杜 娟,王 華

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010021)

1 引言與預(yù)備知識

廣義逆理論是非常重要的研究領(lǐng)域之一,它在求解奇異微分和差分方程、算子方程、馬爾可夫鏈、迭代法數(shù)值分析等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用.特別在求解微分方程組時,矩陣的廣義逆發(fā)揮著重要作用,例如給定一類一階奇異系統(tǒng)方程

其中A為奇異矩陣.其通解可表示為

其中 A1=(λA+B)?1A,B1=(λA+B)?1B[1].

20世紀(jì)以來,學(xué)者們對廣義逆理論中的矩陣的Drazin逆的研究最為活躍.1958年,Drazin[2]在半群與結(jié)合環(huán)上引入Drazin逆,并在兩個矩陣P和Q滿足PQ=QP=0的條件下,證明出了(P+Q)D=PD+QD.對于算子情形,2009年,Castro-Gonz′alez[3]等在P2Q=PQ2=0條件下討論了P+Q的Drazin可逆性,并給出了(P+Q)D的表達式;同年,鄧春源[4]在P,Q均為冪等算子,且滿足三個不同條件PQP=0,PQP=PQ,PQP=P時給出了(P+Q)D的表達式;2011年,Cvetkovi′c[5]等在PQP=0,Q2P=0的條件下,給出了(P+Q)D的表達式;2014年,黃俊杰[6]等在P2Q+PQ2=0,P3Q=PQ3=0的條件下給出了(P+Q)D的表達式.對于P,Q為矩陣情形，學(xué)者魏益民[7]、Hartwig[8]、卜長江[9]、劉喜富[10]等獲得了很多好的結(jié)果.

為便于敘述,文中通篇采用如下的假設(shè)及符號.設(shè)X,Y是復(fù)Banach空間,記B(X,Y)是從X到Y(jié)的所有有界線性算子的集合;B(X)是從X到X的所有有界線性算子的集合;對于A∈B(X,Y),ρ(A),σ(A),r(A)分別表示其預(yù)解集,譜集,譜半徑;R(λ,A)表示算子A的預(yù)解式 (λI ? A)?1.

下面給出本文用到的定義和引理.

定義1.1設(shè)A∈B(X),若存在AD∈B(X),使得算子方程組

對某個非負整數(shù)k成立,則稱A是Drazin可逆的.對于上述方程組,若有解,則解必定唯一,這個唯一的解AD稱為A的Drazin逆,并稱使得方程組成立的最小非負整數(shù)k為A的指標(biāo),記為ind(A).當(dāng)ind(A)=0時,A是可逆的,即AD=A?1.

引理1.2[11]設(shè)A∈B(X,Y),B∈B(Y,X),如果BA為Drazin可逆,那么AB也為Drazin可逆,且

引理1.3[12]設(shè)A∈B(X),則AD存在當(dāng)且僅當(dāng)0∈ρ(A)或0∈σ(A)為預(yù)解式R(λ,A)的一個極點,此時有

其中0＜ |λ|＜(r(AD))?1,Aπ=I?AAD,I是單位算子.

注由引理1.3可知,A的Drazin逆AD就是R(λ,A)的Laurent展開式中?λ0的系數(shù),即

2 主要結(jié)果

引理2.1設(shè)P,Q∈B(X,Y)均是Drazin可逆的,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若P5Q=0,P2Q+PQ2=0,PQPQ=0,則

其中 0 ＜ |λ|＜ min((r(PD))?1,(r(QD))?1), Δ(λ)= λI ? Q ? R(λ,P)PQ.

證 由P5Q=0,知PDQ=0,進而PπPQ=PQ.再由P2Q+PQ2=0,知

從而當(dāng) 0 ＜ |λ|＜ (r(PD))?1時,由 (1.1)式,知

注意到PQ3=P3Q,PQPQ=0,可知PQ3PQ=P3QPQ=0.由此

由(PQ)2=0以及(PQ3)2=0,知PQ,PQ3是Drazin可逆的,且(PQ)D=0,(PQ3)D=0,則

于是,當(dāng) 0 ＜ |λ|＜ min((r(PD))?1,(r(QD))?1)時,

結(jié)論得證.

其中 0 ＜ |λ|＜ min((r(PD))?1,(r(QD))?1).

證令 ρ(Δ)={λ ∈ C:Δ(λ)可逆}.顯然,ρ(M)Tρ(P)= ρ(P)Tρ(Δ).則當(dāng) λ ∈ρ(M)∩ρ(P)時,

由(2.3),(2.1),(2.2)式,以及PQPQ=0,有

于是,便有

引理得證.

引理2.3設(shè)P,Q∈B(X,Y)均是Drazin可逆的,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若P5Q=0,P2Q+PQ2=0,PQPQ=0,則下列結(jié)論成立.

