鄧世廣 王淑艷 趙文津 劉志偉 何 潤(rùn)(①中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)中心，北京 100045； 中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院，北京 100037； 中電科海洋信息技術(shù)研究院有限公司，北京 100041； 中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院西北分院，甘肅蘭州 730020)

1 引言

匹配追蹤算法由Mallat等[1]率先提出，其本質(zhì)是對(duì)信號(hào)做稀疏分解。與其他時(shí)頻方法相比，匹配追蹤方法具有更高的時(shí)頻分辨率[2]，目前在油氣檢測(cè)、薄層識(shí)別以及噪聲壓制等方面有著廣泛應(yīng)用[3-8]。鑒于傳統(tǒng)的匹配追蹤貪婪迭代算法計(jì)算量過(guò)大，Liu等[9，10]先后提出了基于Ricker子波和Morlet子波庫(kù)的匹配追蹤算法，通過(guò)Hilbert變換求取地震信號(hào)的瞬時(shí)屬性(振幅、相位、頻率)，再引入匹配追蹤算法，顯著提高了計(jì)算效率。張繁昌等[11，12]分別運(yùn)用雙參數(shù)快速匹配追蹤算法、動(dòng)態(tài)最優(yōu)搜索和時(shí)頻原子正交變換方法，均不同程度地提高了計(jì)算效率。邵君[13]對(duì)基于匹配追蹤的信號(hào)稀疏分解算法進(jìn)行了研究?；贚iu等[9，10]的成果，Wang[14]通過(guò)引入控制Morlet小波的尺度參數(shù)，提出了三步法匹配追蹤算法，提高了算法的效率。范興利等[2]探討了以Morlet小波作為時(shí)頻原子的匹配追蹤算法中尺度因子對(duì)信號(hào)與時(shí)頻原子匹配特征的控制作用。

隨著計(jì)算機(jī)硬件的快速發(fā)展，配備多核處理器的計(jì)算機(jī)已十分普遍，而以往的匹配追蹤算法基本都是串行執(zhí)行，未能發(fā)揮多核處理器的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。OpenMP(Open Multi-Processing)采用共享內(nèi)存的編程模式，方便各個(gè)線程對(duì)數(shù)據(jù)的讀取與調(diào)用，可充分發(fā)揮多核處理器的性能[15]。通過(guò)可并行性分析，本文認(rèn)為匹配追蹤時(shí)頻分析算法適合并行運(yùn)算，并基于OpenMP實(shí)現(xiàn)了以Morlet小波作為時(shí)頻原子的匹配追蹤算法的并行運(yùn)算，另外對(duì)計(jì)算多個(gè)Morlet子波的平滑偽Wigner-Ville分布(SPWVD)的過(guò)程也采用并行運(yùn)算。實(shí)際數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果表明，基于OpenMP并行計(jì)算的匹配追蹤時(shí)頻分析方法在保持計(jì)算精度的前提下能充分發(fā)揮多核處理器的性能，有效提高計(jì)算效率。

2 匹配追蹤時(shí)頻分析原理

2.1 匹配追蹤算法思想

匹配追蹤算法是將信號(hào)投影到一系列時(shí)頻原子之上，通過(guò)這些時(shí)頻原子的線性組合精確表示復(fù)雜原始信號(hào)。這里所謂的時(shí)頻原子在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中可具體化為由頻率、相位、時(shí)間延遲、尺度等參數(shù)確定的小波，在地震信號(hào)處理中Ricker 小波和Morlet 小波是兩種常用時(shí)頻原子形式[2]。

匹配追蹤算法思想以數(shù)學(xué)的形式可表示為：設(shè)H表示希爾伯特空間，定義H中的一個(gè)時(shí)頻原子庫(kù)D，gγ∈D為時(shí)頻原子庫(kù)中的一個(gè)時(shí)頻原子，原子庫(kù)中的每個(gè)原子都應(yīng)該是歸一化的，即滿足‖gγ‖=1。之后，從原子庫(kù)中選擇與信號(hào)f(f∈H)最佳匹配的原子gγ 0，這時(shí)信號(hào)f就可表示為

