陳建宏，常 博， 席盼祥，丁小婷

(蘭州城市學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

由于量子等離子體在半導(dǎo)體材料[1]、高強(qiáng)度激光與等離子體相互作用[2-4]、高密度天體等離子體[5-6]等具有應(yīng)用價(jià)值，故其已成為等離子體物理學(xué)中一個(gè)全新的、關(guān)注度高的研究對(duì)象.當(dāng)?shù)入x子體中帶電粒子的德布羅意波長(zhǎng)與等離子體的空間尺度(如帶電粒子的平均間距)可比較時(shí)，等離子體就會(huì)產(chǎn)生量子效應(yīng)，其對(duì)應(yīng)的等離子體被稱為量子等離子體.Haas等[7]基于量子流體力學(xué)模型研究了量子等離子體中的離子聲波.自此，從實(shí)驗(yàn)和理論方面，研究人員對(duì)線性與非線性量子等離子體波的性質(zhì)進(jìn)行了大量研究[8-12].然而，大部分研究工作沒(méi)有考慮邊界效應(yīng)對(duì)量子等離子體波的影響.事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)室中的量子等離子體通常具有明確的邊界.已有研究表明，對(duì)沒(méi)有考慮量子效應(yīng)的等離子體系統(tǒng)，邊界對(duì)等離子體波的性質(zhì)也產(chǎn)生影響[13-15].不難想象，考慮邊界效應(yīng)后的量子等離子波將可能出現(xiàn)一些新的性質(zhì)，筆者擬研究柱坐標(biāo)系下有界量子等離子體系統(tǒng).

1 動(dòng)力學(xué)方程

所研究的量子等離子體系統(tǒng)由具有圓柱幾何邊界的電子與離子組成.等離子體滿足如下連續(xù)性方程[7]

(1)

(2)

(3)

其中：ni為離子數(shù)密度；ne為電子數(shù)密度,ne服從玻爾茲曼分布，即ne=ne0exp(eφ/(kBTe))，kB和Te分別為玻爾茲曼常數(shù)和電子的溫度；ν為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)；e為電子所帶電量；V為量子等離子體的速率；φ為電位；mi為離子質(zhì)量；?為約化普朗克常數(shù);(2)式的第3項(xiàng)為考慮Bohm勢(shì)而引入的量子項(xiàng).

2 柱坐標(biāo)系下擬KdV方程的導(dǎo)出

假設(shè)上述系統(tǒng)具有圓柱幾何邊界，速率V在柱坐標(biāo)系下表示為Vr,Vθ,Vx.整個(gè)系統(tǒng)具有柱對(duì)稱結(jié)構(gòu)，即Vr=Vθ=0,Vx=V(x,r).系統(tǒng)徑向尺寸r較小時(shí)，可假設(shè)?V/?r??V/?x，將方程(1)～(3)在柱坐標(biāo)系下展開(kāi)，并進(jìn)行無(wú)量綱化，可得到如下無(wú)量綱方程

(4)

(5)

(6)

其中：無(wú)量綱的電子分布ne=exp(φ).

系統(tǒng)中的ni(r,x,t)，φi(r,x,t)，V(r,x,t)具有如下形式

ni(r,x,t)=Y0(r)Ni(x,t)+1，

(7)

φi(r,x,t)=Y0(r)ψ(x,t)，

(8)

Vi(r,x,t)=Y0(r)u(x,t).

(9)

(5)式中的量子項(xiàng)可表達(dá)為

(10)

利用泰勒公式將ni展開(kāi)，保留低階項(xiàng)后代入式(4)～(6)，可得

(11)

(12)

(13)

其中

β=3π/4R，ni=J0(βr)Ni(x,t)+1，V=J0(βr)u(x,t)，

令

ξ=ε(x-ct)，τ=ε3t，ν=ε3ν′.

采用約化攝動(dòng)法,對(duì)式(11)～(13)中各物理量在平衡位置作如下展開(kāi)

Ni=ε2N1+ε4N2+…，

(14)

u=ε2u1+ε4u2+…，

(15)

ψ=ε2ψ1+ε4ψ2+…,

(16)

其中:ε為無(wú)量綱小量,c為相速.

將式(11)～(13)的高階近似方程聯(lián)立后, 經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn), 可得到如下形式的擬KdV方程

(17)

其中

3 孤立波特性分析

(1) 將β=3π/4R代入式(17)中,可得到D=9ν′π2/(32R2)，當(dāng)D=0時(shí)，即ν′→0或者R→+時(shí)，式(17)將變成標(biāo)準(zhǔn)的KdV方程

(18)

方程(18)有如下形式孤立波解[16]

(19)

由式(19)可知，孤立波的波寬隨著B(niǎo)變大而變大，也就是說(shuō)加入量子項(xiàng)后孤立波的寬度變大.

