施春中

(上海梅山鋼鐵股份有限公司 礦業(yè)分公司設(shè)備部，江蘇 南京 210041)

1 研究背景

DIN(德國(guó)標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)會(huì))標(biāo)準(zhǔn)對(duì)多邊形軸轂聯(lián)接進(jìn)行了規(guī)范，以替代鍵和花鍵來(lái)傳遞動(dòng)力。過(guò)去由于加工復(fù)雜型面的設(shè)備稀缺以及缺少設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，限制了多邊形軸轂聯(lián)接傳動(dòng)方式在機(jī)器設(shè)備上的應(yīng)用。隨著多軸CNC先進(jìn)制造技術(shù)的普及，這種聯(lián)接方式的使用開(kāi)始增多和普及，逐漸成為實(shí)現(xiàn)動(dòng)力傳遞的一種可行選擇。多邊形軸轂聯(lián)接有很多優(yōu)點(diǎn)：加工制造更經(jīng)濟(jì) (成本為花鍵聯(lián)接的40%～50%)，方便裝配和拆解；與鍵和花鍵等聯(lián)接方式相比應(yīng)力集中區(qū)更少；具備自動(dòng)定心能力；聯(lián)接處振動(dòng)及噪聲低，因此與其他鍵聯(lián)接不同，可以采用過(guò)盈配合。P3G(三葉型)和P4C(四葉型)是常用的多邊形軸轂聯(lián)接的幾何形狀，因?yàn)镻4C軸具有較小的軸向應(yīng)力，可應(yīng)用在滑動(dòng)配合中，而P3G軸具有較大的接觸面積有利于分散接觸應(yīng)力，可應(yīng)用在壓配合中。

因?yàn)槎噙呅屋S轂之間的共形接觸較為復(fù)雜，接觸應(yīng)力值無(wú)法精確測(cè)量或計(jì)算，常常是以反映實(shí)際應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)的近似值為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，以找到轂的臨界應(yīng)力，因?yàn)檩炘谂ちψ饔孟乱着蛎洸⑵茐摹?/p>

2 多邊形軸轂聯(lián)接的幾何形狀

P3G和P4C多邊形輪廓形狀分別如圖1、圖2所示。

在圖1、圖2中，d1為外切圓或磨削直徑；d2為內(nèi)切圓直徑；dm為平均直徑，dm=d2+2e；e為偏心距。

3 負(fù)載計(jì)算

3.1 P3G軸轂聯(lián)接計(jì)算

P3G軸轂聯(lián)接由平均直徑dm、偏心率和關(guān)聯(lián)偏心率e/dm共同定義。P3G軸轂聯(lián)接承受扭轉(zhuǎn)載荷，該扭矩T計(jì)算公式為：

T=τ×Zp.

(1)

其中：τ為扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力；Zp為截面阻力矩。截面阻力矩為：

(2)

其中：A為截面輪廓面積；Ip為截面極慣性矩。截面輪廓面積和截面極慣性矩分別由下式計(jì)算：

(3)

(4)

圖1 P3G多邊形輪廓形狀圖2 P4C多邊形輪廓形狀

表面壓力計(jì)算公式為：

(5)

其中：l為轂的寬度。

設(shè)t為截面輪廓內(nèi)切圓與外切圓之間的距離，對(duì)于P3G轂：

(6)

其中：[σ]為許用拉應(yīng)力。

3.2 P4C軸轂聯(lián)接計(jì)算

P4C軸轂聯(lián)接由外切圓或磨削直徑d1、內(nèi)切圓直徑d2以及比值d1/d2共同定義軸轂輪廓。P4C軸轂聯(lián)接主要承受扭轉(zhuǎn)載荷，該扭矩T計(jì)算公式為：

T=τ×Zp.