(1)

(2)

(3)

按此過(guò)程不斷迭代分解，直到殘差能量小于所設(shè)閾值，這樣信號(hào)f最終被分解為

(4)

將信號(hào)和時(shí)頻原子抽象表示為高維空間中的矢量，則匹配追蹤的算法思想可由圖1表示[2，16]。

圖1 匹配追蹤示意圖

2.2 基于Morlet子波的匹配追蹤算法

Morlet等[17]提出的Morlet子波在時(shí)間域的表達(dá)式為

exp{i[ωm(t-u)+φ]}

(5)

式中：ωm是子波的中心(角)頻率；u是時(shí)間延遲；σ是尺度參數(shù)；φ是相位參數(shù)。通過(guò)這4個(gè)參數(shù)可以確定唯一的Morlet子波?；贛orlet子波的匹配追蹤算法是一個(gè)迭代計(jì)算的過(guò)程，每次迭代都會(huì)估算出一個(gè)最佳匹配的子波mn，其中n是迭代次數(shù)。經(jīng)過(guò)N次迭代，一個(gè)地震信號(hào)f(t)可表示為N個(gè)Morlet子波的線性組合

(6)

第一步，首先通過(guò)復(fù)地震道分析技術(shù)估算Morlet子波的三個(gè)參數(shù)(un,ωn,φn)。對(duì)于一個(gè)實(shí)際的地震道，可通過(guò)Hilbert變換獲得其復(fù)地震道，并以此進(jìn)一步計(jì)算得到復(fù)地震道屬性[18]。以復(fù)地震道最大包絡(luò)處的時(shí)間為子波的時(shí)間延遲參數(shù)un，瞬時(shí)頻率作為中心頻率ωn，瞬時(shí)相位作為相位參數(shù)φn。然后利用下式搜尋尺度參數(shù)σn

(7)

第二步，利用式(7)進(jìn)一步優(yōu)選四個(gè)參數(shù)。圍繞某一參數(shù)ξ的搜索范圍是[ξ-Δξ,ξ+Δξ]，其中Δu是時(shí)間采樣間隔、Δσ是尺度參數(shù)σ的采樣間隔、Δω是頻率采樣間隔、Δφ為5°。值得注意的是該參數(shù)優(yōu)選的過(guò)程需大量的運(yùn)算。

第三步，通過(guò)下式計(jì)算最佳匹配子波mγn的振幅

(8)

(9)

經(jīng)過(guò)N次迭代之后的殘差R(N)可認(rèn)為是數(shù)據(jù)中的噪聲。

2.3 Morlet子波的平滑偽Wigner-Ville分布

通過(guò)短時(shí)傅里葉變換得到地震信號(hào)的時(shí)頻分布是目前常用的時(shí)頻分析方法，但通過(guò)短時(shí)傅里葉變換方法分析信號(hào)時(shí)頻特性時(shí)無(wú)法同時(shí)滿足較高的時(shí)間分辨率與頻率分辨率[19]。Wigner-Ville分布無(wú)需選取窗函數(shù)，避免了線性時(shí)頻表示中時(shí)間分辨率與頻率分辨率的相互矛盾，因而具有更好的時(shí)頻分辨率。對(duì)于地震信號(hào)s(t)的Wigner-Ville分布可以寫成

(10)

式中：t是時(shí)移[20]。但當(dāng)信號(hào)s(t)=s1(t)+s2(t)時(shí)，根據(jù)式(10)，其Wigner-Ville分布可寫為

(11)

可進(jìn)一步簡(jiǎn)寫為

Ws(t,ω)=Ws1(t,ω)+Ws2(t,ω)+

2Re[Ws1,s2(t,ω)]

(12)