(2) 當(dāng)D≠0，令ψ1=6B1/3A-1ψ，τ=τ′，ξ=6B1/3ξ′，這樣擬KdV方程(17)可改寫(xiě)為

(20)

方程(20)的解為

(21)

其中：a(τ′)=a0exp(-4Dτ′/3)為等離子體波的振幅，a0為初始條件下的振幅.此時(shí)，式(21)表示的是一種阻尼孤波，其振幅隨時(shí)間衰減.當(dāng)R減小時(shí),D將變大，振幅將衰減變快，加入量子效應(yīng)的衰減程度比不加入的小.

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者研究了柱坐標(biāo)系下有界量子等離子體系統(tǒng)，利用約化攝動(dòng)法得到了描述該系統(tǒng)孤立波行為的擬KdV方程.研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)邊界參數(shù)R較小時(shí)，孤波振幅隨時(shí)間衰減，且隨著R的減小衰減變快；R趨近于+時(shí)，量子等離子體波呈現(xiàn)孤立波特性.

參考文獻(xiàn)：

[1] XING L I, YAN Y. Large time behavior of solutions to 1-dimensional bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductors[J]. Acta Mathematica Scientia, 2017, 37 (3): 806-835.

[2] HARVEY C N, GONOSKOV A, ILDERTON A, et al. Quantum quenching of radiation losses in short laser pulses[J]. Physical Review Letters, 2017, 118 (10): 105004.

[3] GLENZER S H, LANDEN O L, NEUMAYER P, et al. Observations of plasmons in warm dense matter[J]. Physical Review Letters, 2007, 98 (6): 065002.

[4] CROSS J E, REVILL B, GREGORI G. Scaling of magneto-quantum-radiative hydrodynamic equations: from laser-produced plasmas to astrophysics[J]. The Astrophysical Journal, 2014, 795: 59.

[5] OPHER M, SILVA L O, DAUGER D E, et al. Nuclear reaction rates and energy in stellar plasmas: the effect of highly damped modes[J]. Physics of Plasmas, 2001, 8 (5): 2454-2460.

[6] CHABRIER G, SAUMON D, POTEKHIN A Y. Dense plasmas in astrophysics: from giant planets to neutron stars[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2006, 39 (17): 4411.

[7] HAAS F, GARCIA L G, GOEDERT J, et al. Quantum ion-acoustic waves[J]. Physics of Plasmas, 2003, 10 (10): 3858-3866.

[8] SHUKLA P K, ELIASSON B. Nonlinear aspects of quantum plasma physics[J]. Physics-Uspekhi, 2010, 53 (1): 51-76.

[9] BRODIN G, MARKLUND M, MANFREDI G. Quantum plasma effects in the classical regime[J]. Physical Review Letters, 2008, 100 (17): 175001.

[10] TOLBA R E, EL-BEDWEHY N A, MOSLEM W M, et al. Nonlinear structures: cnoidal, soliton, and periodical waves in quantum semiconductor plasma[J]. Physics of Plasmas, 2016, 23 (1): 012111.

[11] BEHERY E E, HAAS F, KOURAKIS I. Weakly nonlinear ion-acoustic excitations in a relativistic model for dense quantum plasma[J]. Physical Review E, 2016, 93 (2): 023206.

[12] AGGARWAL M, KUMAR H, RICH A, et al. Self-focusing of Gaussian laser beam in weakly relativistic and ponderomotive cold quantum plasma[J]. Physics of Plasmas, 2017, 24 (1): 013108.

[13] WEI N X, XUE J K. Bounded dust-acoustic waves in a cylindrically bounded collisional dusty plasma with dust charge variation[J]. Physics of Plasmas, 2006, 13 (5): 052101.

[14] YANG X, LIU C B, YANG Y, et al. Existence and damping of dust acoustic solitary waves in a bounded geometry[J]. Physical Review E, 2013, 87 (6): 063101.

[15] LI G, REN Y Q. Damping solitary wave under the second and third boundary condition of a viscous plasma[J]. Indian Journal of Physics, 2017, 91 (2): 219-223.

[16] 劉式適，劉式達(dá). 物理學(xué)中的非線性方程[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2000: 170-178.