薛飛

現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)選修44《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》中第33頁(yè)例3為：

如圖， O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OA⊥OB，OM⊥AB并與AB相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn).

本題主要考察直線(xiàn)，拋物線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)，考察由動(dòng)點(diǎn)求軌跡方程的基本方法以及方程化簡(jiǎn)的基本技能.

教材中給出的解答為：

根據(jù)條件，設(shè)點(diǎn)M，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（2pt21，2pt1），（2pt22，2pt2）（t1≠t2）且（t1·t2≠0），則OM=（x，y），OA=（2pt21，2pt1），OB=（2pt22，2pt2），AB=（2p（t22-t21），2p（t2-t1））

因?yàn)镺A⊥OB所以O(shè)A⊥OB，所以O(shè)A·OB=0，即（2pt1t2）2+（2p）2t1t2=0，所以t1t2=-1.①

因?yàn)镺M⊥AB，所以O(shè)M·AB=0，

即2px（t22-t21）+2py（t2-t1）=0，所以

x（t1+t2）+y=0，即t1+t2=-yx（x≠0），②

因?yàn)锳M=（x-2pt21，y-2pt1），MB=（2pt22-x，2pt2-y），且A，B，M三點(diǎn)共線(xiàn)，

所以（x-2pt21）（2pt2-y）=（y-2pt1）（2pt22-x），化簡(jiǎn)得y（t1+t2）-2pt1t2-x=0， ③

將①②代入③，得到y(tǒng)（-yx）+2p-x=0，即x2+y2-2px=0（x≠0）這就是點(diǎn)M的軌跡方程.

本題是由2000年春季高考試題（北京，安徽卷）改編而來(lái)的，當(dāng)時(shí)命題組給出的解答為：

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)y2=2px上，故設(shè)A（yA22P，yA），B（yB22p，yB），若再設(shè)OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，則kOA=yAyA22p=2pyA，kOB=2pyB.

由OA⊥OB得： kOA·kOB=4p2yAyB=-1…（1）；由點(diǎn)A在A(yíng)B上，得直線(xiàn)AB方程為：（yA+yB）（y-yA）=2p（x-yA22p）…（2）；由OM⊥AB得直線(xiàn)OM方程為：y=yA+yB-2px…（3）.

設(shè)點(diǎn)M（x，y），則x，y滿(mǎn)足⑵⑶兩式，將⑵式兩邊同乘以-x2p，并利用⑶式整理得：x2pyA2+yyA-（x2+y2）=0…（4）.

由⑶⑷兩式得-x2p+yByA-（x2+y2）=0；又由⑴式有yByA=-4p2.

所以x2+y2-2px=0.又因?yàn)锳，B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以x≠0.

所以，所求的軌跡為以（p，0）為圓心，以p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

在題目中，有四個(gè)已知條件：①點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，②OA⊥OB，③OM⊥AB，④OM與AB相交于點(diǎn)M.上述兩種解法大同小異，都是先利用了條件①，用兩個(gè)參數(shù)設(shè)出了A，B的坐標(biāo)，再利用其他的條件尋找出了參數(shù)之間的關(guān)系式而獲解.但在尋找參數(shù)之間的關(guān)系時(shí)比較困難，并且本題的命題目的之一為考察學(xué)生化簡(jiǎn)方程的基本技能，但在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，上述解法中對(duì)關(guān)系式的處理技巧性過(guò)強(qiáng)，學(xué)生難以想到，不易掌握.習(xí)題課上，筆者把該題展示給學(xué)生，讓學(xué)生自己探討其解法，結(jié)果從不同的角度入手，設(shè)出不同的參數(shù)，獲得了多種既好想又容易化簡(jiǎn)的多種解法.

解法1 設(shè)M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），則由題意有：

y21=2px1…（1），y22=2px2…（2），

y1y2x1x2=-1…（3），y1-y2x1-x2=-xy…（4）.

（1）-（2）并代入（4）得：y1+y2=-2pyx…（5）. （1）×（2）并代入（3）得：y1·y2=-4p2…（6）.

（1）+（2）并整理得：（y1+y2）2-2y1y2=2p（x1+x2），代入（5）（6）兩式得：x1+x2=2py2x2+4p…（7）.

由（5）（7）知AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（py2x2+2p，-pyx）.

由題意，M，D，A，B四點(diǎn)共線(xiàn)，從而有：kAB=kMD，

即y1-y2x1-x2=y+pyxx-py2x2-2p=-xy，

整理得：x2+y2-2px=0.

