王 智，張 婕，熊 偉，王 鵬，李 強(qiáng)

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 前言

主動(dòng)雷達(dá)探測(cè)技術(shù)在飛行器制導(dǎo)中占據(jù)著重要位置。在直角坐標(biāo)系中建立飛行器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，其狀態(tài)方程是線性的，但觀測(cè)方程是非線性的[1]。為了獲得制導(dǎo)律所需的精確可靠的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息，需要在帶有觀測(cè)噪聲的有限測(cè)量信息中獲取位置信息、速度信息和加速度信息，即非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題。擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filtered，EKF)方法作為一種非線性系統(tǒng)擴(kuò)展的線性濾波方法，具有計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，在非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。以線性二次型性能指標(biāo)為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制問題具有計(jì)算簡(jiǎn)單、便于調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)，由于線性二次型問題解出的控制規(guī)律可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)最優(yōu)閉環(huán)控制，成為當(dāng)今控制工程領(lǐng)域里較為重要的設(shè)計(jì)方法之一。為改善導(dǎo)引彈道特性，提高飛行器導(dǎo)引準(zhǔn)確度，本文對(duì)基于EKF的主動(dòng)雷達(dá)尋的制導(dǎo)狀態(tài)估計(jì)與最優(yōu)控制律進(jìn)行研究。

1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型

由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)未知，對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的建模比較復(fù)雜。本文采用1階馬爾科夫過程來近似描述目標(biāo)機(jī)動(dòng)，目標(biāo)加速度At滿足如下的微分方程[2]:

(1)

式中，λ為目標(biāo)加速度的機(jī)動(dòng)頻率,Wt為目標(biāo)加速度的過程噪聲。

2 主動(dòng)雷達(dá)尋的制導(dǎo)狀態(tài)估計(jì)

2.1 狀態(tài)方程

飛行器M與目標(biāo)T之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 直角坐標(biāo)系中飛行器與目標(biāo)相對(duì)關(guān)系Fig.1 The relationship between flight vehicle and target in Cartesian coordinate system

圖1中，OXYZ為慣性坐標(biāo)系，qε、qβ分別為視線高低角和方位角，R為飛行器與目標(biāo)之間的斜距。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為[3-4]：

(2)

式中，x=[rx，ry，rz，vx，vy，vz，atx，aty，atz]T，為狀態(tài)變量；rx、ry和rz為飛行器與目標(biāo)之間的相對(duì)位置在慣性坐標(biāo)系中的三分量；

下標(biāo)t代表目標(biāo)，下標(biāo)m代表飛行器，下同。rtx、rty和rtz為目標(biāo)位置在慣性系中的三分量，rmx、rmy和rmz為飛行器位置在慣性系中的三分量。

vx、vy、vz為飛行器與目標(biāo)之間的相對(duì)速度在慣性坐標(biāo)系中的三分量。

vtx、vty和vtz為目標(biāo)速度在慣性系中的三分量，vmx、vmy和vmz為飛行器速度在慣性系中三分量；atx、aty、atz為目標(biāo)加速度在慣性坐標(biāo)系中的三分量。

將式離散化后可得

x(k+1)=Φx(k)+Γu(k)+ω(k)

(3)

式中，

其中Δt為采樣周期。

動(dòng)態(tài)噪聲向量ω(k)為高斯型白色隨機(jī)向量序列，即：

(4)

2.2 測(cè)量方程

飛行器采用主動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行主動(dòng)探測(cè)，觀測(cè)量為彈目距R、視線高低角qε和視線方位角qβ。實(shí)際測(cè)量中導(dǎo)引頭具有測(cè)量噪聲，測(cè)量值是真實(shí)狀態(tài)的非線性函數(shù)，并受到高斯白噪聲的干擾[5-6]。觀測(cè)模型為:

z(k)=h[x(k)，k]+υ(k)

(5)

式中，h[x(k)，k]代表測(cè)量值的真值，為

(6)

υ(k)為測(cè)量噪聲，是高斯型白色隨機(jī)向量序列，即：

(7)

且ω(k)與υ(k)相互獨(dú)立。

對(duì)于主動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭，測(cè)量噪聲方差R1可以表示為：

