李淑靜 張娜娜 閆紅梅 徐忠孝 王海

1)(山西大學光電研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2)(山西大學,極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

1 引 言

壓縮態(tài)光場是一類重要的連續(xù)變量非經典光源,在精密測量[1?3]、量子信息處理[4,5]方面有廣泛的應用.量子態(tài)存儲是量子中繼、遠距離量子通信[6,7]的基礎,而堿金屬原子由于具有長的基態(tài)相干時間,是理想的量子態(tài)存儲介質[8?12].隨著原子介質中量子存儲技術的快速發(fā)展,產生與堿金屬原子共振的壓縮態(tài)光場成為近年來量子信息領域的一個研究熱點.

產生壓縮態(tài)的方法主要有光學參量振蕩[13?17],原子系綜中的偏振自旋轉[18?21]以及四波混頻[22?24],其中光學參量振蕩是最成熟和有效的方法.近年來,對于堿金屬原子吸收波段壓縮態(tài)光場產生方面的研究進展非?？?2006年,Tanimura等[25]在795 nm波段(銣原子D1線)產生了?2.75 dB的真空壓縮;2007年,Takeno等[16]在860 nm波段(接近于銫原子D2線852 nm)得到了?9 dB的真空壓縮;2007年,Hétet等[26]將795 nm波段的真空壓縮度提高到?5.2 dB;2009年,Burks等[17]在852 nm波段(銫原子D2線)50 kHz邊帶處獲得?3 dB的壓縮;2016年,Han等[15]將795 nm波段的真空壓縮度進一步提高到?5.6 dB.在上述報道中,大多只關注光場的壓縮度,而沒有對其進行態(tài)重構.所謂態(tài)重構就是利用量子層析術對量子態(tài)特征進行刻畫,從中得到密度矩陣和相空間的Wigner函數(shù),重現(xiàn)該量子態(tài)的全部信息.傳統(tǒng)的用逆Randon變換方法進行量子層析[27?29],這種方法首先需要通過光場不同相位角下的噪聲分布計算出邊緣分布,然后才能得到相空間的Wigner準概率分布函數(shù).近年來發(fā)展起來的極大似然估計法[30,31]在量子態(tài)層析過程中不僅可以繞開邊緣分布,而且預先對密度矩陣進行了正定、厄米、歸一化的限制,重構結果更符合物理實際.

本文采用周期極化磷酸氧鈦(periodically poled KTiOPO4,PPKTP)晶體作為非線性介質,通過光學參量振蕩過程產生了795 nm真空壓縮光場.通過一束本振光構成平衡零拍測量系統(tǒng)對產生的壓縮光場進行探測,在抽運功率45 mW時獲得?3 dB的壓縮和5.8 dB的反壓縮.在示波器上對平衡零拍測量系統(tǒng)的時域信號進行采集,得到壓縮態(tài)光場不同相位角下的噪聲分布;然后利用極大似然估計法對壓縮態(tài)光場進行重構,得到了密度矩陣及光子數(shù)分布,通過密度矩陣計算了相空間的Wigner函數(shù).理論上我們計算了壓縮真空態(tài)的光子數(shù)分布和Wigner函數(shù),并對理論和實驗重構結果進行了分析和比較.

2 795 nm真空壓縮態(tài)的產生

795 nm真空壓縮態(tài)光場產生的實驗裝置如圖1所示.連續(xù)鈦寶石激光器(M Square Lasers,SolsTis)輸出的光波長為795 nm,對應于銣原子的吸收線.電光調制器對光場進行相位調制,用于對倍頻腔和光學參量振蕩腔(optical parametric oscillator,OPO)進行邊帶鎖定[32].鈦寶石激光器輸出的大部分光進入倍頻腔,對795 nm的光進行倍頻,產生397.5 nm的紫光,作為OPO的抽運光.倍頻腔為四鏡環(huán)形腔,由兩個凹面鏡和兩個平面鏡組成,其中平面鏡PT1的透過率為10%@795 nm,作為倍頻腔的輸入鏡,其余腔鏡均對795 nm的紅外高反.兩個凹面鏡的曲率半徑均為100 mm,晶體處的腰斑半徑為20μm.選用一塊10 mm長的I類PPKTP晶體用于倍頻產生,注入200 mW的795 nm紅外光可產生60 mW的397.5 nm紫光.OPO腔也是四鏡環(huán)形腔,包含兩個凹面鏡和兩個平面鏡.平面鏡PT2的透過率是10%@795 nm,用作OPO腔的輸出鏡,其余腔鏡均對795 nm的光高反.OPO腔往返腔長480 mm,選用一塊10 mm長的I類PPKTP晶體進行參量下轉換.凹面鏡的曲率半徑是50 mm,晶體處的腰斑半徑是10μm,估算OPO腔的閾值約為160 mW.