式中： Re[Ws1,s2(t,ω)]為交叉項(xiàng)；Ws1(t,ω)和Ws2(t,ω)分別是信號(hào)s1(t)和s2(t)的Wigner-Ville分布，稱為自相關(guān)項(xiàng)。多分量復(fù)雜信號(hào)的Wigner-Ville分布中交叉項(xiàng)的存在會(huì)嚴(yán)重影響信號(hào)的時(shí)頻分布(圖2)。為了抑制交叉項(xiàng)干擾，人們提出平滑偽Wigner-Ville分布(SPWVD)[21]，即對(duì)WVD分別增加時(shí)域和頻域窗函數(shù)g(u)和h(τ)，其表達(dá)式為

式中g(shù)(u)和h(τ)是兩個(gè)實(shí)對(duì)稱窗函數(shù)，且h(0)=g(0)=1?？赏ㄟ^(guò)選擇窗函數(shù)g(u)和h(τ)來(lái)控制時(shí)域和頻域的平滑尺度。

圖2 Wigner-Ville 分布的交叉項(xiàng)干擾

基于匹配追蹤的時(shí)頻分析的思路及流程(圖3)是： ①通過(guò)匹配追蹤將復(fù)雜信號(hào)分解為多個(gè)Morlet子波； ②計(jì)算各個(gè)子波的平滑偽Wigner-Ville分布[22]； ③疊加各子波的時(shí)頻分布得到原信號(hào)的時(shí)頻分布。這樣就能保證多分量復(fù)雜信號(hào)s(t)的時(shí)頻譜在具有較高時(shí)頻分辨率的同時(shí)又有效避免了交叉項(xiàng)的干擾。 圖4顯示了對(duì)地震信號(hào)(圖4a)進(jìn)行匹配追蹤運(yùn)算得到了一系列的Morlet子波(圖4b)。如果直接計(jì)算該地震信號(hào)的平滑偽Wigner-Ville分布，其結(jié)果受到了嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾，已經(jīng)難以識(shí)別信號(hào)在不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)的頻率分布(圖4c)。采用基于匹配追蹤的時(shí)頻分析方法，分別計(jì)算分解得到的Morlet子波的平滑偽Wigner-Ville分布，然后疊合得到整個(gè)信號(hào)的時(shí)頻分布，這樣有效避免了交叉項(xiàng)的干擾，信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)頻特征十分清晰(圖4d)。

圖3 基于匹配追蹤的時(shí)頻分析方法的計(jì)算流程

圖4 基于匹配追蹤的平滑偽Wigner-Ville分布計(jì)算結(jié)果(a)地震信號(hào)； (b)匹配追蹤分解得到的Morlet子波； (c)直接計(jì)算的平滑偽Wigner-Ville分布； (d)基于匹配追蹤計(jì)算的Wigner-Ville分布

3 基于OpenMP的并行實(shí)現(xiàn)與分析

隨著計(jì)算機(jī)硬件的迅速發(fā)展，配置多核處理器的計(jì)算機(jī)已越來(lái)越普遍。在多核處理器的硬件基礎(chǔ)上，以共享物理內(nèi)存的形式的并行運(yùn)算得到了快速發(fā)展。OpenMP以一種面向共享存儲(chǔ)的并行程序標(biāo)準(zhǔn)于1997年正式發(fā)表，之后又陸續(xù)發(fā)表了面向Fortran、C/C++的四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。經(jīng)過(guò)幾年的推廣，OpenMP已成為關(guān)于共享存儲(chǔ)并行計(jì)算的新的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，目前在中小型的共享存儲(chǔ)并行系統(tǒng)上得到了廣泛應(yīng)用[23]。

