肖利全 段書凱 王麗丹

1)(西南大學電子信息工程學院,重慶 400715)

2)(非線性電路與智能信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400715)

1 引 言

1971年,Chua首次提出憶阻器[1];2008年,惠普實驗室率先研發(fā)出憶阻器實物模型[2].自此,憶阻器在非易失存儲[3]、聯(lián)想記憶[4]、非線性電路與系統(tǒng)[5]等眾多領域有了廣泛的應用.

分形[6?8]與混沌是緊密聯(lián)系的,雖然分形與混沌的起源不同,發(fā)展過程也不相同,但它們的研究內(nèi)容在本質上有著很大的相似性,混沌主要在于研究過程的行為特性,分形更著重于研究吸引子自身的結構.混沌吸引子也是分形集,而分形集便是動力學系統(tǒng)中那些不穩(wěn)定軌跡的初始點的集合.對混沌和分形這兩個領域的研究已碩果累累[9?14],Bouallegue[15]通過復雜的分形網(wǎng)絡及變換產(chǎn)生混沌吸引子,作為聯(lián)系如此緊密的兩個學科,將分形與混沌系統(tǒng)相結合的研究是有意義的.

基于此,本文探索分形與混沌系統(tǒng)的結合,將經(jīng)典的Julia分形過程及其變形應用于憶阻混沌系統(tǒng)中,數(shù)值仿真結果表明,它能產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子,而且它的渦卷數(shù)可通過參數(shù)很好地進行控制.在已有的產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法中,如分段線性函數(shù)[16]、階躍函數(shù)[17]、正弦函數(shù)[18]、開關流形[19?21]、時滯飽和序列[22?25],這些使用功能函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法,使混沌系統(tǒng)變得不光滑,而將分形過程應用于混沌系統(tǒng)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法,則彌補了這一不足.

本文第2部分構建了一個新的憶阻混沌系統(tǒng),并對它的動力學特性進行了分析,驗證了系統(tǒng)的混沌特性;第3部分將Julia分形過程、帶系數(shù)的Julia分形過程、高階Julia分形過程和多項式Julia分形過程分別應用到本文提出的憶阻混沌系統(tǒng)中,得到了復雜多變的混沌吸引子,如環(huán)形多渦卷混沌吸引子,還討論了分形過程中一個復常數(shù)的影響,通過改變復常數(shù)的取值,能夠得到多種形狀的混沌吸引子,如趨于分離狀的多渦卷混沌吸引子;第4部分是本文的總結.

2 新憶阻混沌系統(tǒng)及其動力學性質

2.1 新憶阻混沌系統(tǒng)的提出

本文構建了一個新的憶阻混沌系統(tǒng),可由以下方程描述:

其中,a,b,c,d,e為系統(tǒng)參數(shù);u,v,w為狀態(tài)變量.h(·)滿足二氧化鈦憶阻器的磁通與電荷之間的關系,可表示為[12]

2.2 動力學特性

2.2.1 對稱性和不變性

觀察系統(tǒng)方程(1)不難發(fā)現(xiàn),在坐標變換(u,v,w)→(?u,?v,w)下,系統(tǒng)(1)的微分方程保持不變.也就是系統(tǒng)(1)關于w軸對稱.

2.2.2 耗散性

將系統(tǒng)(1)改寫成下面的矢量形式:

向量場F(X)在R3上的散度為

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子 (a)三維圖;(b)u-v平面;(c)u-w平面;(d)v-w平面Fig.1.Attractor of system(1):(a)Three-dimensional view;(b)u-v plane;(c)u-w plane;(d)v-w plane.

對于系統(tǒng)(1),它的散度可以計算為?F=1?a?b.當1?a?b<0時,?F0.體積(V)的收縮速率為

求解可得

系統(tǒng)的體積元以指數(shù)形式快速縮減到0.本文所選取的參數(shù)a=8,b=5,則?F=1?a?b=?12<0,故系統(tǒng)(1)是耗散的.當t→∞時,每個體積元組成的系統(tǒng)軌道以指數(shù)(1?a?b)縮小到0.因此,系統(tǒng)的所有軌跡被限制在一個包含零體積的有限集內(nèi),且收斂到一個零體積的吸引子上.

2.2.3 系統(tǒng)平衡點

為了得到系統(tǒng)(1)的平衡點,令方程(1)中的可得

求得系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000,e=12時,有三個平衡點S1(0,0,0),S2(3.9129,0.4053,5.1036)和S3(?3.9129,?0.4053,5.1036).