(8)

對(duì)于主動(dòng)雷達(dá)尋的制導(dǎo)，需要利用所測(cè)得的彈目距、目標(biāo)方位角信息估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。從模型上看，狀態(tài)方程是線性的，觀測(cè)方程是非線性的。對(duì)于非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題，應(yīng)用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)近似的線性濾波問題[7]。

(9)

令：

則觀測(cè)方程為：

z(k)=H(k)x(k)+y(k)+υ(k)

(10)

觀測(cè)矩陣H(k)由h的雅克比矩陣得到，即：

(11)

綜合式(6)和式(11)，得到:

(12)

式中，

Λ32=0

對(duì)線性化后的模型式和式應(yīng)用EKF進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。

3 線性二次型最優(yōu)制導(dǎo)律

線性二次型問題解出的控制規(guī)律可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)最優(yōu)閉環(huán)控制，同時(shí)具有計(jì)算簡(jiǎn)單、便于調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)。為使需用過載和脫靶量盡可能小，選取指標(biāo)函數(shù)為：[8]

式中，tf為飛行器飛行時(shí)間。

根據(jù)龐特里亞金極小值原理[9]，可得最優(yōu)制導(dǎo)律為:

(13)

式中,

tgo=tf-t

式中，tgo為飛行器剩余飛行時(shí)間；N為導(dǎo)航比，需要根據(jù)飛行器制導(dǎo)系統(tǒng)通頻帶和剩余飛行時(shí)間綜合確定。

最優(yōu)制導(dǎo)律所需的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息通過濾波器狀態(tài)估計(jì)得到。

4 仿真分析

設(shè)制導(dǎo)初始時(shí)刻目標(biāo)與飛行器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系為：

rx(0)=3500m，ry(0)=1500m，rz(0)=1000m
vx(0)=-1100m/s，vy(0)=-150m/s，
vz(0)=-50m/s
atx(0)=10m/s2，aty(0)=10m/s2，
atz(0)=10m/s2

EKF中，狀態(tài)估計(jì)的初始值為：

rx(0|0)=3000m，ry(0|0)=1200m，
rz(0|0)=800m

vx(0|0)=-1000m/s，vy(0|0)=-120m/s，
vz(0|0)=-40m/s

atx(0|0)=8m/s2，aty(0|0)=6m/s2，
atz(0|0)=5m/s2

狀態(tài)方差陣的初始估計(jì)值為：

目標(biāo)的跟蹤軌跡如圖2所示。跟蹤軌跡最終表明，軌跡趨于一致，驗(yàn)證了基于EKF的狀態(tài)估計(jì)方法和基于線性二次型最優(yōu)制導(dǎo)律的有效性。

圖2 EKF跟蹤軌跡與真實(shí)軌跡Fig.2 EKF tracking trajectory and real trajectory

狀態(tài)估計(jì)值與真實(shí)值之間的對(duì)比曲線見圖3～圖5，狀態(tài)估計(jì)值與真實(shí)值之間的偏差如圖6～圖8所示?？梢钥闯?，無論位置還是速度，最終都趨于收斂。

圖3 相對(duì)位置估計(jì)值與真實(shí)值Fig.3 Estimated and real values of relative position

圖4 相對(duì)速度估計(jì)值與真實(shí)值Fig.4 Estimated and real values of relative velocity

圖5 目標(biāo)加速度估計(jì)值與真實(shí)值Fig.5 Estimated and real values of target acceleration

圖6 相對(duì)位置估計(jì)誤差Fig.6 Estimation error of relative position

圖7 相對(duì)速度估計(jì)誤差Fig.7 Estimation error of relative velocity

圖8 加速度估計(jì)誤差Fig.8 Estimation error of acceleration

5 結(jié)論

本文利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器和線性二次型最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)了主動(dòng)雷達(dá)尋的最優(yōu)制導(dǎo)系統(tǒng)，并進(jìn)行了目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下的仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的濾波器能夠較準(zhǔn)確地進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，狀態(tài)估計(jì)值用于線性二次型最優(yōu)制導(dǎo)律，改善了飛行器的導(dǎo)引特性和制導(dǎo)精度。

參考文獻(xiàn)

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