Fork-Join類型的OpenMP程序機(jī)構(gòu)是最基本的OpenMP程序方式，也是應(yīng)用最廣泛的一種OpenMP程序形式[23]。Fork-Join(分叉—連接)模式的含義是：當(dāng)程序開始時(shí)，由主線程執(zhí)行程序的串行部分，在接到并行任務(wù)時(shí)，主線程執(zhí)行Fork操作，派生出其他線程共同完成并行部分，完成后各線程執(zhí)行Join操作，回到主線程執(zhí)行串行部分[23-26](圖5)。通過(guò)這種Fork-Join模式，編譯器可以充分利用多核處理器的優(yōu)勢(shì)完成并行計(jì)算任務(wù)。

匹配追蹤算法需要龐大的運(yùn)算量，Wang[14]提出的三步法有效提高了匹配追蹤的計(jì)算效率，但所需計(jì)算量依然較大。為提高匹配追蹤算法的計(jì)算效率，首先對(duì)該算法進(jìn)行了可并行性分析，之后利用OpenMP實(shí)現(xiàn)了基于匹配追蹤時(shí)頻分析方法的并行運(yùn)算，從而在多核處理器環(huán)境下有效提高其運(yùn)算效率。

圖5 Fork-join模式示意圖

基于匹配追蹤的時(shí)頻分析算法中大量的運(yùn)算主要集中在搜尋最佳匹配子波的過(guò)程以及計(jì)算所有子波平滑偽Wigner-Ville分布的過(guò)程(圖3中灰框所示的步驟)。因此分析這兩個(gè)步驟是否適合并行運(yùn)算。

3.1 子波尋優(yōu)的并行計(jì)算

匹配追蹤搜尋最佳匹配子波的過(guò)程本質(zhì)上是一個(gè)多重嵌套循環(huán)過(guò)程，其示意代碼如下

for (時(shí)間延遲參數(shù))

{

for (頻率參數(shù)尋優(yōu)范圍)

{

for (相位參數(shù)尋優(yōu)范圍)

{

for (尺度參數(shù)尋優(yōu)范圍)

{

尋優(yōu)運(yùn)算

}

}

}

}

這里的尋優(yōu)運(yùn)算實(shí)際上就是計(jì)算Morlet子波與待分解信號(hào)之間的投影能量，在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)尋找使投影能量最大的一組參數(shù)。具體來(lái)說(shuō),即：每次循環(huán)都將此次運(yùn)算的投影值與上次循環(huán)計(jì)算的投影值作比較，選取并存儲(chǔ)較大的投影值及其對(duì)應(yīng)參數(shù)，下次循環(huán)計(jì)算的投影值將與此次比較出的較大值作比較。最終整個(gè)循環(huán)結(jié)束即可得到參數(shù)范圍內(nèi)的最優(yōu)子波。這種多次嵌套循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算非常適合進(jìn)行并行運(yùn)算，我們選擇的并行思路是：對(duì)時(shí)間延遲參數(shù)的循環(huán)執(zhí)行并行運(yùn)算，開辟多個(gè)內(nèi)存空間用來(lái)存儲(chǔ)各個(gè)線程計(jì)算的最優(yōu)子波參數(shù)，這樣整個(gè)循環(huán)結(jié)束后每個(gè)線程都得到了各自最優(yōu)的子波參數(shù)，最后對(duì)比這幾個(gè)子波參數(shù)，從中選取最終的最佳匹配子波(圖6)。本質(zhì)上就是把一項(xiàng)工作分成了n份，然后分配給n個(gè)線程同時(shí)處理。通過(guò)這樣的任務(wù)分配充分利用了多核處理器的計(jì)算能力，有效提高了匹配追蹤的尋優(yōu)效率。

