李森城

化歸方法是研究數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是數(shù)學(xué)方法論中研究的一種最基本、最典型的方法?；瘹w方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用概括起來即為化未知為已知，化數(shù)為形，化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題等三個(gè)方面?；瘹w方法在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用廣泛，特別是在高考數(shù)學(xué)的解答題中，如在三角函數(shù)，立體幾何，數(shù)列題，解析幾何，應(yīng)用題中等等。

一、化歸方法在三角函數(shù)題中的運(yùn)用

三角函數(shù)是高中的重要知識點(diǎn)，因?yàn)樗N(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而化歸方法在三角函數(shù)中運(yùn)用非常普遍。學(xué)生掌握好化歸方法，將對解三角函數(shù)問題有很大的幫助?；瘹w方法在三角函數(shù)中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在化未知為已知。已知和未知是相對的。在一定的條件下，未知和已知可以相互轉(zhuǎn)化，也就是說未知可以轉(zhuǎn)化為已知，已知也可轉(zhuǎn)化為未知，這種解法上的轉(zhuǎn)變，往往可幫助我們找到解題的方向。

例1已知 ，若 ，且 ， ，求 。

分析 該題若將 轉(zhuǎn)化為[ -（ - ）]，再運(yùn)用公式展開，則容易求解。

解 ∵ ， sin = ，∴cos =

∵

三角函數(shù)解答題往往是高考解答題的第一題，難度一般不大，涉及的知識點(diǎn)較多，考生需熟練掌握相關(guān)的公式和性質(zhì)。解答三角函數(shù)最常用的數(shù)學(xué)方法即化歸方法。在解答三角函數(shù)題時(shí)，我們不要急于利用公式對函數(shù)進(jìn)行化簡，先想想能否通過已知的條件或者隱含的條件，把未知化為已知，從而找到解決問題的簡便方法。

二、化歸方法在立體幾何題中的運(yùn)用

立體幾何是高考的必考知識點(diǎn)，有些學(xué)生的空間思維不好，對于一些較難的立體幾何題無從下手。有些立體幾何題往往存在一些捷徑，知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用是其中的關(guān)鍵，而化歸方法就是其中的一個(gè)捷徑。對于有些立體幾何題，我們往往可以通過化歸把問題變得簡單，進(jìn)而快速找到解決問題的方法。化歸方法在立體幾何中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在求異面直線的夾角，求錐體的體積和線線、線面垂直的證明等等。

例2 已知在正方體 中， ， 為棱 的中點(diǎn)，求三棱錐 的體積。（見圖1）

分析 由于三棱錐 的高不易求出，而三棱錐 的高容易求出。因此，我們可以把求三棱錐 的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐 的體積。

解 根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知 為三棱錐 的高

為棱 的中點(diǎn) ， =1

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，從平面幾何到立體幾何是一個(gè)難度較高的臺階。因此，立體幾何成為初中數(shù)學(xué)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一道障礙。利用化歸方法來解立體幾何問題是一種很有力的工具。我們在解立體幾何題時(shí)，應(yīng)當(dāng)熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運(yùn)用這個(gè)工具。

三、化歸方法在數(shù)列題中的運(yùn)用

數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一。求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法多種多樣，分析、推理能力要求較高。不少既非等差又非等比的數(shù)列，卻可以通過適當(dāng)?shù)淖冃?，化歸為一個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列或一個(gè)較為容易求出通項(xiàng)的數(shù)列，進(jìn)而再求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。構(gòu)造法是求解數(shù)列通項(xiàng)中常用的化歸方法。構(gòu)造的途徑有多種多樣，我們需具體問題具體分析。

例3 已知數(shù)列 中， ， ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。

分析：首先對 兩邊取倒，可得到 的通項(xiàng)公式。那么求數(shù)列 的通項(xiàng)公式就化歸為先求 的通項(xiàng)公式。

解 對 兩邊取倒，得 =

即 ，那么數(shù)列 是一個(gè)以首項(xiàng)為 ，公差 的等差數(shù)列

則

由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的情況很復(fù)雜，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最常用的方法就是化歸方法。求數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們應(yīng)該立足于等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)，借助倒數(shù)關(guān)系、對數(shù)關(guān)系、函數(shù)關(guān)系等，進(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化、化歸，就能很好的解決問題。

四、化歸方法在解析幾何題中的運(yùn)用

解析幾何一直是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識。在高中課本中解析幾何包括直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等相關(guān)知識。初學(xué)者必須非常熟悉這些知識的基本內(nèi)容和它們的相關(guān)性質(zhì)。對于高三的學(xué)生需要進(jìn)一步掌握解析幾何中曲線之間的知識銜接和整合性問題，解決難度較大的綜合性的題目。在做解析幾何的題目時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)通過思想方法看到解析幾何最值、范圍類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即通過轉(zhuǎn)化，化歸，利用數(shù)形結(jié)合來解決問題。

例4 已知實(shí)數(shù) 滿足圓方程 ，求 的取值范圍。

分析 對 進(jìn)行變形，得 把求 的取值范圍化歸為圓 上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) 的連線的斜率的取值范圍。

解 令 則 可看作圓 上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) 的連線的斜率，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，設(shè)直線方程為 ，即

圓心到直線的距離 解得

解析幾何的基本思想就是利用代數(shù)的方法來研究幾何，最基本的做法即把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)的知識解決后，再到幾何中去。所以，化歸方法是解答解析幾何題的基本方法。通過化歸，利用數(shù)形結(jié)合即可得到問題的答案。五、化歸方法在實(shí)際問題中的運(yùn)用

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，教育改革的不斷深化，其他相關(guān)學(xué)科及生活、生產(chǎn)實(shí)際都離不開數(shù)學(xué)知識，它們與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系更為緊密。在近幾年的高考中，對應(yīng)用題的考察頻頻出現(xiàn)，而解決應(yīng)用題的關(guān)鍵在于把實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題。

化歸方法在實(shí)際問題中的作用越來越重要。在實(shí)際生活中，所謂的化歸方法解決實(shí)際問題就是建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過求解數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。

在解題過程中，運(yùn)用化歸方法，可把未知的問題化歸為已知的問題、把復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題、把非常規(guī)的問題化歸為常規(guī)的問題，使問題變得簡單，從而得到解決。中學(xué)生如果掌握了化歸方法的使用，就能從更深層次上揭示知識與知識間的內(nèi)部聯(lián)系，進(jìn)而提高他們分析問題、解決問題的能力。