吉日木圖 敖登 薛康

(內(nèi)蒙古醫(yī)科大學計算機信息學院,呼和浩特 010110)

1 引 言

夸克間的相互作用是復雜的,表示這種相互作用的理論模型也比較多見[1?5],到底何種模型能夠準確無誤地表達這種相互作用,至今尚未定論.這其中比較流行且常用的是非相對論夸克勢模型,如常見的Breit勢函數(shù)[1,2,6?8].這種夸克勢模型認為強子內(nèi)夸克的運動是非相對論的,因此它(夸克的運動)可以用薛定諤方程很好地描述.雖然這種模型對輕夸克的描述不盡合理,但它對強子束縛態(tài)和散射方面的計算都取得了較大的成功[1,6?17],因此人們一直用非相對論性夸克勢模型來描述包括輕夸克在內(nèi)的夸克之間的相互作用[5,10,16?21],并且與其他方法相比,這種模型在束縛態(tài)的計算方面顯現(xiàn)得更加優(yōu)越[22].這些實事和成功促使人們對它進行更為廣泛和深入的研究,使之變得更加完善精確,從而構造出新的勢函數(shù)[10,16?21].

由于在微觀的強相互作用中,勢函數(shù)的厄米性和非定域性(含兩變量坐標和動量)是一個不可忽視的重要特征.因此構造新勢函數(shù)不能簡單隨意刪改現(xiàn)有勢函數(shù)中的某幾項[10?15,18]來實現(xiàn),不恰當?shù)膭h改就會破壞勢函數(shù)應有的完整性、厄米性和非定域性.

眾所周知Breit勢中包含r?3的奇異項[2,20],要構造一個有效穩(wěn)定的勢函數(shù),其出發(fā)點應該是要消除Breit勢的奇異性.文獻[10,15,17—19]直接在坐標空間中通過簡單的刪改或替代方法不同程度地消除Breit勢中的奇異因子來實現(xiàn)構造勢函數(shù).

在微觀領域中原子尺寸范圍內(nèi)極小程度地提高精度都很艱難.文獻[19]中,ηc的實驗質(zhì)量和理論質(zhì)量分別是2.979和3.025 GeV,J/ψ的實驗質(zhì)量和理論質(zhì)量分別是3.097和3.052 GeV,相應的屏蔽質(zhì)量μ值為0.894 GeV,這也是π-ρ劈裂時的μ值.在宏觀領域,此種情況可認為理論和實驗值嚴格相等,但在微觀領域,想縮小這微小的差距并非易事.首先保證構造勢有效,然后是合理有效地構造屏蔽質(zhì)量μ的解析式.若構造勢有效,但數(shù)值計算技能不恰當?shù)那闆r下,也就無法證明構造勢有效.因此每一環(huán)節(jié)都非常重要且艱難,且缺一不可.對于文獻[19],經(jīng)過一系列的計算發(fā)現(xiàn),幾個重要夸克偶素ηc,J/ψ,χc0,χc1,χc2之間無法質(zhì)量劈裂.由此斷定文獻[19]構造的勢函數(shù)(16)式的有效度并不高.

在先前研究基礎上如何重新組合、怎樣有效合理搭配各項,是構造有效勢函數(shù)的關鍵,也是難點,還需保證勢函數(shù)的整體形式從前沒有出現(xiàn)過.文獻[19]中(16)式不能計算劈裂除了(16)式的各項選取和搭配并非合理外,還有一個原因是文獻[19]中(3)式的自旋-自旋耦合項(σi·σj)的系數(shù)是2/3(勢函數(shù)直接取自文獻[2]),而在本文中這個系數(shù)是3/3(勢函數(shù)是從動量空間得到),這個系數(shù)的不同對計算劈裂影響較大.

鑒于上述,本文是在文獻[19]的基礎上重新合理選取并有效搭配各項而構造形成勢函數(shù).通過一系列的分析討論可知,并非每一種構造方法都可以得到有效勢函數(shù).