3.2 多子波時(shí)頻分布的并行計(jì)算

完成匹配追蹤之后，一個(gè)地震信號(hào)會(huì)被分解為多個(gè)Morlet子波，需要計(jì)算每個(gè)子波的平滑偽Wigner-Ville分布，之后將其疊加得到該信號(hào)的時(shí)頻分布。然而，對(duì)于一個(gè)記錄時(shí)間較長(zhǎng)的地震信號(hào)，通過(guò)匹配追蹤將會(huì)分解得到龐大數(shù)目的子波，對(duì)所有子波計(jì)算平滑偽Wigner-Ville分布的過(guò)程將會(huì)消耗大量的時(shí)間。此過(guò)程是一個(gè)針對(duì)所有子波的循環(huán)計(jì)算過(guò)程，如果基于串行運(yùn)算，即只有一個(gè)線程執(zhí)行所有的運(yùn)算，那么所有的子波只能按順序依次計(jì)算其時(shí)頻分布。然而，基于OpenMP能夠非常方便地開辟多個(gè)線程同時(shí)計(jì)算多個(gè)Morlet子波的平滑偽Wigner-Ville分布，這將成倍提高該步驟的計(jì)算效率。

圖6 子波尋優(yōu)并行思路示意圖

4 實(shí)際資料試算與分析

為了驗(yàn)證并行算法的性能，選擇了實(shí)際地震資料進(jìn)行試算并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。試算所用計(jì)算機(jī)的硬件參數(shù)為：Intel(R) Core(TM) i7-4710MQ CPU @ 2.50GHz 4核8線程處理器，8GB內(nèi)存，64位Win7操作系統(tǒng)。為節(jié)省試算時(shí)間，所用的實(shí)際地震數(shù)據(jù)為截取的部分疊后數(shù)據(jù)，記錄時(shí)長(zhǎng)為1000ms，采樣點(diǎn)數(shù)為501，采樣間隔為2ms。

4.1 并行前后計(jì)算結(jié)果對(duì)比

利用上述地震數(shù)據(jù)進(jìn)行基于匹配追蹤的時(shí)頻分析運(yùn)算。圖7展示的是串行計(jì)算的結(jié)果。在圖7a中，通過(guò)對(duì)比原始地震信號(hào)(黑色)與通過(guò)Morlet子波重構(gòu)的地震信號(hào)(紅色)，可見通過(guò)匹配追蹤算法能夠有效地重構(gòu)原始信號(hào)，這也證實(shí)了子波分解的有效性； 圖7b為分解得到的Morlet子波； 圖7c為計(jì)算得到的時(shí)頻譜。為了驗(yàn)證并行運(yùn)算與串行計(jì)算的計(jì)算精度，圖8展示了通過(guò)并行運(yùn)算得到的結(jié)果。對(duì)比表明，并行運(yùn)算與串行運(yùn)算的計(jì)算結(jié)果一致。為了進(jìn)一步直觀地展示兩種計(jì)算結(jié)果的一致性， 將兩種計(jì)算結(jié)果做差并繪圖(圖9)，從圖中可見，無(wú)論是子波分解結(jié)果(圖9a)還是時(shí)頻譜結(jié)果(圖9b)都并無(wú)差異。

圖7 串行計(jì)算結(jié)果(a)原始的(黑色)和通過(guò)Morlet子波重構(gòu)的(紅色)地震信號(hào)； (b)分解得到的Morlet子波； (c)計(jì)算得到的時(shí)頻譜

圖8 并行計(jì)算結(jié)果(a)原始的(黑色)和通過(guò)Morlet子波重構(gòu)的(紅色)地震信號(hào)； (b)分解得到的Morlet子波； (c)計(jì)算得到的時(shí)頻譜

圖9 串行與并行計(jì)算結(jié)果差異圖(a)子波； (b)頻譜

4.2 并行加速性能分析

為了描述并行程序的性能，一般采用加速比指標(biāo)來(lái)度量[27]。加速比定義為

式中：n表示并行線程數(shù)；t1表示最優(yōu)串行算法的運(yùn)行時(shí)間；tn表示n個(gè)線程并行算法的運(yùn)行時(shí)間。加速比越大，則并行算法加速性能越好。