從鈦寶石激光器輸出的一部分光通過單模光纖后作為OPO腔的探針光、鎖定光以及平衡零拍探測(balanced homodyne detector,BHD)的本振光.探針光從高反平面鏡M1注入OPO腔,用來測量OPO腔的經典參量增益,探針光從OPO腔輸出后進入探測器PD1進行探測.鎖定光也從平面鏡M1注入OPO腔,鎖定光和探針光在腔內反向傳播,鎖定光從OPO腔輸出后用探測器PD2探測,從測量信號提取誤差信號對OPO腔鎖定.本振光經過模清潔器后與OPO腔輸出光場在50/50分束器上干涉,干涉信號進入一對光電探測器,構成BHD系統(tǒng).

探測器的光電管選用Hamamatsu Photonics公司生產的S3883,量子效率為94%.兩個探測器的信號之差作為BHD的輸出,將產生的交流信號輸入頻譜分析儀對OPO輸出光場的噪聲進行測量.在抽運功率45 mW時,掃描本振光相位,測量了產生壓縮光場的噪聲曲線(圖2曲線a),獲得?3 dB的壓縮和5.8 dB的反壓縮,圖2曲線b為散粒噪聲基準,測量頻率為2 MHz.

OPO輸出光場的噪聲方差可以表示為[25]

圖1 實驗裝置圖(Ti:sapphire,鈦寶石激光器;EOM,電光調制器;SHG,二次諧波產生;OPO,光學參量振蕩腔;MC,模清潔器;F,可翻轉反射鏡;HBS,50:50分束器;PD1,PD2,光電探測器;SMF,單模光纖;BHD,平衡零拍探測)Fig.1.Experimental setup(Ti:sapphire,Ti:sapphire laser;EOM,electro-optic modulator;SHG,second harmonic generation;OPO,optical parametric oscillator;MC,mode-cleaner cavity;F, flipper mirror;HBS,50:50 beam splitter;PD1,PD2,photo detectors;SMF,single-mode fiber;BHD,balanced homodyne detector).

圖2 (a)掃描本振光相位時,壓縮態(tài)光場的噪聲曲線;(b)散粒噪聲基準;譜儀的測量頻率2 MHz,分辨帶寬100 kHz,視頻帶寬30 HzFig.2.(a)Measured quantum noise levels of squeezed light when the local oscillator beam phase is scanned;(b)shotnoise level.The settings of the spectrum analyzer are zerospan mode at 2 MHz,resolution bandwidth of 100 kHz,and video bandwidth of 30 Hz.

式中,?為壓縮光和本振光之間的相對相位;β=η?2ζ為總的探測效率,η是BHD的量子效率,?是BHD系統(tǒng)中信號光和本振光的干涉對比度,ζ是光路傳輸效率,實驗中η=0.94,?=0.97,ζ=0.99,因此β=0.876;υ=T/(T+L)是OPO腔的逃逸效率,其中T是輸出耦合鏡的透過率,L是內腔損耗,實驗中L=1.5%,υ=0.87;為歸一化的抽運參數(shù),Ppump為抽運功率,Pth為振蕩閾值,G為參量增益,實驗中45 mW抽運功率下,增益為4,對應的抽運參數(shù)κ=0.5;?=2πf/γ為失諧參數(shù),f是測量頻率,γ=c(T+L)/d是腔的衰減率,c是光速,d是往返腔長,實驗中失諧參數(shù)?=0.2.利用(1)式,計算得到光場的壓縮度和反壓縮度分別為?4.34 dB和6.73 dB.壓縮度和反壓縮度的測量結果均小于理論計算值,原因主要是當397.5 nm紫光抽運OPO腔時,由于“灰跡”效應導致PPKTP晶體對紅外的吸收增加[33],使OPO內腔損耗增加,逃逸效率降低.與文獻[15,26]相比,在本文實驗中內腔損耗(無抽運光時)偏大,主要因為PPKTP晶體通光面鍍膜質量不高,通過改善晶體鍍膜質量,壓縮度可進一步提高.

