黃日朋 王學(xué)金

(滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 安徽 滁州 239000)

0 引 言

現(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)模型主要分為均衡模型和無套利模型。其中均衡模型假定利率期限結(jié)構(gòu)是內(nèi)生的,是根據(jù)市場均衡條件推導(dǎo)出利率服從的隨機(jī)過程，無套利模型使用的利率期限結(jié)構(gòu)所包含的所有信息，即假定整個利率期限結(jié)構(gòu)隨時間變化而發(fā)生變化。均衡模型一般分為單因子模型和多因子模型。其中單因子模型將整條收益率曲線看作短期利率的函數(shù)，當(dāng)無風(fēng)險利率變化時，具有不同到期時間的各種債券價格的變化與時間密切相關(guān)。多因子模型通常是雙因子模型為了克服單因子模型的缺點提出來的。近年來國內(nèi)眾多學(xué)者研究了SHIBOR利率的動態(tài)變化過程及其影響因素，如劉洪愧等在文獻(xiàn)[1] 基于上海銀行間同業(yè)拆放利率(SHIBOR),構(gòu)建引入貨幣政策變動的短期市場利率GARCHJUMP模型,實證研究貨幣政策變動是否會促使SHIBOR發(fā)生劇烈的跳躍性現(xiàn)象。羅孝玲等在文獻(xiàn)[2]構(gòu)建了三因子高斯動態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型,并基于極大似然估計法給出了模型參數(shù)的估計過程。本文將基于單因子均衡-GARCH模型，通過極大似然估計法，對SHIBOR短期利率進(jìn)行仿真研究。

1 單因子均衡模型

利率期限結(jié)構(gòu)的單因子模型是短期利率的函數(shù)，其一般形式為：

drt=μ(t,rt)dt+σ(t,rt)dWt

(1)

Vasicek假設(shè)短期利率的歷史數(shù)據(jù)服從如下隨機(jī)過程[3]：

drt=α(μ-rt)dt+σdWt

(2)

dWt=dWt-qdt

(3)

將式(3)代入式(2)可得：

(4)

在風(fēng)險中性測度下，t時刻的零息債券價格為：

(5)

(6)

對于Vasicek模型可以先用對數(shù)似然估計法估計出參數(shù)，然后計算零息債券到期收益率，但是計算出來的短期利率可能取負(fù)值。

Cox、Ingersoll和Rose在一般均衡框架下建立了一個短期利率CIR模型[4]，解決了Vasicek模型利率可能為負(fù)數(shù)的問題。CIR模型假定短期利率的變化服從如下隨機(jī)過程：

(7)

對于t∈[0,T],限制2αμ≥σ2，避免了短期利率可能為負(fù)數(shù)的問題。記市場風(fēng)險補(bǔ)償為：

(8)

式中：λ為市場風(fēng)險參數(shù)。假設(shè)零息債券價格是關(guān)于時間t和利率r的函數(shù)，債券的價格一定滿足下面的偏微分方程：

BCIR(rt,t,T)=A(t,T)exp(-H(t,T)rt)

(9)

式中：

θ=(α+λ+γ)(exp(γ(T-t))-1)+2γ

到期收益率為：

(10)

2 均衡模型的參數(shù)估計

記{rti,i=1,2…,N}為N個利率觀測時間序列，Δt表示觀測樣本點的等距時間間隔,將式(2)進(jìn)行歐拉方法離散化可得：

Δri=rti+Δt-rti=α(μ-rti)Δt+σεti

(11)

式中：εti表示均值為0，方差為Δt的白噪聲過程。

對漂移參數(shù)α、μ，可以構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，傳統(tǒng)的方法是通過非線性最小二乘擬合方法：

(12)

對式(7)離散化可得：

(13)

對漂移參數(shù)α、μ，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)利用非線性最小二乘法：

(14)

由式(11)和式(13)可知，Vasicek模型與CIR模型的歐拉離散形式的漂移項相同，擴(kuò)散項不同，在Vasicek模型與CIR模型中分別定義εt的方差為σ2,σ2rt。

利率同股票市場一樣, 存在明顯的波動聚集效應(yīng)，而波動率對利率的未來走勢有非常重要的影響。單因子Vasicek模型和CIR模型都能比較準(zhǔn)確地描繪市場利率的均值回歸現(xiàn)象, 卻無法解釋市場利率變動的非正態(tài)性、尖鋒性以及波動聚類效應(yīng)。隨機(jī)波動模型和GARCH模型可以顯著地提高單因子擴(kuò)散模型的擬合效果[6]。

Bollerslev在ARCH模型的基礎(chǔ)上提出了廣義異方差條件自回歸(GARCH)模型，其中最常用的是GARCH(1,1)模型[8]，對于一個對數(shù)收益率序列rt：

(15)

式中：0<α1,β1≤1,α1+β1<1。

本文使用GARCH(1,1)模型提高單因子均衡模型的擬合效果，均衡模型選擇CIR模型，參數(shù)估計的步驟如下：

Step1提取數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)正態(tài)性、平穩(wěn)性檢驗；

