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(寧波市第二中學(xué)，浙江 寧波 315010)

1 試卷編制的背景

近日，浙江省寧波市教研室組織了數(shù)學(xué)高考原創(chuàng)模擬卷編寫活動，該活動旨在進(jìn)一步促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長，掌握科學(xué)命題的基本原理和要求，提高考試命題的技術(shù)和水平.活動要求以3人為一個集體團隊命一份高考原創(chuàng)模擬試卷，筆者和組內(nèi)的兩位教師全程參與了此次活動.

事實上，出卷作為教師的一項常規(guī)工作早已成為“家常便飯”，但有時為了省時省力往往從一些現(xiàn)有的模擬試卷或高考真題卷中直接截取或稍作改動，并沒有真正理解或體悟考題的價值以及對課堂教學(xué)的導(dǎo)向作用.通過本次模擬試卷的編制，筆者對命題有了新的體驗和感悟，現(xiàn)將一些膚淺的理解及體會與廣大同行交流，歡迎批評指正.

2 試卷編制的過程

從最初的參與編寫到最后的完稿經(jīng)歷了整整一個月，筆者以2017年浙江省數(shù)學(xué)高考卷為參考樣卷，盡力編制出一份具有浙江特色的數(shù)學(xué)高考模擬試題.整個試卷編制過程中八易其稿，從最初的選題、編題到篩選、調(diào)整進(jìn)而到修改、推敲，力爭做到問題的科學(xué)性、規(guī)范性和創(chuàng)新性.

自從自主命題以來，浙江省數(shù)學(xué)高考試題形成了簡約但不簡單的風(fēng)格，既注重基礎(chǔ)知識的考查又著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和各項能力.隨著高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的日益深入人心，必然反映到高考試題的考查上.數(shù)學(xué)問題的求解最終要通過數(shù)學(xué)運算加以實現(xiàn)，各種素養(yǎng)的展現(xiàn)最終要通過數(shù)學(xué)運算得以體現(xiàn).由此數(shù)學(xué)考題的編制必將關(guān)注問題求解的多種運算方法，讓不同層次的學(xué)生都能展現(xiàn)自身運算的獨特性,符合讓不同的學(xué)生實現(xiàn)不同發(fā)展的新課程理念.

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)運算多樣化的特點主要表現(xiàn)在：問題的定性分析與定量計算、代數(shù)運算與幾何運算、精確計算與近似估算、特殊值驗算與一般性求證等.對現(xiàn)有試題進(jìn)行改編或自主原創(chuàng)試題的過程中既要體現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又要展現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的多樣化特性，從數(shù)學(xué)運算視角全方位考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).以下選取一些試題,談?wù)劰P者在編制過程中的具體做法.

2.1 定性分析與定量計算型問題

( )

(2017年浙江省麗水市質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第5題)

運算現(xiàn)狀學(xué)生利用條件得

又

兩式相加可得

f(-a)+f(a)=2，

試題編制若函數(shù)f(x)=sinx+ax+b在[-1,1]的最大值是M，最小值為m,則M+m

( )

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)

B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)

D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)

本題將兩個奇函數(shù)(即正弦函數(shù)和正比例函數(shù))構(gòu)成和函數(shù)，再加上一個常數(shù)b，4個選項采用相似性來干擾選擇.由于參數(shù)a的變化使定量運算無從下手，必須構(gòu)造奇函數(shù)F(x)=f(x)-b，由F(x)的性質(zhì)知M-b+m-b=0即可.故選D.

2.2 代數(shù)運算與幾何運算型問題

例2已知平面向量a，b，c，滿足|a|=1，|b|=2，|c|=3，0<λ<1，若b·c=1，則|a-λb-(1-λ)c|所有取不到的值的集合為______．

(2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第9題)

素養(yǎng)生成求解向量問題的基本策略首先考慮幾何法，需熟悉加減法和數(shù)乘運算的幾何作圖，掌握向量中一些重要幾何類型，如三點共線、數(shù)量積投影、垂直與平行位置、向量四心等，作圖的過程中要注意條件的等價轉(zhuǎn)化特別是動點的軌跡問題.另外，建立平面(空間)坐標(biāo)系可嘗試坐標(biāo)運算，尋找“可運算”的基底進(jìn)行向量運算.