本文對完整的坐標空間中的Breit勢的各項進行逐項替代處理,這樣重新得到的勢函數(shù)在坐標空間中不再含r?3的奇異項.計算結果表明,用本文的替代方案可以消除Breit勢的奇異性,得到比以往更加穩(wěn)定和高精度的介子質(zhì)量譜,從而構造出一個有效的夸克勢模型(函數(shù)).

2 坐標空間中的Breit勢

用傅里葉變換把動量空間中的Breit勢函數(shù)[1,6?8,20,21]變換到坐標空間中,得到的勢函數(shù)與直接在坐標空間中給出的Breit勢函數(shù)[2]有所出入,所以我們對Breit勢的改進還是從動量空間開始.把動量空間中的Breit勢函數(shù)稍加整理(合并同類項)得到

(1)式中各項的具體表達式如下:

其中,是散射道色矩陣[10];αs是量子色動力學耦合常數(shù);mi和mj是夸克i和夸克j的組分質(zhì)量;σi是夸克i的Pauli矩陣;最后一項V7(p,q)是常數(shù)項勢,用以求解薛定諤方程時調(diào)整介子質(zhì)量而增加的項[10,20];p和q的意義與文獻[20]相同.

然后用傅里葉變換公式

把勢函數(shù)(1)的每一項變換到坐標空間中,再加到一起,就得到坐標空間中的Breit勢函數(shù):

(3)式中各項的具體表達式如下:

其中,L=r×p是介子軌道角動量算符,是張量力算符.

3 在坐標空間中構造新的Breit勢

根據(jù)文獻[23],在坐標空間中勢函數(shù)的某一項關于r的漸近行為如果是r?3,那么該項就是奇異項.由文獻[20]可知,δ(r)函數(shù)及動量p的漸近行為是δ(r)～r?3和p～r?1.由此勢函數(shù)(3)式各項的漸近行為如下:V1(r)～r?1,V2(r)～r?3,V3(r)～r?3,V4(r)～r?3,V5(r)～r?3,V6(r)～r?3,所以V2(r)至V6(r)項都是奇異項,需要修改重新構造.

為了兼顧計算精度和穩(wěn)定度,并結合文獻[19]的方法,除了勢函數(shù)(3)式的第一項庫侖勢V1(r)和第七項常數(shù)項勢V7(r)外,對其他的各項都得進行如下的不同的逐項替代.把Vi(r)(i=2,3,4,5,6)進行替代后得到的項記作則新構造的勢函數(shù)各項的具體表達式如下:

由于V2(r)～δ(r),該式表示介子內(nèi)兩夸克只有當距離很近(r→0)時才有作用,并且無限大(絕對值),否則就無作用.這顯然不符合物理量隨距離的增大而逐漸衰減的普遍原理,需要修改.已知

并結合文獻[5,10,17,19]的方法及數(shù)值計算精度,把勢函數(shù)(3)式中的δ(r)函數(shù)用如下的變換來替代:

得到坐標空間中新的V2(r),

由(7)式可直接看出r=0已不再是奇異點,從而消除了奇異.第(7)式中出現(xiàn)的參量μ是可調(diào)參量,也稱屏蔽質(zhì)量.根據(jù)文獻[20,21,24],μ并非一個簡單的常數(shù),而應該是與夸克質(zhì)量mi,mj有關,這將在后面詳細討論.

由(7)式可知,當屏蔽質(zhì)量μ>0時隨距離的增大而逐漸衰減,最后變成零.r=0時作用最大μ3/(8π)(絕對值),并且屏蔽質(zhì)量μ越大此作用越大.同理,在后面討論的V4(r)的替代與V2(r)相同,相關的討論結果也相同.

把勢函數(shù)(3)式中的第三項稍加改寫為

(對重復腳標k求和),很容易看到,如果能消除因子1/r的奇異性,那么第三項V3(r)為非奇異項.