又易知x≠0，故所求的軌跡為以（p，0）為圓心，以p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

評(píng)注這種解法通過(guò)設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用四個(gè)條件獲得⑴⑵⑶⑷四式，對(duì)這四個(gè)式子進(jìn)行處理得到A，B中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再由M，D，A，B四點(diǎn)共線(xiàn)而獲解.雖然設(shè)出了四個(gè)未知數(shù)，列出了眾多的關(guān)系式，但通過(guò)對(duì)關(guān)系式的處理得到中點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)生比較熟悉，不難操作，因此易于學(xué)生掌握.

解法2由題意，直線(xiàn)OA存在斜率，設(shè)其方程為y=kx，則OB的方程為y=-1kx.分別與y2=2px聯(lián)立，得A（2pk2，2pk），B（2pk2，-2pk）.從而可得直線(xiàn)AB的方程為：y+2pk=k1-k2（x-2pk2），即： y=kk2-1（-x+2p）.

設(shè)M（x，y），由OM⊥AB知，kOM·kAB=-1，且點(diǎn)M在直線(xiàn)AB上，故有：

yx=k2-1k，

y=kk2-1（-x+2p）.

消去參數(shù)k得x2+y2-2px=0（以下同解法1）.

評(píng)注這種解法通過(guò)轉(zhuǎn)換視角，視A.B為拋物線(xiàn)與OA，OB的交點(diǎn)，通過(guò)解方程組求得A，B的坐標(biāo)，得到AB所在直線(xiàn)的方程，再由點(diǎn)M在直線(xiàn)AB上及相應(yīng)的斜率關(guān)系而獲解.只設(shè)出了一個(gè)參數(shù)，解法簡(jiǎn)捷，但要注意消去參數(shù)k時(shí)的靈活性.

解法3當(dāng)AB所在直線(xiàn)不存在斜率時(shí)，易知此時(shí)M為一定點(diǎn)，坐標(biāo)為（2p，0）.

當(dāng)AB所在直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+b（k≠0），則A，B是該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn).

由y=kx+b

y2=2px得：k2x2+2（kb-p）x+b2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=2（p-kb）k2，x1x2=b2k2.

所以y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=2pbk.

由OA⊥OB有y1y2x1x2=-1，即y1y2+x1x2=0.

所以b=-2pk…①

設(shè)M（x，y），由OM⊥AB，有yx·k=-1，即k=-xy…②由①②及y=kx+b消去k，b得：x2+y2-2px=0.

又易知x≠0且（2p，0）也滿(mǎn)足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：x2+y2-2px=0（x≠0）（以下同解法1）.

評(píng)注這種解法視A，B為直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，通過(guò)設(shè)出AB直線(xiàn)的方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題，利用韋達(dá)定理獲得關(guān)系式，再結(jié)合其他條件而獲解.雖然有兩個(gè)參數(shù)，但參數(shù)間的關(guān)系簡(jiǎn)捷、直觀(guān)，極易消去參數(shù)，非常容易操作.需要注意的是，不要忽視AB不存在斜率時(shí)的特殊情況.

解法4設(shè)M（x0，y0），當(dāng)y0≠0時(shí)，由OM⊥AB及OM與AB相交于點(diǎn)M可知直線(xiàn)AB方程為：y-y0=-x0y0（x-x0）.

與y2=2px聯(lián)立并消去x得

y2+2py0x0y-2p（x20+y20）x0=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=-2py0x0，y1y2=-2p（x20+y20）x0.再由y2=2px方程有x1x2=（y1y2）24p2=（x20+y20）2x20.

因?yàn)镺A⊥OB所以O(shè)A⊥OB，所以O(shè)A·OB=0，即x1x2+y1y2=0.

即（x20+y20）2x20-2p（x20+y20）x0=0，

整理得： x20+y20-2px0=0.

又當(dāng)y0=0時(shí)，M是一定點(diǎn)（2p，0），也滿(mǎn)足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：x2+y2-2px=0（x≠0）（以下同解法1）.

評(píng)注上述解法利用軌跡的定義，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)條件③④得到直線(xiàn)AB的方程，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交問(wèn)題，獲得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)之間的關(guān)系式再由條件②處理相應(yīng)的關(guān)系式而獲解.這種解法直觀(guān)、易懂，但運(yùn)算的綜合性大，稍不注意，就會(huì)出錯(cuò).

綜觀(guān)上述，解題中從不同的角度入手思考，選擇不同的參數(shù)，會(huì)得到不同的解法，且各種解法難易程度，繁簡(jiǎn)程度差別較大.因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們應(yīng)注意多思多想，善于總結(jié)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，從中選擇最簡(jiǎn)捷的解法.