試題編制已知平面向量a,b,c，滿足|a|=1，|b|=2,|c|=3，b·c=0,當(dāng)-1≤λ≤2時，|λb+(1-λ)c|的最小值是______，|a+λb+(1-λ)c|的最大值是______.

本題適當(dāng)改變問題條件且增加一個基礎(chǔ)問題(即|λb+(1-λ)c|的最小值)，引導(dǎo)學(xué)生利用三點共線解決，增加學(xué)生得分機會并為第2)小題熱身.改變原題的目標(biāo)向量，將向量減法運算轉(zhuǎn)為加法運算，進(jìn)一步考查學(xué)生向量加減法的轉(zhuǎn)化能力.本題通過適當(dāng)改變條件和目標(biāo)形成問題鏈，但不改變問題的本質(zhì).

2.3 特殊驗算與一般運算型問題

( )

A.α<β<γB.α<γ<β

C.β<α<γD.γ<α<β

(2017年浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第18題)

不難發(fā)現(xiàn)此時BC′>AC′>PC′，從而sinγ>sinα>sinβ.

素養(yǎng)生成對于一些難度較大的小題(特別是選擇題)，有時采取特殊運算即取特殊值、特殊位置、特殊對象等,往往可以快速鎖定正確答案，提高運算效率.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|,|a-b|}≤max{|a|,|b|}

D.max{|a+b|,|a-b|}≥max{|a|,|b|}

本題基于向量加減法比較相關(guān)模之間的關(guān)系，設(shè)置相似選項干擾學(xué)生選擇以提高問題求解的難度.利用向量a,b的特殊位置可以立即排除錯誤選項，如當(dāng)a⊥b時可同時排除選項A,C,而當(dāng)a=b≠0時即可排除選項B.故選D.

2.4 精確運算與近似估算型問題

( )

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第3題)

例5已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a)，求M(a)-m(a)；

2)設(shè)b∈R,若[f(x)+b]2≤4對x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

運算現(xiàn)狀對于例4學(xué)生常采用估值運算尋找中間數(shù)0和1，易得b<0

由于求最值需要關(guān)注單調(diào)性，因此想到求導(dǎo),即

部分學(xué)生對于分類標(biāo)準(zhǔn)常產(chǎn)生混淆，由于當(dāng)x≥a時，f′(x)=3x2+3≥0,因此只需討論f′(x)=3x2-3的零點±1與a的關(guān)系.當(dāng)a≤-1或a≥1時，f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性相對簡單，而當(dāng)-1

M(a)=max{f(-1),f(1)}，m(a)=f(a).

由此又需對f(-1)和f(1)的大小加以討論，而學(xué)生在計算f(-1)和f(1)的值時常代入計算出錯.

第1)小題的分類結(jié)果最終服務(wù)于第2)小題，在此不再贅述.

素養(yǎng)生成強化分類討論能力是提升運算能力的重要抓手.分類討論的核心需要學(xué)生弄清“為什么要分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么”.教學(xué)中需要教師利用典型問題開展分類討論的專題研究，不斷反復(fù)螺旋上升，達(dá)到分類中計算能力的跨越,同時要將估值計算與精確運算相結(jié)合.

試題編制若實數(shù)a≤0，設(shè)f(x)=lnx+2x2+ax+1.

1)當(dāng)a=-5時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

估值運算通常出現(xiàn)在對數(shù)或指數(shù)運算中，將對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)通過加法運算構(gòu)造新函數(shù)，將參數(shù)放置在一次項位置變成含參函數(shù)問題.本題第1)小題考查定函數(shù)的單調(diào)性，特別注意定義域問題和單調(diào)區(qū)間寫法的規(guī)范性，考查基本知識和基本方法；第2)小題通過對含參導(dǎo)數(shù)零點的討論，著重考查學(xué)生分類討論的能力，同時涉及精確計算和近似估算相結(jié)合的運算，對考生提出了較高的要求.

得

-5

又

在比較兩值大小中會出現(xiàn)臨界值

此時需要比較a0與-4和-5的大小.如

即估算e7與162的大小，在確認(rèn)a0∈(-5,-4)時進(jìn)一步分為兩種情況，即a∈(-5,a0)和a∈(a0,-4).當(dāng)a∈(-5,a0)時，由

得

a=-2ln 2-3.