系統(tǒng)(1)線性化的Jacobian矩陣為

將平衡點S1代入(8)式,得到系統(tǒng)(1)在平衡點S1處的特征值λ1=?13.5125,λ2=6.5152,λ3=?3.λ1和λ3為負實根,λ2為正實根,故平衡點S1是不穩(wěn)定的鞍點.

在平衡點S2(3.9129,0.4053,5.1036)處,求得其特征值為λ1=?10.4769+10.1340i,λ2=?10.4769?10.1340i,λ3=10.9537.λ1和λ2為一對共軛復根,λ3為正實數(shù),故平衡點S1是不穩(wěn)定的鞍焦點.

同理,可求出在S3(?3.9129,?0.4053,5.1036)處的特征值為λ1=?10.4769+10.1340i,λ2=10.4769?10.1340i,λ3=10.9537.平衡點S3和S2具有相同的特征值,故S3也是不穩(wěn)定的鞍焦點.

2.2.4 Lyapunov指數(shù)和分數(shù)維

眾所周知,Lyapunov指數(shù)是分析動力系統(tǒng)非線性行為的一種方法,實際上它測量了相空間中運動軌跡的收斂或發(fā)散的指數(shù)率.如果系統(tǒng)至少有一個Lyapunov指數(shù)是正的,那么該系統(tǒng)可以被視為混沌系統(tǒng).當初始狀態(tài)為(u,v,w)=(1,1,1),且系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000,e=12時,得到如圖2所示的系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜,相應的Lyapunov指數(shù)值分別是LE1=1.3078,LE2=?0.0011028,LE3=?11.3067.

圖2 系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2.Lyapunov exponent spectrum of system(1).

此外,在Lyapunov指數(shù)譜的基礎上,可以得到Lyapunov維數(shù).Lyapunov維數(shù)的定義為

其中j是滿足的最大整數(shù).Lyapunov維數(shù)用來衡量混沌吸引子的幾何標度性質或復雜性.在系統(tǒng)(1)中,在誤差允許的范圍內(nèi),LE1>0,LE2≈0,LE3<0且|LE1|<|LE3|,所以有j=2且代入(9)式,可得DL=2.1156,混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)大于2且小于3.吸引子的分數(shù)維性質,不僅意味著該系統(tǒng)具有非周期軌道,而且說明了不同條件下的軌跡處于分離狀態(tài).

2.2.5 功率譜

圖3為系統(tǒng)(1)的功率譜圖,從圖中可以看出,功率譜是連續(xù)的,且伴隨有尖峰出現(xiàn),可判定運動處于混沌狀態(tài).

圖3 系統(tǒng)(1)的頻譜圖Fig.3.Power spectrum of system(1).

3 新憶阻混沌系統(tǒng)在分形中的應用

本節(jié)將憶阻混沌系統(tǒng)與分形相結合,得到能產(chǎn)生多渦卷的憶阻混沌系統(tǒng).數(shù)值仿真結果表明,該方法是可行的和有效的.與其他產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法相比,通過分形過程產(chǎn)生的多渦卷混沌吸引子的方法,能較好地調整混沌系統(tǒng)的渦卷數(shù).

3.1 通過Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

在Julia分形式中,Zn=xn+iyn,Zn+1=xn+1+iyn+1和Z0=x0+iy0都是復數(shù),Z0是復常數(shù).這里先不討論Z0,本文將在3.5節(jié)統(tǒng)一討論復常數(shù)Z0.則有

在三維坐標系(u,v,w)的u和v之間加入分形過程,即在映射(x,y,z)→(x2?y2,2xy,z)中,令u=x2?y2,v=2xy,w=z,則有

得到關于x,y,z的系統(tǒng)方程為

將方程(1)代入(12)式中,有

得到產(chǎn)生多渦卷混沌系統(tǒng)方程為

圖4為系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000和e=12時系統(tǒng)(14)的相圖.

圖4 系統(tǒng)(14)的混沌吸引子 (a)三維圖;(b)x-y平面;(c)x-z平面;(d)y-z平面Fig.4.Attractor of system(14):(a)Three-dimensional view;(b)x-y plane;(c)x-z plane;(d)y-z plane.