(i)R(λ,Q)R(λ,P)的Laurent展開式中?λ0的系數(shù)為

(ii)λ?2R(λ,Q)PQR(λ,P)的 Laurent展開式中 ?λ0的系數(shù)為

(iii)λ?4R(λ,Q)PQ3R(λ,P)的 Laurent展開式中 ?λ0的系數(shù)為

(iv)R(λ,Q)(I+λ?2PQ+λ?4PQ3)R(λ,P)的Laurent展開式中?λ0的系數(shù)為U?V+W,其中

證根據(jù)R(λ,P)和R(λ,Q)的Laurent展開,即可得到(i),(ii),(iii)中的結(jié)論.又注意到

這樣便由(i),(ii),(iii)可得結(jié)論(iv).

定理2.4設(shè)P,Q∈B(X,Y)均是Drazin可逆的,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若P5Q=0,P2Q+PQ2=0,PQPQ=0,則P+Q是Drazin可逆的,且

其中U,V,W見引理2.3.

注意到 (I+ λ?2PQ+ λ?4PQ3)R(λ,P)和 R(λ,Q)(I+λ?2PQ+λ?4PQ3)的 Laurent展開式中?λ0的系數(shù)分別為PD+PQ(PD)3+PQ3(PD)5和QD+(QD)3PQ+(QD)5PQ3.于是,由引理1.3和引理2.2,有

由PDQ=0,PQD=0,以及PPD=PDP知

定理得證.

由定理2.4,有如下推論.

推論2.5設(shè)P,Q∈B(X,Y)為Drazin可逆,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若PQ=0,則

推論2.6設(shè)P,Q∈B(X,Y)為Drazin可逆,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若P5Q=0,P2Q+PQ2=0,PQP=0,則

推論2.7設(shè)P,Q∈B(X,Y)為Drazin可逆,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若P5Q=0,P2Q+PQ2=0,QPQ=0,則

推論2.8設(shè)P,Q∈B(X,Y)為Drazin可逆,且ind(P)=t,ind(Q)=s.若P3Q=0,P2Q+PQ2=0,PQPQ=0,則

3 應(yīng)用

定理3.1若A2B=ABCB=CBCB=0,CAB+DCB=0,則算子矩陣M 是Drazin可逆的,且

其中

由此,根據(jù)已知條件,有P3Q=0,P2Q+PQ2=0,PQPQ=0.又由引理1.4,有

定理得證.

推論3.2[14]若A2B=0,BCB=0,CAB=0,DCB=0,則

推論3.3若A2B=CB=CAB=0,則

推論3.4[15]若AB=CB=0,則

參考文獻

[1]Campbell S L.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations[J].Linear Multi-linear Alg.,1983,14:195–198.

[2]Drazin M P.Pseudoinverses in associative rings and semigroups[J].Amer.Math.Month.,1958,65:506–514.

[3]Castro-Gonz′alez N,Dopazo E,Martlnez-Serrano M F.On the Drazin inverse of the sum of two operators and its application to operator matrices[J].Math.Anal.Appl.,2009,350:207–215.

[4]Deng C Y.The Drazin inverse of the sum and difference of idempotents[J].Linear Alg.Appl.,2009,430:1282–1291.

[5]Cvetkovi′c A S,Milovanovi′c G V.On Drazin inverse of operator matrices[J].Math.Anal.Appl.,2011,375:331–335.

[6]Huang J J,Shi Y F,Chen A.Additive results of the Drazin inverse for bounded linear operators[J].Compl.Anal.Oper.The.,2014,8:349–358.

[7]Hartwig R E,Wang G R,Wei Y M.Some additive results on Drazin inverse[J].Linear Alg.Appl.,2001,322:207–217.

[8]Patricio P,Hartwig R E.Some additive results on Drazin inverses[J].Appl.Math.Comput.,2009,530–538.

[9]Bu C J,Feng C C,Bai S Y.Representations for the Drazin inverses of the sum of two matrices and some block matrices[J].Appl.Math.Comput.,2012,218:10226–10237.

[10]Yang H,Liu X F.The Drazin inverse of the sum of two matrices and its applications[J].Comput.Appl.Math.,2011,235:1412–1417.

[11]Wang G R,Wei Y M,Qiao S Z.Generalized inverses:theory and computations[M].Beijing:Grad.Ser.Math.Sci.Press,2003.

[12]Caradus S R.Operators theory of the generalized inverse[M].Queen’s Papers Pure Appl.Math.,Vol.38,Queen’s Univ.,Kingstom:Ontario,1974.

[13]Meyer C D,Rose N J.The index and the Drazin inverse of block triangular matrices[J].SIAM J.Appl.Math.,1977,33:1–7.

[14]Abdul Shakoor.矩陣和、分塊矩陣與修正矩陣的Drazin逆[D].重慶:重慶大學(xué),2014.

[15]Cvetkovi′c-Ili′c D S.A note on the representation for the Drazin inverse of 2 × 2 block matrices[J].Linear Alg.Appl.,2008,429:242–248.

[16]Huang J J,Shi Y F,Alatancang.The representation of the Drazin inverse of anti-triangular operator matrices based on resolvent expansions[J].Appl.Math.Comput.,2014,242:196–201.

[17]Cui R P,Li X L,Gao J L.The Drazin inverse of a modi fied matrix A?CB[J].J.Math.,2014,34(1):12–16.