秦培歌, 薛春艷

(北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100192)

0 引 言

近年來,具變號(hào)權(quán)函數(shù)的微分方程或系統(tǒng)得到了廣泛的研究[1-8]。眾所周知,這類問題描述了很多重要的物理現(xiàn)象。比如,在量子力學(xué)模型[9-10]、半導(dǎo)體理論以及依賴于時(shí)間和空間的封閉容器中的核反應(yīng)[11]數(shù)學(xué)模型中都有廣泛的應(yīng)用。

在本文中,考察如下二階微分系統(tǒng):

(1)

其中

此處,fi(u(t))表示fi(u(t))=fi(u1(t),u2(t),…,un(t)),i=1,2,…,n,且ωi(t)(i=1,2,…,n)在[0,1]上可能變號(hào)。則系統(tǒng)(1)的方程表示為

(2)

系統(tǒng)(1)的邊界條件表示為

(3)

當(dāng)n=1時(shí),系統(tǒng)(1)退化為標(biāo)量方程

(4)

其中ω(t)在[0,1]上變號(hào)。Yao[1]運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究了邊值問題(4)正解的存在性和多解性。Jiang等[2]運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到了問題(4)存在一個(gè)正解。值得注意的是,在上述文獻(xiàn)中,作者只考慮了二階微分方程權(quán)函數(shù)變號(hào)的情況,本文則把權(quán)函數(shù)變號(hào)的二階微分方程推廣到n維系統(tǒng),得到系統(tǒng)正解的存在性。

在本文中,除非另有說明,默認(rèn)i=1,2,…,n。

1)ωi:J→R是連續(xù)的,存在ξ∈(0,1)使得

且ωi(t)在J的任意子區(qū)間上不恒為零;

3) 存在0<θ<+∞,θ≠1和k1,k2>0,使得k1‖u‖θ≤fi(u)≤k2‖u‖θ。

注1 系統(tǒng)(1)的解u是滿足(1)的向量值函數(shù)u∈C2(J,Rn)。若一個(gè)解u=(u1,u2,…,un)T是正的,則對(duì)任意t∈J,有ui(t)≥0,i=1,2,…,n,且u至少有一個(gè)非零分量。

1 預(yù)備知識(shí)

定義

則有

引理1 假設(shè)條件1)和2)滿足,則問題(1)有一個(gè)解u=(u1,u2,…,un)T。其中,

證明 引理1的證明類似于文獻(xiàn)[17]中引理2的證明。

由G(t,s)的定義可知,它有如下性質(zhì):

命題1G(t,s)由式(6)定義,于是有

為了獲得系統(tǒng)(1)正解的存在性,需要假設(shè)下面條件成立:

4) 存在0<σ<ξ,使得

下列命題表明條件4)是合理的。

命題2 假設(shè)存在0<σ<ξ使得

證明 首先證明

G(t,ξ-μτ)≥σG(t,ξ+τ),τ∈[0,1-ξ]

情況1 若t∈[0,ξ],有

情況2:若t∈[ξ,1],有

然后,做變換s=ξ-μτ,τ∈[0,1-ξ],可得

做變換s=ξ+τ,τ∈[0,1-ξ],可得

接下來,由命題的假設(shè),對(duì)于任意的(t,τ)∈[0,1]×[0,1-ξ],有

在上述不等式兩邊對(duì)τ從0到1-ξ進(jìn)行積分,可得

因此,有

則命題2得證。

因此,(X,‖·‖)是一個(gè)實(shí)Banach空間

令

構(gòu)造錐K如下:

對(duì)于r>0,定義集合

令T:K→X是元素為(T1,…,Ti,…,Tn)的集合,則有Tu=(T1u,…,Tiu,…,Tnu)T。其中

(7)

由引理1和式(7),可以得到下列引理。

引理2 假設(shè)條件1)和2)滿足,則u∈X是系統(tǒng)(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是算子T的不動(dòng)點(diǎn)。

引理3 假設(shè)條件1)～4)滿足,則T(K)?K且算子T:K→K是全連續(xù)的。

證明 對(duì)任意u∈K,首先證明

證明如下:

因此,對(duì)任意u∈K,t∈J,有

另外,有

因此,T(K)?K。

由常規(guī)的步驟可得算子T是全連續(xù)的。

下面給出本文運(yùn)用的主要引理,見文獻(xiàn)[19]。

1) ‖Tx‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1;‖Tx‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω2;

2) ‖Tx‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1;‖Tx‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω2。

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中,運(yùn)用引理4討論系統(tǒng)(1)正解的存在性。

定理1 假設(shè)條件1)～4)成立。當(dāng)θ>1時(shí),系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)正解。

證明 一方面,由于θ>1,根據(jù)條件3),得

這表明存在r>0,使得

fi(u)≤ε‖u‖, 0≤‖u‖≤r

其中ε滿足

對(duì)任意u∈?Ωr,有

即

‖Tu‖≤‖u‖, ?u∈?Ωr

(8)