3.2 帶系數(shù)的變形Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

現(xiàn)在,考慮給Julia分形表達式的項乘以一個系數(shù)k,得到一個變形的Julia分形:

此時,映射矩陣為

采用與3.1節(jié)相同的方法,得到新的混沌系統(tǒng)方程:

圖5為系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000和e=12,k取不同值時,系統(tǒng)(17)在x-y平面的相圖.此時,k均取正實數(shù).從圖5可以看出,k的不同取值只會改變混沌吸引子的尺寸大小,不會改變吸引子的形狀,且k越大時,系統(tǒng)(17)相圖的尺寸越小,吸引子越聚合.

3.3 高階Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

在Julia分形修改為得到廣義高階Julia分形

考慮m>3,則3.1節(jié)中的映射變?yōu)?x,y,z)→(Re[(x+iy)m],Im[(x+iy)m],z),且有u=Re[(x+iy)m],v=Im[(x+iy)m],w=z,故產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的系統(tǒng)方程為

這里分別為

圖5 k取不同值時系統(tǒng)(17)在x-y平面的相圖 (a)k=2;(b)k=10;(c)k=100;(d)k=1000Fig.5.Chaotic attractors at x-y plane of system(17)at the different parameter k:(a)k=2;(b)k=10;(c)k=100;(d)k=1000.

圖6 多渦卷混沌系統(tǒng)的吸引子 (a)m=3時,6渦卷混沌系統(tǒng);(b)m=4時,8渦卷混沌系統(tǒng);(c)m=5時,10渦卷混沌系統(tǒng);(d)m=10時,20渦卷混沌系統(tǒng)Fig.6.Attractors of multi-scroll chaotic system:(a)m=3,a 6-scroll chaotic system;(b)m=4,a 8-scroll chaotic system;(c)m=5,a 10-scroll chaotic system;(d)m=10,a 20-scroll chaotic system.

u和v的完整表達式為大量的仿真結果表明,當m取大于1的正整數(shù)時,都能得到多渦卷混沌系統(tǒng).圖6為系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000和e=12時,m分別取3,4,5,10時,(19)式所表示的混沌系統(tǒng)在x-y平面的吸引子圖.

3.4 多項式Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

在Julia分形的基礎上,把分形迭代式更改為多項式形式:

其中運用相同的方法,將此迭代關系式應用于系統(tǒng)(1)中.為了更好地研究項在迭代式中的作用,進而影響通過(24)式所產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng),簡單起見,取pj=1/L,即p1=p2=···pL=1/L.與前面3.1節(jié)、3.2節(jié)和3.3節(jié)的討論類似,先不考慮Z0對系統(tǒng)的影響,即令Z0=0.關于Z0對系統(tǒng)的影響,統(tǒng)一在3.5節(jié)中討論.下面對L取不同值時的新混沌系統(tǒng)進行仿真,圖7為L取不同值時的多渦卷混沌吸引子在x-y平面相圖.

仔細觀察上面的迭代(24)式,不難發(fā)現(xiàn),pj的取值也對產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)有較大影響.當p1=1時,對于2jL,都有pj=0,通過分形產(chǎn)生的混沌系統(tǒng)即為原始系統(tǒng)(1).當p2=1時,對于1jL且j2都有pj=0,通過分形產(chǎn)生的系統(tǒng)就是3.1節(jié)中的系統(tǒng)(14).當3kL,k∈N+,pk=1時,對于1jL且jk,都有pj=0,這就和3.3節(jié)系統(tǒng)(19)相同(此時,3.3節(jié)中的參數(shù)m就相當于這里的參數(shù)k).

3.5 復常數(shù)Z0對系統(tǒng)的影響

前文主要討論了Julia分形中指數(shù)項的作用,讓Z0=0.本節(jié)著重討論復常數(shù)Z0取不同值時,對混沌系統(tǒng)的影響.考慮Z0=x0+iy00,將它代入u和v的表達式中,更新u和v的值.

對于3.1節(jié)的u和v,有

對于3.2節(jié)的u和v,有

在3.3節(jié)中,就有

同理,對于3.4節(jié)中的u和v,有

這里,同樣取pj=1/L,j=1,2,···,L.圖8反映了Z0取不同值時,對混沌系統(tǒng)的影響.

圖7 L取不同值時的混沌吸引子 (a)L=2;(b)L=3Fig.7.The chaotic attractors at x-y plane with different L:(a)L=2;(b)L=3.