勢函數(shù)(3)的第三項V3(r)有奇異點,當r=0時發(fā)散.所以修改的出發(fā)點應該是當r=0時使之收斂.有如下的漸近行為:

因此做如下替代:

這樣無論r→0還是r→∞,變換(10)式能消除奇異點.考慮到勢函數(shù)的厄米性,把勢函數(shù)(3)式的第三項V3(r)重新構造如下:

重新構造出的是非奇異項.

綜上可知,當屏蔽質(zhì)量μ=0時對任意的r直接有1/r→0,當屏蔽質(zhì)量μ<0時1/r?e?μr/r直接發(fā)散,因此必須有μ>0,這已表明構造兩種不同方法之下所引進的屏蔽質(zhì)量μ(認為在各個環(huán)節(jié)中μ是同一的)的性質(zhì)很自然地統(tǒng)一到一起,也在一定程度上證實了所構造的的正確性.

第四項V4(r)的改進方法同第二項V2(r)的改進方法,用到變換(6)式,得到

勢函數(shù)(3)式的第五、六項V5(r),V6(r)也是奇異項.第五項V5(r)的改進方法要結合第三項V3(r)的改進方法.由(10)式得到如下替代公式:

而有

因為要求勢函數(shù)只含e?μr的一次冪,所以把(14)式中的因子3(1?e?μr)+e?2μr進行級數(shù)展開,并忽略μr的二次冪及以上的高階項,得到近似公式:

把(15)式代入(13)式,得到替代公式:

將V5(r)和V6(r)中的1/r3用(16)式替代,得到新的第五項和第六項,

由(17)和(18)式可知,V5(r)與V6(r)變換前后關于r的空間部分相同的性質(zhì)不變,因此(17),(18)式是合理的.

下面分析(17)或(18)式是否消除了奇異.因為其中已代入e?μr的級數(shù)展開式,由此可知表明或是非奇異項.

把(4),(7),(11),(12),(17),(18)式進行相加,得到一個重新組合的非奇異的、有效的夸克勢模型在坐標空間中的形式:

禁閉勢采用文獻[10,20]線性禁閉勢,

將(19)和(20)式相加得到總勢函數(shù)

4 新構造勢的矩陣元

計算矩陣元時直接采用文獻[21]給出的一般公式第(26)和(27)式,并只給出l=0,1和l′=l時的矩陣元,其中出現(xiàn)的參量wn,Al的定義與文獻[21]中的第(31)和(33)式相同,可通過計算得到勢函數(shù)(19)式的各項矩陣元,其中第一項庫侖勢矩陣元第七項常數(shù)項勢矩陣元和禁閉勢矩陣元分別由文獻[21]中的第(34),(40)和(41)式給出,在這里不一一列出.

第三項是軌道-軌道耦合項:

第五項是自旋-軌道耦合項:

第六項是張量力項:

(23)式中出現(xiàn)的矩陣元(V3)mn,(25)和(26)式中出現(xiàn)的空間積分分別由文獻[21]中的第(42)和(44)式給出,在這里不一一列出.至此把勢函數(shù)(19)的每一項矩陣元一一計算完畢.

5 屏蔽質(zhì)量μ與夸克質(zhì)量mi,mj有關

屏蔽質(zhì)量μ到底與哪些量有關,可從勢函數(shù)(19)或(21)式所含的可調(diào)參量出發(fā)研究,包括弦張力系數(shù)b,常數(shù)項勢V0,五種夸克質(zhì)量mu(mu=md),ms,mc,mb以及屏蔽質(zhì)量μ.如果問題中μ并非常數(shù)(也可以是各個介子μ值相同的常數(shù)),是變量(各個介子μ值不同)的話,它不可能與b,V0有關,因為b,V0并非勢函數(shù)常含量,所以只能說μ應該與夸克質(zhì)量mi,mj有關,這是最早的思路[20,24].