另一方面,由于θ>1,根據(jù)條件3),得

這表明存在R>0,使得

fi(u)≥η‖u‖, ‖u‖≥R

其中η滿足

對(duì)任意u∈?ΩR,可得

即

‖Tu‖≥‖u‖, ?u∈?ΩR

(9)

定理2 假設(shè)條件1)～4)成立。當(dāng)0<θ<1時(shí),系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)正解。

證明 一方面,由于0<θ<1,根據(jù)條件3),得

這表明存在R>0,使得

fi(u)≤ε‖u‖, ‖u‖≥R

其中ε滿足

對(duì)任意u∈?ΩR,類似于式(8)的證明,可得

‖Tu‖≤‖u‖, ?u∈?ΩR

(10)

另一方面,由于0<θ<1,根據(jù)條件3),得

這表明存在r>0,使得

fi(u)≥η‖u‖, 0≤‖u‖≤r

其中η滿足

對(duì)任意u∈?Ωr,與式(9)的證明相似,可得

‖Tu‖≥‖u‖, ?u∈?Ωr

(11)

3 結(jié) 語(yǔ)

本文利用Banach空間中范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了系統(tǒng)(1)正解的存在性。主要把二階微分方程推廣到n維系統(tǒng),同時(shí)克服了由于權(quán)函數(shù)變號(hào)帶來的困難,得到了系統(tǒng)(1)存在一個(gè)正解。

參考文獻(xiàn):

[1]YAO Qingliu. Existence and multiplicity of positive radial solutions for a semilinear elliptic equation with change of sign[J]. Appl Anal, 2001,80(1/2):65-77.

[2]JIANG Xiufen,YAO Qingliu. An existence theorem of positive solution for a semilinear two-point BVP with change of sign[J]. Math Appl, 2001,14(3):68-71.

[3]WANG Fanglei,AN Yukun. On positive solutions for a second order differential system with indefinite weight[J]. Elsevier Science Inc, 2015,259:753-761.

[4]MA Ruyun,HAN Xiaoling. Existence and multiplicity of positive solutions of a nonlinear eigenvalue problem with indefinite weight function[J]. Appl Math Comput, 2009,215(3):1077-1083.

[5]GAO Chenghua,DAIGuowei,MA Ruyun. Existence of positive solutions to discrete second-order boundary value problems with indefinite weight[J]. Adv Differ Equ, 2012,2012(1):1-10.

[6]WANG Fanglei,AN Yukun. Existence of doubly periodic solutions for a class of telegraph system with indefinite weight[J]. Bull Sci Math, 2013,137(8):1007-1017.

[7]ALBERTO B,FABIIO Z. Second-order ordinary differential equations with indefinite weight: the Neumann boundary value problem[J]. Ann Mat Pur Appl, 2015,194(2):451-478.

[8]ALBERTO B,MAURIZIO G. Multiple solutions to Neumann problems with indefinite weight and bounded nonlinearities[J]. J Dyn Differ Equ, 2016,28(1):1-21.

[9]RAFAEL B,HAIMB,ELLIOTT H L. The thomas-fermi-von weizsacker theory of atoms and molecules[J]. Commun Math Phys, 1981,79(2):167-180.

[10]ELLIOTT H L. Thomas-Fermi and related theories of atoms and molecules[J]. Rev Mod Phys, 1981,53:603-641.

[11]WILLIAM E K,PAUL L C. On the stability of nonlinear space-dependent reactor kinetics[J]. Nucl Sci Eng, 1968,31(1):67-79.

[12]ZHANG Xuemei,FENG Meiqiang. Positive solutions for a second-order differential equation with integral boundary conditions and deviating arguments[J]. Bound Value Probl, 2015,2015(1):1-21.

[13]FENG Meiqiang,ZHANG Xuemei,GE Weigao. Existence theorems for a second order nonlinear differential equation with nonlocal boundary conditions and their applications[J]. J Appl Math Comput, 2010,33(1/2):137-153.

[14]CHEN Haibo,LI Peiluan. Three-point boundary value problems for second-order ordinary differential equations in Banach spaces[J]. Comput Math Appl, 2008,56(7):1852-1860.

[15]盧高麗,馮美強(qiáng). 具偏差變?cè)亩A微分方程多個(gè)正解及其應(yīng)用[J]. 中國(guó)科技論文, 2016,11(5):571-575.

[16]WANG Fanglei,AN Yukun. Positive solutions for a second-order differential system[J]. J Math Anal Appl, 2011,373(2):370-375.

[17]曹君艷,王全義. 一類二階微分方程兩點(diǎn)邊值問題的正解存在性[J]. 華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010,31(1):113-117.

[18]郭大鈞. 非線性泛函分析[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2015.

[19]馮美強(qiáng),張學(xué)梅. 非線性常微分方程邊值問題應(yīng)用研究[M]. 北京:北京科學(xué)技術(shù)出版社, 2010.