圖8 Z0取不同值時,系統(tǒng)在x-y平面的相圖 (a)(25)式,Z0=1+0.5i;(b)(26)式,k=2,Z0=3?0.1i;(c)(27)式,m=3,Z0=?3.5?1.2i;(d)(28)式,L=3,p=1/3,Z0=?1+0.5iFig.8.Chaotic attractors at x-y plane with different Z0:(a)Eq.(25),Z0=?1+0.5i;(b)Eq.(26),k=2 and Z0=3?0.1i;(c)Eq.(27),m=3 and Z0=?3.5?1.2i;(d)Eq.(28),L=3,p=1/3,Z0=?1+0.5i.

4 結 論

憶阻器作為一種體積小、功耗低的新型元件,在混沌電路中有著較高的應用價值.本文新構建了一個基于磁控二氧化鈦憶阻器的三維憶阻混沌系統(tǒng),通過分析系統(tǒng)的對稱性、耗散性、平衡點穩(wěn)定性、功率譜、Lyapunov指數(shù)和分數(shù)維,對系統(tǒng)動力學特性進行了分析,從而驗證了系統(tǒng)的混沌特性.此外,本文還嘗試著將經(jīng)典的Julia分形過程及其變形應用于混沌系統(tǒng)中,產(chǎn)生了豐富的多渦卷混沌吸引子,不僅彌補了通過功能函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的不足,而且其渦卷數(shù)能隨著某些參數(shù)的變化而變化.改變Julia分形及其變形中復常數(shù)的值,能得到不同形狀的混沌吸引子.這也為進一步研究分形與混沌系統(tǒng)的結合提供了參考.

參考文獻

[1]Chua L O 1971IEEE Trans.Circ.Theor.18 507

[2]Strukov D B,Snider G S,Stewart D R,Williams R S 2008Nature453 80

[3]Zhou J,Huang D 2012Chin.Phys.B21 048401

[4]Wang L D,Li H F,Duan S K,Huang T W,Wang H M 2016Neurccomputing171 23

[5]Min G Q,Wang L D,Duan S K 2015Acta Phys.Sin.64 210507(in Chinese)[閔國旗,王麗丹,段書凱 2015物理學報64 210507]

[6]Mandelbrot B B 1967Science156 636

[7]Mandelbrot B B 1975Fractals:Form,Chance and Dimension(San Francisco:WH Freeman and Company)pp35–37

[8]Li H Q,Wang F Q 1999Fractal Theory and Its Application in Molecular Science(Beijing:Science Press)p33(in Chinese)[李后強,汪富泉1999分形理論及其在分子科學中的應用(北京:科學出版社)第33頁]

[9]Lorenz E N 1963J.Atmos.Sci.20 130

[10]Chua L O,Komuro M,Matsumoto T 1986IEEE Trans.Circ.Syst.33 1072

[11]Chen G R 1999Int.J.Bifurcat.Chaos9 1465

[12]Wang L D,Drakakis E,Duan S K,He P F,Liao X F 2012Int.J.Bifurcat.Chaos22 1250205

[13]Muthuswamy B,Kokate P P 2009IETE Tech.Rev.26 417

[14]Zhou Z W,Su Y L,Wang W D,Yan Y 2017J.Petrol.Explor.Prod.Technol.7 487

[15]Bouallegue K 2015Int.J.Bifurcat.Chaos25 1530002

[16]Chua L O,Roska T 1993IEEE Trans.Circ.Syst.I40 147

[17]Yalcin M,Suykens J,Vandewalle J,Ozoguz S 2002Int.J.Bifurcat.Chaos12 23

[18]Tang W K S,Zhong G Q,Chen G,Man K F 2001IEEE Trans.Circ.Syst.I48 1369

[19]Zarei A 2015Nonlinear Dyn.81 585

[20]More C,Vlad R,Chauveau E 2010Nonlinear Dyn.59 45

[21]Huan S M,Li Q D,Yang X S 2012Nonlinear Dyn.69 1915

[22]Lü J H,Yu X H,Chen G R 2003IEEE Trans.Circ.Syst.I50 198

[23]Yalcin M,Suykens J,van de Walle J 2005Chaos Modeling and Control Systems Design(Singapore:World Scienti fic)p59

[24]Lü J H,Chen G R,Yu X H,Leung H 2004IEEE Trans.Circ.Syst.I51 2476

[25]Lü J H,Yu S M,Leung H,Chen G R 2006IEEE Trans.Circ.Syst.I53 149