3 利用極大似然估計重構量子態(tài)

極大似然估計是近年來發(fā)展起來的一種量子層析術,首先對光場做大量的投影測量,得到各投影基下的概率分布;然后建立似然函數(shù),利用重復迭代計算出最可能的密度矩陣使測量結果出現(xiàn)的概率最大.與傳統(tǒng)的逆拉登變換方法相比,極大似然估計可以更好地保持量子態(tài)的物理特性,而且在重構過程中可以繞開正交分量的邊緣分布[30,31].我們利用極大似然估計重構了壓縮態(tài)光場的密度矩陣,得到了光子數(shù)分布,并通過密度矩陣計算了相空間的Wigner函數(shù).實驗中,將BHD輸出信號輸入數(shù)字存儲示波器,掃描本振光的相位,在時域上得到壓縮光場不同相位角下的噪聲分布.提取2 MHz頻率處的信號進行處理,提取信號的原理圖如圖3所示.將平衡零拍信號與2 MHz射頻進行混頻,通過低通濾波,將目標信號搬移到低頻.然后利用低噪聲放大器對信號進行放大,在示波器上進行觀察.示波器上測量到的時域噪聲信號如圖4所示,兩條紅虛線之間的數(shù)據(jù)對應的相位在0—π之間,利用這些數(shù)據(jù)重構密度矩陣.

圖3 提取2 MHz處平衡零拍探測信號示意圖(Mixer,混頻器;LF,低通濾波器;Ampli fier,低噪聲放大器;Oscilloscope,數(shù)字存儲示波器)Fig.3.Schematic diagram of extracting the signals of balanced homodyne detector at 2 MHz.Mixer,frequency mixer;LF,low-pass filter;Ampli fier,low noise ampli fier;Oscilloscope,digital storage oscilloscope.

圖4 壓縮態(tài)噪聲的時域測量結果(兩條虛線中間數(shù)據(jù)的相位范圍為0—π)Fig.4.Noise of squeezed state measured in time domain(the phase range of the data between the two dashed lines is 0–π).

若量子態(tài)的密度矩陣為,在相位θ下對正交分量進行測量,正交分量x值出現(xiàn)的概率為:是投影算符.由于測量得到的正交分量值是連續(xù)的,不能直接做迭代算法,而首先需要將其離散化.離散化后每一份內最多只包含一個正交分量測量點,這種情況下,數(shù)據(jù)集{(θi,xi)}的似然函數(shù)為:通過迭代算法對密度矩陣進行計算,其中迭代函數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加似然函數(shù)值單調遞增,計算得到的密度矩陣就越接近于制備態(tài)的真實密度矩陣.重構過程在光子數(shù)態(tài)基下進行,在計算中不能包含所有的數(shù)態(tài),需要對數(shù)態(tài)基做截斷處理,大于某個值的光子數(shù)態(tài)被排除在分析之外.在重構過程中,只考慮光子數(shù)為0—10的態(tài).選擇單位矩陣作為初始密度矩陣,重復迭代1000次,得到密度矩陣:

密度矩陣的對角元為光子數(shù)概率,圖5給出了光子數(shù)概率的直方圖(左列黑色).理想情況下由下轉化過程產生的壓縮態(tài)光場為偶光子數(shù)態(tài),因為下轉換光子總是成對產生.但是本文的實驗重構結果中不僅有偶光子數(shù)態(tài),還包含了奇光子數(shù)態(tài),這主要來源于系統(tǒng)損耗和不完美的探測器量子效率.壓縮態(tài)產生系統(tǒng)中的損耗和不完美體現(xiàn)在壓縮度的測量結果上,就會使反壓縮度的絕對值大于壓縮度的絕對值,這與本文壓縮度的測量結果相符.