統(tǒng)計(jì)所用地震數(shù)據(jù)中某一地震道在不同線程數(shù)的情況下匹配追蹤和平滑偽Wigner-Ville分布各自的時(shí)耗，其中匹配追蹤的子波分解數(shù)目為50，同時(shí)計(jì)算了不同線程數(shù)的加速比(表1)?；贠penMP的并行運(yùn)算可通過(guò)num_threads()函數(shù)設(shè)定并行計(jì)算使用的線程個(gè)數(shù)。在并行加速性能分析過(guò)程中關(guān)閉了所有其他程序，保證CUP占用率穩(wěn)定在3%以內(nèi)以提高分析的準(zhǔn)確性。不過(guò)當(dāng)調(diào)用全部8個(gè)線程進(jìn)行并行計(jì)算時(shí)，操作系統(tǒng)占用的約3%的CPU資源還是會(huì)對(duì)并行加速性能有輕微的影響，也就是說(shuō)該算法在8線程并行運(yùn)算時(shí)如果去除掉操作系統(tǒng)的影響還能夠達(dá)到更高的加速比，盡管此時(shí)受到了操作系統(tǒng)的影響，該算法依然體現(xiàn)出了良好的加速性能。圖10顯示了并行算法的加速比曲線，從中可直觀看到，匹配追蹤與SPWVD具有相似的加速比曲線， 且隨著線程數(shù)的增加加速比呈近線性增長(zhǎng)。這表明了該并行算法具有良好的加速性能，在計(jì)算機(jī)硬件條件(可調(diào)用線程數(shù))提升時(shí)，并行加速比也會(huì)隨之以線性增長(zhǎng)。

表1 不同線程數(shù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算時(shí)間及加速比

圖10 不同線程數(shù)的加速比

為了進(jìn)一步測(cè)試并行算法性能，選擇相同的地震道，計(jì)算所用線程數(shù)固定為8，選擇不同的子波分解數(shù)目進(jìn)行運(yùn)算時(shí)間的統(tǒng)計(jì)并計(jì)算加速比(表2)。圖11展示了在8線程并行運(yùn)算時(shí)，不同子波分解數(shù)目時(shí)對(duì)應(yīng)的并行加速比。從該圖可知，在子波分解數(shù)目小于20時(shí)，并行運(yùn)算加速比隨著運(yùn)算量的增大加速比也逐漸增大，當(dāng)子波分解數(shù)超過(guò)20后，并行運(yùn)算的加速比達(dá)到飽和，穩(wěn)定在5.5左右。另外可看到，并行計(jì)算Morlet子波的平滑偽Wigner-Ville分布的加速效果相對(duì)匹配追蹤的并行運(yùn)算更加明顯。

表2 不同子波分解數(shù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算時(shí)間及加速比

圖11 不同子波分解數(shù)時(shí)8線程并行運(yùn)算加速比

5 結(jié)論

基于理論分析與試算，認(rèn)為基于匹配追蹤的時(shí)頻分析方法具有可并行性，本文基于OpenMP在多核計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了該算法的并行運(yùn)算，有效提高了算法的計(jì)算效率，并獲得了與串行算法相同精度的計(jì)算結(jié)果。

對(duì)并行算法的運(yùn)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)分析表明： 本文并行算法具有良好的并行加速性能，匹配追蹤和多子波時(shí)頻譜計(jì)算的并行運(yùn)算都具有近線性的加速比曲線。另外，加速比隨計(jì)算量的增加而增加，意味著計(jì)算量越大，越能充分發(fā)揮并行運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)加速比增加到當(dāng)前線程數(shù)所能產(chǎn)生的最大值之后，隨著計(jì)算量的增加，加速比將穩(wěn)定在此峰值附近。

基于匹配追蹤的時(shí)頻分析方法適用于并行運(yùn)算。為進(jìn)一步提高其運(yùn)算效率，可嘗試在計(jì)算機(jī)集群上實(shí)現(xiàn)MPI+OpenMP混合的并行算法。另外，基于圖形處理器(GPU)的數(shù)值計(jì)算日益發(fā)揮重要作用，探究基于GPU加速的匹配追蹤時(shí)頻分析方法也是有待深入探究的重要課題。

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