(7)

P4C軸轂聯(lián)接的截面阻力矩為:

(8)

表面壓力計(jì)算公式為：

(9)

對(duì)于P4C轂，截面輪廓內(nèi)切圓與外切圓之間的距離t由下式計(jì)算：

(10)

雖然動(dòng)力傳動(dòng)軸通常承受扭轉(zhuǎn)彎曲載荷而不是純扭轉(zhuǎn)載荷，但是對(duì)于短軸且承受相對(duì)較低的彎曲載荷時(shí)，設(shè)計(jì)時(shí)僅考慮扭轉(zhuǎn)載荷即可。

4 有限元分析(FEA)驗(yàn)證

多邊形軸轂聯(lián)接導(dǎo)致了復(fù)雜且無(wú)法解析的三軸應(yīng)力。DIN標(biāo)準(zhǔn)給出的數(shù)值是最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力及純扭轉(zhuǎn)載荷，為了驗(yàn)證DIN標(biāo)準(zhǔn)提供的數(shù)值，利用大型三維CAD軟件INVENTOR和ANSYS有限元分析軟件建立P3G 以及P4C的三維模型與有限元模型。按照DIN標(biāo)準(zhǔn)的要求，軸轂之間的線性擬合不計(jì)摩擦。該模型由軸和轂組成，尺寸如圖3、圖4所示，P3G與P4C軸轂同心，且除軸向外所有邊緣均被約束固定。

圖3 P3G轂及軸尺寸示意圖

此處，取P3G輪廓的平均直徑dm=14.478 mm，偏心距e=0.508 mm；P4C輪廓的外切圓直徑d1=15.875 mm，內(nèi)切圓直徑d2=13.335 mm，偏心距為e=1.905 mm。

P3G與P4C軸轂聯(lián)接有限元模型見(jiàn)圖5。進(jìn)行FEA驗(yàn)證時(shí)主要考慮了以下因素：①僅需分析模型沿軸線方向的一側(cè)，對(duì)稱的另一側(cè)同樣適用;②所選擇的接觸應(yīng)力解析表達(dá)式是一個(gè)增強(qiáng)拉格朗日函數(shù)，其優(yōu)勢(shì)是考慮了補(bǔ)償法及拉格朗日法兩者的優(yōu)點(diǎn)；③模型接觸特性是對(duì)稱的；④迭代的次數(shù)設(shè)置為100，收斂標(biāo)準(zhǔn)為 0.5%；⑤軸轂聯(lián)接為無(wú)摩擦接觸。

圖4 P4C轂及軸尺寸示意圖

圖5 P3G與P4C多邊形軸轂聯(lián)接有限元模型

將軸的末端除軸線方向外的其他方向全部固定，轂沿圓周方向施加80 Nm的扭轉(zhuǎn)載荷。經(jīng)FEA計(jì)算的剪應(yīng)力與DIN標(biāo)準(zhǔn)給出的結(jié)果進(jìn)行比較，見(jiàn)表1。

表1 80 Nm扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的 FEA結(jié)果與DIN標(biāo)準(zhǔn)比較

由表1可見(jiàn)，F(xiàn)EA得出的結(jié)果與理論最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力值非常接近，P3G和P4C軸的差異分別為3.52%和1.88%。這樣的結(jié)果表明在計(jì)算軸的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力時(shí)，DIN標(biāo)準(zhǔn)給出的值是可信的。

多邊形軸實(shí)際應(yīng)用中極少出現(xiàn)因承受靜載荷而破壞，常見(jiàn)的破壞之一是微動(dòng)疲勞損壞。軸轂聯(lián)接接觸區(qū)的邊緣會(huì)產(chǎn)生裂紋、破碎和點(diǎn)蝕,而在軸轂接觸區(qū)形成接觸應(yīng)力是產(chǎn)生裂紋的原因。接觸應(yīng)力是軸轂聯(lián)接的主應(yīng)力，且最高應(yīng)力位于軸轂接觸區(qū)的邊緣處。因此，驗(yàn)證DIN標(biāo)準(zhǔn)給出的接觸應(yīng)力值對(duì)設(shè)計(jì)非常重要。

將DIN標(biāo)準(zhǔn)中軸轂接觸區(qū)邊緣處的接觸壓力與FEA模型的結(jié)果進(jìn)行比較。由于軸轂配合部位不可能完全充分接觸，雖然建立線性擬合模型，但是扭矩的作用致使轂膨脹，造成接觸不均。接觸區(qū)配合面的數(shù)量與廓型的葉數(shù)相同，沿軸轂接觸區(qū)邊緣的接觸應(yīng)力如圖6所示。經(jīng)FEA計(jì)算的接觸應(yīng)力與DIN標(biāo)準(zhǔn)給出的結(jié)果比較如表2所示。

