蔡玉強，趙長慶

(華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院, 河北 唐山 063210)

0 引言

平行分度凸輪是一種以達到間歇運動為目的的共軛凸輪機構(gòu)[1]，廣泛應(yīng)用在高速、高精度的分度操作中，在模切機、卷煙機、包裝機械等領(lǐng)域有著很大的市場空間和前景。在機構(gòu)設(shè)計過程中，對凸輪輪廓精度要求比較高，圖解法不能滿足工程中的要求。本文利用反轉(zhuǎn)法這種易被理解的方法推導(dǎo)凸輪廓線方程，免去繁瑣的計算。結(jié)合MATLAB軟件編程，得到輪廓曲線數(shù)據(jù)，再將數(shù)據(jù)導(dǎo)入SolidWorks進行參數(shù)化建模，能夠很快地得到凸輪的廓型，為平行分度凸輪的參數(shù)化設(shè)計提供了一種新的方法。

1 分度凸輪輪廓計算

平行分度凸輪主要由分度凸輪、分度盤與分度盤滾子構(gòu)成，分度盤和凸輪的軸線相互平行，保證兩軸之間分度傳動。在輸入軸上裝有共軛凸輪， 在輸出軸上裝有均布滾子的分度盤與之嚙合，分度傳動過程中，位于凸輪軸的共軛凸輪依次推動分度盤上滾子進行旋轉(zhuǎn)，每個凸輪與其對應(yīng)嚙合的滾子相接觸，達到輸出軸分度旋轉(zhuǎn)的目的。在嚙合過程中要一直保證至少有兩個滾子與其相對應(yīng)的分度凸輪接觸，目的是為了保證幾何封閉。這種機構(gòu)能夠?qū)⑤斎胼S的連續(xù)轉(zhuǎn)動變?yōu)檩敵鲚S的移動和間歇轉(zhuǎn)動，圖1展示了幾種常用的平行分度凸輪機構(gòu)。

圖1 幾種常用外接平行分度凸輪示意圖

在間歇運動循環(huán)中，凸輪以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，其中與之嚙合的分度盤轉(zhuǎn)過的角度θ和凸輪的自轉(zhuǎn)角度β(β=ωt，t為時間)存在著如下函數(shù)關(guān)系：

θ=f(ωt).

(1)

因為凸輪外部廓形、滾子表面都為素線相互平行的柱面，并且滾子等軸均相互平行，所以，問題可以簡化在二維空間中進行研究。平行分度凸輪示意圖如圖2所示。

圖2 平行分度凸輪示意圖

將主動軸回轉(zhuǎn)中心投影視為原點，建立固定坐標系和從動坐標系xoy與x1oy1。圖2中，a為中心距，rd為滾子分布圓半徑，rr為滾子半徑。設(shè)n為分度數(shù)(分度盤在一個周期的時間里，回轉(zhuǎn)或者停歇的次數(shù))，m為滾子數(shù)。滾子順時針排列，第一個滾子標為1，其后按順時針分別為i=1,2,3，…，m。如圖2所示，在半徑為rd的圓上將m(m=8)個半徑為rr的滾子均勻分布。設(shè)θi0為第i個滾子的初始位置角，則第i個滾子初始位置角可表示為：

(2)

根據(jù)反轉(zhuǎn)法理論，假定凸輪為固定的，此時分度盤圍繞主動軸逆時針旋轉(zhuǎn)，且角速度為ω，在分度盤逆時針旋轉(zhuǎn)的同時也完成了以從動軸為中心的自轉(zhuǎn)。即動坐標系x1oy1繞o點旋轉(zhuǎn)與分度盤繞o′點旋轉(zhuǎn)同步進行，t時間后轉(zhuǎn)角ωt如圖3所示。

圖3 反轉(zhuǎn)法示意圖

在動坐標系x1oy1中，第i個滾子的位置角θi可表示為初始位置角度加上分度盤轉(zhuǎn)過的角度，即：

θi=θi0+θ.