夸克質(zhì)量有兩個mi,mj,即兩個變量,此時μ是關于mi,mj的二元函數(shù),此時使用極不方便.因此可將mi,mj先進行簡單組合構造一個新自變量,然后用這個新自變量再表達μ,可實現(xiàn)μ是一元函數(shù)的構想,這些都是當時的思路.

組合這個新自變量時需滿足如下要求:新變量對mi,mj的交換是對稱的.常用的新自變量有折合質(zhì)量μr=mimj/(mi+mj),平均質(zhì)量μa=(mi+mj)/2,應該還有其他形式的新自變量,這里不予以給出.

文獻[5,24]中取μ與折合質(zhì)量μr成正比的特簡單的形式,即μ=cμr.如果計算數(shù)目龐大的一組介子質(zhì)量,那么此關系式應該遠不是這么簡單的形式,并且自變量不一定是μr.所以文獻[5,24]中提到的勢函數(shù)所附帶的屏蔽質(zhì)量μ的正確形式是另外一種,只有計算數(shù)目龐大的一組介子質(zhì)量時才能找到,僅憑物理意義很難找到關系式.

本課題組相關工作[20,21]中都取μ是折合質(zhì)量μr的函數(shù),并且形式遠不是成正比這么簡單,是通過計算來確定的.不同的勢函數(shù)所需要的μ不同,不但函數(shù)形式不同,而且有可能自變量也不同.對于本文計算,首選自變量為折合質(zhì)量μr,但無論怎么計算,數(shù)值計算精度都很差,因此改用平均質(zhì)量μa作為自變量構造屏蔽質(zhì)量μ,計算精度比以往更高,相關數(shù)據(jù)列于表1.

構造屏蔽質(zhì)量μ的有效表達式是比構造勢函數(shù)還要艱難且難度極大的問題,根據(jù)以往的推導和數(shù)值計算,對于一般的勢函數(shù),不可能簡單地成正比關系.除了勢函數(shù)有效和特定的μ值外,還需要較高的數(shù)學技能和數(shù)值計算能力,這也是個新問題.

需要說明的是,構造屏蔽質(zhì)量μ的有效表達式時注重數(shù)學技能和數(shù)值計算,兼顧物理意義.如果單憑物理意義只會找到成正比這樣簡單的關系,無法找到復雜的關系式.

6 構造屏蔽質(zhì)量μ的解析式

求解文獻[21]給出的薛定諤方程(29)式之前還需構造(19)式中的屏蔽質(zhì)量μ的表達式.根據(jù)以往的分析計算[20,21],當μ值小時,ηc-J/ψ等重介子不劈裂,而當μ值大時π-ρ(與重介子一起計算,計算結果未列入表1中,下同)等一系列輕介子都發(fā)散.因此要想使π-ρ,ηc-J/ψ和ηb-Υ(1s)等重要介子之間質(zhì)量劈裂,屏蔽質(zhì)量μ并非一個簡單的常數(shù),而應該是與夸克質(zhì)量mi,mj有關的變量,勢函數(shù)(19)式也不例外.

由上面的分析討論,不同的勢函數(shù)所需要的μ不同[20,21,24],對于(19)式構造μ是比構造勢函數(shù)還要艱難且難度極大的問題.再好的勢函數(shù)如果未能找到一個合適的μ與之相互匹配,從而就不能算出更高精度的質(zhì)量譜,那么也就無法證實該勢函數(shù)的有效性.因此能否找到一個合理、有效的μ的解析式為關鍵所在,它直接關系到一個勢函數(shù)的有效性.

對于Breit勢函數(shù),介子之間要質(zhì)量劈裂或要達到更高精度的質(zhì)量時,各個介子所需的μ值不同,結構相同的介子μ值相同.其中π-ρ和ηc-J/ψ劈裂時其μ值為確定值,其他介子的μ值在一定范圍內(nèi)變化.