圖6 P3G與P4C軸轂聯(lián)接接觸區(qū)邊緣處的接觸應(yīng)力分布

對(duì)P4C軸，由FEA得出的最大接觸應(yīng)力遠(yuǎn)高于由DIN標(biāo)準(zhǔn)所給出的最大接觸應(yīng)力值(約為22.81倍)。DIN標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算的是平均接觸應(yīng)力，該值遠(yuǎn)小于最大接觸應(yīng)力。通過(guò)計(jì)算去除零應(yīng)力的平均接觸應(yīng)力(假設(shè)非接觸部位的應(yīng)力為零)，該平均值仍高于DIN標(biāo)準(zhǔn)(為DIN標(biāo)準(zhǔn)給出值的6.21倍)。但是如果計(jì)算平均值時(shí)將軸轂接觸區(qū)邊緣處的全部接觸應(yīng)力考慮在內(nèi)，平均值僅為 DIN 標(biāo)準(zhǔn)的1.1倍，偏差為9.96%。

表2 80 Nm扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)接觸應(yīng)力的FEA結(jié)果與DIN標(biāo)準(zhǔn)的比較

P3G軸與P4C軸相似，其最大接觸應(yīng)力為DIN標(biāo)準(zhǔn)的9.32倍，去除零應(yīng)力(即無(wú)接觸)的平均接觸應(yīng)力值為 DIN標(biāo)準(zhǔn)的5.07倍，整個(gè)接觸區(qū)邊緣處的全部平均接觸應(yīng)力為DIN標(biāo)準(zhǔn)的1.8倍，偏差為57%。

平均接觸應(yīng)力偏離DIN標(biāo)準(zhǔn)是因?yàn)镈IN標(biāo)準(zhǔn)中為理論接觸面積。而實(shí)際加載時(shí)，在扭矩作用下，轂會(huì)膨脹，即使采用過(guò)渡配合，仍會(huì)出現(xiàn)不完全接觸面，從而導(dǎo)致了偏差。從 FEA分析計(jì)算看，P4C軸的最大接觸應(yīng)力為P3G的1.39倍，但P4C軸的平均接觸應(yīng)力較小，這個(gè)結(jié)論與DIN標(biāo)準(zhǔn)是相同的。導(dǎo)致P4C軸的最大接觸應(yīng)力較大的原因是其最大壓力角大于P3C軸，從而導(dǎo)致其接觸面積更小。

P3G和P4C軸轂接觸區(qū)邊緣處的等效應(yīng)力分布如圖7、圖8所示，與接觸應(yīng)力的分布相同，由此可以推斷出接觸應(yīng)力是等效應(yīng)力的主要因素。值得注意的是，等效應(yīng)力雖然高于P4C軸的屈服應(yīng)力，而其結(jié)構(gòu)卻沒(méi)有破壞，這是因?yàn)榫植康慕佑|應(yīng)力僅造成了局部屈服，并沒(méi)有造成損毀。多邊形軸最終產(chǎn)生裂紋和凹坑等這些局部屈服和破壞的原因是由于微動(dòng)疲勞和點(diǎn)狀腐蝕。

基于以上結(jié)果，可以認(rèn)為DIN標(biāo)準(zhǔn)無(wú)法獲取軸轂接觸區(qū)產(chǎn)生的的實(shí)際接觸應(yīng)力，依據(jù)DIN標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)軸可能會(huì)在上述疲勞和點(diǎn)蝕的作用下比普通圓軸更快地發(fā)生結(jié)構(gòu)損毀。

圖7 P3G軸轂邊緣處的等效應(yīng)力分布圖8 P4C軸轂邊緣處的等效應(yīng)力分布

5 結(jié)論

預(yù)測(cè)多邊形軸的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力時(shí)，DIN標(biāo)準(zhǔn)是準(zhǔn)確的。經(jīng)FEA驗(yàn)證，P3G和P4C的偏差分別為3.52%和1.88%。

對(duì)于接觸應(yīng)力，F(xiàn)EA得出的結(jié)論高于DIN標(biāo)準(zhǔn)給出的值。P3G和P4C軸的最大接觸應(yīng)力分別為DIN標(biāo)準(zhǔn)的22.81倍和9.32倍，平均應(yīng)力分別為DIN標(biāo)準(zhǔn)的6.21倍和5.07倍。這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)測(cè)定接觸應(yīng)力時(shí)，DIN標(biāo)準(zhǔn)是不準(zhǔn)確的。因此，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)，如果依據(jù)DIN標(biāo)準(zhǔn)，則需選用較高的安全系數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

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