(3)

其中：θ角服從運動規(guī)律要求，即滿足式(1)。在動坐標系x1oy1中，第i個滾子圓心坐標可以表示為：

(4)

在固定坐標系xoy中，第i個滾子圓心的坐標可以表示為：

(5)

嚙合過程中，從動盤滾子外圓形成的包絡(luò)線即凸輪廓線，它與滾子圓心軌跡互為等距曲線，根據(jù)等距曲線理論[2]，可以推導(dǎo)出凸輪廓形的坐標方程：

(6)

式(6)中x′為函數(shù)x對凸輪轉(zhuǎn)過角度β(β=ωt，t為時間)所求的導(dǎo)函數(shù)，同理y′為函數(shù)y對凸輪轉(zhuǎn)過角度β(β=ωt，t為時間)所求的導(dǎo)函數(shù)。

2 機構(gòu)設(shè)計參數(shù)分析

以上內(nèi)容主要推導(dǎo)了凸輪廓線方程，要滿足凸輪運動過程中不失真以及連續(xù)傳動等要求，還需使設(shè)計參數(shù)滿足一定條件。

2.1 連續(xù)傳動條件

為了使平行分度凸輪連續(xù)、穩(wěn)定，在運動過程中的任一時刻，必須至少有一個滾子與凸輪升程輪廓接觸產(chǎn)生正扭矩，同時至少有一個滾子與回程輪廓接觸，此時機構(gòu)具有負扭矩，以保證從動盤在分度減速過程中能按照預(yù)定的規(guī)律轉(zhuǎn)動，此為連續(xù)運動條件。為了使機構(gòu)連續(xù)運動，設(shè)計時應(yīng)考慮運動傳遞重合度。以第1個和第2個滾子來說明，凸輪1與第1個滾子即將離開前，凸輪2和第2個滾子已經(jīng)接觸并產(chǎn)生正扭矩。在接下來的傳動中，兩個滾子同時驅(qū)動分度盤轉(zhuǎn)動Δτ。Δτ與分度盤等分度角τ0(τ0=2π/m)的比值稱為該機構(gòu)的運動傳遞重合度。依據(jù)參考文獻[3]中的有關(guān)理論，重合度為：

ε=1+Δτ/τ0.

(7)

根據(jù)文獻[4]中給出的連續(xù)傳動條件，設(shè)凸輪理論廓線最大外徑與實際廓線最大外徑分別為γTmax、γPmax，其中理論廓線最大外徑γTmax與Δτ和τ0有如下函數(shù)關(guān)系：

(8)

(9)

(10)

為保證連續(xù)傳動令ε> 1，經(jīng)過等式變換可得凸輪實際廓線最大外徑γPmax應(yīng)滿足：

(11)

2.2 外徑條件

所謂的外徑條件就是使凸輪動程角βh(也就是主動凸輪起推動作用的那部分角度)必須大于某一個最小值。為了使?jié)L子1與滾子3形成的輪廓共用一個凸輪，對于動程角βh的選取，應(yīng)要求機構(gòu)完成分度前(即滾子1與對應(yīng)凸輪廓線脫離接觸前)滾子2與對應(yīng)的輪廓進入嚙合。設(shè)TN為分度周期內(nèi)凸輪轉(zhuǎn)過角度的無因次時間[5]，TN=t/th=β/βh，0≤TN≤1，t對應(yīng)TN瞬時時間，th對應(yīng)TN=1的分度周期(動程總時間)；設(shè)τh為分度盤分度角(即主動凸輪走過一個動程角分度盤轉(zhuǎn)動的角度，τh=2π/n，注意與前面提到的等分度角進行區(qū)分，等分度角即為每個滾子之間相距的角度，例如一分度的凸輪分度角為2π，而等分度角與滾子數(shù)有關(guān))。依據(jù)無因次化相關(guān)理論，為了保證滾子1和滾子3對應(yīng)的凸輪廓線相交，則凸輪動程角βh應(yīng)滿足：

(12)

2.3 防止頂切條件

設(shè)計參數(shù)選擇不當(dāng)時，凸輪廓線會出現(xiàn)頂切現(xiàn)象，即凸輪工作廓線凹下去的最小曲率半徑ρ小于滾子半徑rr，使得凸輪廓線不連續(xù)且有交叉。根據(jù)文獻[6]中相關(guān)理論指出，由于頂切現(xiàn)象通常發(fā)生在凸輪矢徑最小值處(即在r0=a-rd處)，因此，為了防止頂切現(xiàn)象的發(fā)生，凸輪動程角應(yīng)滿足：

(13)

其中：V為滾子經(jīng)過正負扭矩交接點時的無因次速度值。

2.4 壓力角條件

凸輪和從動件之間速度與力的傳遞關(guān)系需要用一些參數(shù)來反映，即凸輪機構(gòu)壓力角。凸輪軸回轉(zhuǎn)時推動滾子的輪廓稱為主輪廓，施加負轉(zhuǎn)矩起反向鎖合功能的輪廓稱為副輪廓。一般地，機構(gòu)能正常運轉(zhuǎn)要求主輪廓的最大壓力角小于許用值。參考文獻[7]中提到平行分度凸輪機構(gòu)的許用壓力角[φ]為60°。則φmax≤[φ]≤ 60°，壓力角計算公式為：