為了將利用極大似然估計得到的態(tài)重構結果與理論計算結果進行比較,我們理論計算了真空壓縮態(tài)的光子數(shù)分布和Wigner函數(shù).單模真空壓縮態(tài)的Wely特征函數(shù)為

其中A和B為光場的正交分量方差.從Wely特征函數(shù)可以推導出光場的密度矩陣=進而得到光場的光子數(shù)分布:

圖5 極大似然估計重構(黑色直方圖)和理論計算(紅色直方圖)得到的真空壓縮態(tài)光子數(shù)分布(內插圖是光子數(shù)分布的局部放大圖,ρnn取值范圍在0—0.2之間)Fig.5.Photon number distribution of the vacuum squeezed state obtained by maximum likelihood estimation(black histogram)and theoretical calculation(red histogram).The inset is the partial enlarged detail of photon number distribution,the value range of ρnnis 0–0.2.

Wigner函數(shù)是量子態(tài)在相空間的一種準概率分布函數(shù).Wigner函數(shù)與密度矩陣之間的關系為

其中為Wigner算符,a+和a為光場的產生和湮滅算符,將極大似然重構得到的密度矩陣代入(4)式,計算出對應的Wigner函數(shù),如圖6(a1)所示,Wigner函數(shù)最大值為0.309.Wigner函數(shù)最大值決定于壓縮場的偶數(shù)態(tài)和奇數(shù)態(tài)光子概率:

式中Peven和Podd分別是偶數(shù)態(tài)和奇數(shù)態(tài)光子概率.極大似然重構得到偶數(shù)態(tài)的概率為0.974,偶數(shù)態(tài)的概率為0.026,由關系式(5)可得Wmax=0.302,與Wigner函數(shù)最大值基本一致.圖6(a2)是極大似然重構Wigner函數(shù)對應的等高線圖,其中黑實線為峰值處的等高線,表示產生壓縮態(tài)的噪聲起伏范圍;黑虛線為真空態(tài)的噪聲起伏范圍.從圖6(a2)可以看到q分量噪聲被壓縮,其標準差約為真空態(tài)的64.4%,對應?3.8 dB的壓縮;而p分量噪聲被放大,其標準差約為真空態(tài)的1.64倍,對應4.3 dB的反壓縮.

理論上光場的Wigner函數(shù)和Wely特征函數(shù)的關系可用下式描述:

將單模真空壓縮場的Wely特征函數(shù)(2)代入(6)式得到Wigner函數(shù):

將A=0.5和B=3.8代入(7)式,得到理論重構真空壓縮態(tài)的Wigner函數(shù),如圖6(b1)所示,Wigner函數(shù)最大值為0.231.極大似然重構得到的Wigner函數(shù)最大值大于理論計算結果,起源于極大似然偶數(shù)光子態(tài)概率(0.974)大于理論計算值(0.863).圖6(b2)是理論計算Wigner函數(shù)對應的等高線圖,黑實線為峰值處的等高線;理論計算得到噪聲范圍的短軸和長軸均大于極大似然重構結果.極大似然估計重構得到的光子分布和Wigner函數(shù)與理論計算結果之間的差異,可能原因有以下三方面:1)正交分量的測量過程中,相位掃描不均勻;2)數(shù)據(jù)采集過程中低頻電子學噪聲沒有完全過濾掉;3)正交分量測量點數(shù)不夠多.

圖6 (a1),(a2)分別為從極大似然估計重構得到的壓縮態(tài)Wigner函數(shù)和等高線圖;(b1),(b2)分別為從理論計算得到的壓縮態(tài)Wigner函數(shù)和等高線圖Fig.6.(a1)and(a2)are the Wigner function and the contour plot of the squeezed state obtained by maximum likelihood estimation,respectively;(b1)and(b2)are the Wigner function and the contour plot of the squeezed state obtained by theoretical calculation,respectively.

4 結 論

利用基于PPKTP晶體的OPO,產生了795 nm的真空壓縮光場,波長與銣原子D1躍遷線相對應.實驗上觀察到?3 dB的壓縮,通過改善PPKTP晶體的通光面鍍膜,壓縮度可進一步提高.利用極大似然估計法對壓縮態(tài)的密度矩陣進行了重構,得到了壓縮態(tài)的光子數(shù)分布以及相空間的Wigner函數(shù).理論上計算了真空壓縮態(tài)的光子數(shù)分布和Wigner函數(shù),并將理論計算結果和極大似然重構結果進行了分析和比較.下一步將降低OPO腔內損耗,提高壓縮態(tài)純度,在此基礎上開展貓態(tài)產生的實驗研究.

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