在μ為常數(shù)的情況下計算得到,π-ρ和ηc-J/ψ等精確劈裂時所需的μ值分別為0.932和3.677 GeV.除此之外,對于(19)式,幾個D介子的μ值有一定的限制,在5.050 GeV左右波動.根據(jù)這幾個特定值構造μ的表達式,并經(jīng)過一系列大量的前期化簡給出以夸克平均質(zhì)量μa=(mi+mj)/2(mi,mj為同一個介子中的兩個夸克質(zhì)量)作為變量的μ的形式為

表1 本文計算結果與實驗值的比較Table 1.Results of meson masses.

雖然由(27)式能夠精確算出上述重要介子之間質(zhì)量劈裂時所需的μ值,并且形式相對較簡單,但不足的是用它無法控制幾個B介子的μ值上漲到4.700 GeV左右,從而其質(zhì)量精度不高,如表1所列.為了控制幾個B介子的μ值,對(27)式推導步驟進行大量修正,其主要依據(jù)是幾個B介子的μ值必須降低,同時保證維持其他介子現(xiàn)有的μ值.這樣經(jīng)過一系列的調(diào)整再仿照(27)式前期化簡步驟進行化簡之后得到

用(28)式計算得到幾個B介子的μ值已經(jīng)直接降到0.550 GeV左右,相應的質(zhì)量精度也都有所提高,如表1所列.(27)式中的展開系數(shù)c?1,c0,c1和(28)式中的展開系數(shù)c?3,c?2,c?1,c0,c1是不同的,它們并非單一的可調(diào)參量,僅憑運算程序無法確定,一定要結合(27)和(28)式的前期化簡過程和數(shù)值計算程序才能確定下來,并必須精確到小數(shù)點后五位,具體數(shù)值已列在表1的表注.

7 結 語

最后解文獻[21]中給出的介子束縛態(tài)薛定諤方程(29)式Ha=EBa,通過運算程序先調(diào)節(jié)確定其中的可調(diào)參量弦張力系數(shù)b,常數(shù)項勢V0,五種夸克質(zhì)量mu(mu=md),ms,mc,mb的最佳值,然后分別用屏蔽質(zhì)量μ的表達式(27),(28)式使π-ρ,ηc-J/ψ和ηb-Υ(1s)等重要介子之間進行質(zhì)量劈裂,得到盡可能逼近實驗值的介子質(zhì)量數(shù)值解,從而檢驗勢函數(shù)(19)式的有效性,同時調(diào)節(jié)出夸克質(zhì)量等可調(diào)參量的更精確值.

直接計算驗證,對于勢函數(shù)(19)式,耦合常數(shù)αs和波函數(shù)中的寬度系數(shù)β仍采用文獻[21]中使用的αs和β.

只計算少數(shù)介子或重介子或結構相同的夸克偶素[3,4]質(zhì)量,遠不足以證明勢函數(shù)的有效性,因為此時各個參量的任意調(diào)節(jié)自由度很大,當然較容易實現(xiàn)劈裂或提高計算精度.因此要計算的一組數(shù)目較多的介子結構必須涉及五種夸克u,d,s,c,b,并含夸克偶素,此時的計算才真正考驗新構造勢(函數(shù))的有效性.

為便于對比,表1列出了一些計算結果,其中,第1列數(shù)據(jù)Mexp是取自文獻[10]的實驗質(zhì)量,第2列M[20]和第3列M[21]分別是文獻[20,21]計算結果.第4列Mth1和第5列Mth2是本文在同一勢函數(shù)(19)式情況下分別用(27)和(28)式計算的結果,第6列μth2是質(zhì)量Mth2相應的μ值.從表1可容易看到,只有第5列Mth2的計算結果是更精確的,重要介子之間實現(xiàn)了精確劈裂,這恰是本文之精髓.

感謝內(nèi)蒙古民族大學物理與電子信息學院特木爾巴根教授的有益探討.

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