(14)

其中：Kra為徑距比，Kra=rd/a；Gm為凸輪頭數(shù)。Gm和Kra都對壓力角有一定影響。

3 凸輪輪廓曲線的繪制

以三片式平行分度凸輪為例，滿足設(shè)計要求參數(shù)如下：中心距a=160 mm；滾子半徑rr=21 mm；滾子回轉(zhuǎn)半徑rd=34 mm；滾子數(shù)m=9；分度數(shù)n=1；動程角βh=10π/9。以工程中最常用的變余弦運動規(guī)律為例，依據(jù)選定的參數(shù)和推導(dǎo)出的公式，利用MATLAB 軟件編制程序[8]，得到的平行分度凸輪的理論廓線如圖4所示。

圖4 MATLAB中的凸輪理論廓線

4 凸輪的實體建模

將三片式凸輪廓線程序保存為.m文件，在MATLAB中運行該程序，依靠MATLAB強大的數(shù)學(xué)能力計算出輪廓曲線上的坐標點，通過編程生成符合SolidWorks需要的.txt文件，再導(dǎo)入SolidWorks中實現(xiàn)平行分度凸輪的三維實體建模。

4.1 txt文件的實現(xiàn)

將MATLAB中得到的M文件經(jīng)過修改產(chǎn)生符合SolidWorks要求的.txt文件，把下列程序加入到原來的M 文件，然后將M文件所產(chǎn)生的坐標數(shù)據(jù)直接保存到.txt文件中。此時已經(jīng)完成符合建模要求的文件創(chuàng)建:

M=[x;y;z]';

b=size(M);

dlmwrite('data.txt',M);

4.2 模型的建立

應(yīng)用SolidWorks中的曲線工具，可以通過各點的

XYZ坐標清單生成需要的樣條曲線。在軟件菜單選項中選擇插入曲線，選擇通過XYZ點的曲線，導(dǎo)入之前修改好的.txt坐標文件，即可生成需要的凸輪工作廓線。此時需要將得到的廓線轉(zhuǎn)換為實體線方可進行拉伸。利用SolidWorks中的轉(zhuǎn)換實體引用命令將工作廓線轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶓w線，轉(zhuǎn)化完的實體曲線如圖5所示。

此時生成的凸輪廓線為工作廓線，也就是起分度作用的圓弧，其并不是封閉的，以曲線的回轉(zhuǎn)中心和兩個端點為參考，畫出實現(xiàn)間歇運動那部分的廓線，最后通過裁剪、拉伸等操作命令得到凸輪模型，如圖6所示。

圖5 SolidWorks中的凸輪工作廓線圖6 SolidWorks中的平行分度凸輪

5 結(jié)語

本文基于反轉(zhuǎn)法原理，以這種通俗易懂的方法推導(dǎo)了凸輪的廓線方程，并分析了機構(gòu)的設(shè)計參數(shù)要求，利用MATLAB語言編程生成數(shù)據(jù)點，導(dǎo)入SolidWorks，實現(xiàn)了凸輪的三維實體建模，將兩種軟件相結(jié)合，很快地得到了凸輪的廓型，并實現(xiàn)參數(shù)化設(shè)計。該方法容易理解，通用性強，為平行分度凸輪的設(shè)計提供了參考。

參考文獻：

[1] 劉昌祺.凸輪機構(gòu)設(shè)計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[2] 王明德,唐余勇.機械工程中的幾何仿真、建模與求解[M].北京:國防工業(yè)出版社,1993.

[3] 楊玉虎,路錫年,張策，等.一分度平行分度凸輪機構(gòu)設(shè)計[J].天津大學(xué)學(xué)報,1996,29(1):44-50.

[4] 鄒慧君,董師予.凸輪機構(gòu)的現(xiàn)代設(shè)計[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,1995.

[5] 楊玉琥,張玉憲.平行分度凸輪機構(gòu)非對稱設(shè)計研究[J].機械設(shè)計,1995,12(11):38-40.

[6] 牧野洋.自動機械機構(gòu)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1980.

[7] 彭國勛，肖正揚.自動機械的凸輪機構(gòu)設(shè)計[M].北京:機械工業(yè)出版社,1990.

[8] 郭飛,楊綠云.凸輪機構(gòu)輪廓曲線在MATLAB中的實現(xiàn)[J].煤礦機械,2010,31(7):221-222.