應(yīng)力分別下降了12%和16%，增加了柔輪的工作壽命；同時(shí)在保證柔輪最大應(yīng)力不增加的情況下，使筒體長(zhǎng)度最高下降了10%，減小了柔輪的體積和質(zhì)量，達(dá)到輕量化設(shè)計(jì)的目的。