Step2 利用式(15)計算數(shù)據(jù)的條件波動率；

Step3利用最大似然估計法對式(13)中參數(shù)α、σ、μ進(jìn)行估計，似然函數(shù)為：

3 數(shù)據(jù)檢驗及仿真

3.1 數(shù)據(jù)來源及統(tǒng)計分析

受到文獻(xiàn)[8]啟發(fā)，對上文中構(gòu)造的模型進(jìn)行最大似然估計，然后通過MATLAB軟件進(jìn)行仿真。為檢驗?zāi)Ｐ偷挠行?，我們從同花順iFind數(shù)據(jù)庫下載了2010年1月4日至2017年4月28日的SHIBOR 8個品種的利率數(shù)據(jù)Ri(t,T)，i=1,2,…,8 ，利用式(16)將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利。

(16)

為了便于建模，對進(jìn)行描述性統(tǒng)計分析，并進(jìn)行了置信度95%的JB-Test檢驗，發(fā)現(xiàn)概率均小于0.05，即8種利率數(shù)據(jù)都不符合正態(tài)分布。如表1所示。

表1 SHIBOR短期利率基本統(tǒng)計特征

3.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

由于CIR模型的漂移項反映了數(shù)據(jù)向均值回復(fù)的特征，因此需要檢驗選擇的數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。

如圖1所示，我們采用ADF來檢驗數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)只有隔夜利率和一周利率數(shù)據(jù)在95%的置信度下是平穩(wěn)的，因此我們選用這兩個品種的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖1 SHIBOR隔夜利率與一周利率走勢圖

3.3 數(shù)據(jù)的異方差檢驗與波動率聚集效應(yīng)

均衡模型一般認(rèn)為隨機(jī)項的方差不是常數(shù)，因此在進(jìn)行均衡模型參數(shù)估計時需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行異方差檢驗。通過懷特異方差檢驗發(fā)現(xiàn)，隔夜利率和一周利率數(shù)據(jù)都存在異方差性，因此用傳統(tǒng)的最小二乘法估計模型的參數(shù)，估計量不是有效估計量，也不是漸近有效的估計量，無法對模型參數(shù)進(jìn)行有關(guān)顯著性檢驗。通過對隔夜利率和一周利率數(shù)據(jù)進(jìn)行Ljung-Box Q-test檢驗，發(fā)現(xiàn)這兩類數(shù)據(jù)具有明顯的ARCH效應(yīng)。如圖2所示。

圖2 SHIBOR隔夜利率與一周利率殘差平方

3.4 GARCH(1,1)模型方程

經(jīng)過計算，對于隔夜利率，均值方程為：

rt=0.4139+0.9821rt-1+εt(0.096) (0.003 8)

(17)

條件方差方程為：

(18)

對于一周利率數(shù)據(jù)，均值方程為：

rt=0.0579+0.975rt-1+εt(0.003 8)(0.001 6)

(19)

條件方差方程為：

(20)

圖3 隔夜利率與一周利率GARCH-CIR模型仿真圖

4 結(jié) 語

在利率市場化改革的進(jìn)程中, 如何確定市場基準(zhǔn)利率十分重要。同時利率風(fēng)險是投資者面臨的一個重要風(fēng)險, 通過對利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)估計與仿真, 可以對未來利率變動進(jìn)行一個比較有效的預(yù)測, 從而為投資者的保值和風(fēng)險管理提供有用的信息。本文主要從單因子均衡模型出發(fā)，利用GARCH(1,1)模型估計SHIBOR短期利率的隨機(jī)波動率，建立了CIR-GARCH模型。通過極大似然估計方法對CIR的參數(shù)進(jìn)行了估計，并對過去7年多時間的SHIBOR短期利率進(jìn)行了仿真研究，為投資者規(guī)避利率風(fēng)險提供了一種參考方法。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 劉洪愧,王治國,鄒恒甫.貨幣政策對短期市場利率動態(tài)過程的影響——基于SHIBOR的實證研究[J].當(dāng)代經(jīng)濟(jì)科學(xué),2016,38(2):30-40.

[2] 羅孝玲,黃玲英,陳曉紅.利率期限結(jié)構(gòu)的三因子高斯動態(tài)模型及應(yīng)用[J].中國管理科學(xué),2015,23(5):7-13.

[3] Vasicek O.An equilibrium characterization of the term structure[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis,1977,5(4):177-188.

[4] Cox J C,Ingersoll J E,Ross S A.A Theory of the Term Structure of Interest Rates[J].Econometrica,1985,53(2):385-407.

[5] 洪永淼,林海.中國市場利率動態(tài)研究——基于短期國債回購利率的實證分析[J].經(jīng)濟(jì)學(xué),2006,5(2):511-532.

[6] Fornari F,Mele A.Approximating volatility diffusions with CEV-ARCH models[J].Journal of Economic Dynamics & Control,2006,30(6):931-966.

[7] Nelson D B.Stationarity and Persistence in the GARCH(1,1) Model-Modelling Stock Market Volatility-2[J].Econometric Theory,1990,6(3):318-334.

[8] 張興發(fā),李元.一類GARCH-M模型的擬極大指數(shù)似然估計[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2016,39(3):321-333.