顯然

a=-2ln 2-3>-5,

但a與a0的大小就需要估算.由

知此時需要估算42與e3的大小.同樣的情況出現(xiàn)在當(dāng)a∈(a0,-4)時的運算中，在此不再贅述.

3 試卷編制的體悟

由于本次試題編制杜絕抄襲，試題盡量原創(chuàng)的要求極大考驗著教師的出題水平.為此編制團隊經(jīng)過將近一個月的努力，不斷交流、修改，再交流、再修改，從而編制出了一些質(zhì)量較高的原創(chuàng)試題和改編試題.由此深深感悟到:對數(shù)學(xué)試題特別是高考試題的編制進(jìn)行研究和探索，是教師自我提高、實現(xiàn)教師專業(yè)化發(fā)展的有效手段，也是教師力圖溝通聯(lián)系命題、考試和教學(xué)這3個方面的絕佳途徑.

3.1 把握編題原則，抓住題型特點

眾所周知，數(shù)學(xué)試題編制強調(diào)科學(xué)性原則，即試題內(nèi)容的科學(xué)性和測量工具的科學(xué)性；準(zhǔn)確性原則即運用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言，語意清楚并表達(dá)準(zhǔn)確；公平性原則即考查的知識內(nèi)容、試題選取的素材、評分標(biāo)準(zhǔn)和參考答案要考慮到全體考生答題的可能性；整體性原則即試卷的布局應(yīng)科學(xué)、合理、結(jié)構(gòu)良好等.

編制不同題型需要注意各自的特點，如編制選擇題關(guān)鍵在于考查能力的目標(biāo)明確、具體、集中，取材恰當(dāng)、合理、有針對性，精心編制好題干與備選項，不宜采用派生性的知識作為考查能力的依托.編制填空題取材合理，涉及的內(nèi)容不宜多，求解的過程宜短，陳述力求簡潔、精煉、規(guī)范，尤其是指導(dǎo)語的使用，務(wù)必防止歧義，且保證答案簡明，考查中心突出、鮮明、集中.而對于解答題，雖然編制方法與前兩種題型相比無本質(zhì)差別，但其活動的自由度卻要大得多，而且要顧及的問題也比較多.要編制出一道好的解答題，一般要經(jīng)歷如下的幾個步驟,即選材與立意、搭架與構(gòu)題、加工與調(diào)整、審查與復(fù)核.

3.2 落腳數(shù)學(xué)運算，彰顯核心素養(yǎng)

通過考題的編制，全方位考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時考題又充分展現(xiàn)了豐富多彩的運算方式，即定性分析與定量計算型問題、代數(shù)運算與幾何運算型問題、特殊驗算與一般運算型問題及精確計算與近似估算型問題等.數(shù)學(xué)運算不僅僅是簡單的計算問題，而是包括對題目信息的挖掘能力、定義公式定理法則等的運用能力、運算方法的選擇能力、數(shù)學(xué)思想方法的運用能力和估算能力等，由此可見數(shù)學(xué)運算能力是一種綜合性的數(shù)學(xué)能力.

學(xué)生在問題的求解過程中需要掌握靈活多變的運算方式，及時選取高效簡單的運算方法，不斷提高運算求解水平.

3.3 展開運算教學(xué)，提升教學(xué)品質(zhì)

我們常常聽到學(xué)生考試后的感嘆：“考試時問題求解有思路就是要算錯，常常時間不夠用.”如果排除學(xué)生考試緊張的心理因素，那么學(xué)生運算能力的薄弱是一個繞不開的話題.由此教師必須利用不同形式的課型，不遺余力地強化運算教學(xué)的重要性,即以概念教學(xué)為突破、習(xí)題教學(xué)為抓手、試卷講評為示范，從學(xué)生明晰運算對象、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序和求得運算結(jié)果等諸多環(huán)節(jié)展開運算教學(xué).努力展現(xiàn)問題求解中所涉及的直接運算的繁雜、轉(zhuǎn)化運算中的求簡和創(chuàng)新運算中的至簡等3個主要運算層次，不斷提升運算教學(xué)的品質(zhì).