曾 輝，王 倩 ，夏學(xué)文 ，方 霞 ，5

1.新疆工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，烏魯木齊 830023

2.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830017

3.華東交通大學(xué) 軟件學(xué)院，南昌 330013

4.華東交通大學(xué) 智能優(yōu)化與信息處理研究所，南昌 330013

5.加拿大薩斯卡切溫大學(xué) 地理與規(guī)劃系，加拿大 薩斯卡通 SK S7N5C8

1 引言

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization algorithm，PSO）是Kenndy和Eberhart于1995年提出的一種演化算法[1]。在算法的優(yōu)化過程中，粒子依據(jù)自身和鄰居的經(jīng)驗(yàn)信息對(duì)飛行方向和步長(zhǎng)進(jìn)行調(diào)整。盡管單個(gè)粒子的搜索模式非常簡(jiǎn)單，但是由于粒子間的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的存在，整個(gè)種群的搜索表現(xiàn)非常復(fù)雜而智能。粒子群算法概念簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、智能高效，得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。

粒子群算法尋找全局最優(yōu)解的能力主要取決于兩個(gè)特征：探測(cè)性和開采性[4-5]，但這兩者之間存在著矛盾[6]。探測(cè)能力在多峰函數(shù)上表現(xiàn)更好，但在單峰函數(shù)上性能欠佳。相反，開采能力對(duì)單峰函數(shù)來說就比較重要。于是針對(duì)特定的問題可對(duì)算法的探測(cè)能力或開采能力進(jìn)行改進(jìn)[7]。但是現(xiàn)實(shí)中獲得具體問題的特征非常困難。

許多研究對(duì)探測(cè)能力和開采能力進(jìn)行折衷，以提高PSO算法的綜合性能[8-9]。其共同特點(diǎn)是在進(jìn)化的早期保持種群的多樣性，在后期加速其收斂速度。受此啟發(fā)，本文提出一種基于自適應(yīng)多種群的粒子群優(yōu)化算法（PSO-SMS）。算法在演化的初始階段將整個(gè)種群劃分為多個(gè)子群，然后使用三種模塊提高算法的性能。實(shí)驗(yàn)對(duì)比表明，PSO-SMS算法在解決不同類型的函數(shù)優(yōu)化問題上表現(xiàn)突出。

2 相關(guān)工作

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

在粒子群算法中，每個(gè)粒子都被看成是一個(gè)潛在的解，種群的飛行軌跡被看作是算法的一個(gè)連續(xù)優(yōu)化過程。在每一代中，第i個(gè)粒子與兩個(gè)向量相關(guān)，位置向量Xi=[xi,1,xi,2,…,xi,D]和速度向量Vi=[vi,1,vi,2,…,vi,D],其中，D表示問題的維數(shù)。Xi表示問題的一個(gè)候選解，Vi表示第i個(gè)粒子的搜索方向和步長(zhǎng)。在進(jìn)化過程中，每個(gè)粒子依據(jù)其歷史最好位置向量Pbi=[pbi,1,pbi,2,…,pbi,D]和鄰居的歷史最好位置向量Nbi=[nbi,1,nbi,2,…,nbi,D]來調(diào)整飛行軌跡。第i個(gè)粒子的速度和位置更新規(guī)則分別定義為公式（1）和（2）。

其中，w代表慣性權(quán)重，確定速度的存量；c1和c2為加速因子，表示 pbi與nbi的相對(duì)學(xué)習(xí)權(quán)重。r1、r2是區(qū)間[0，1]上的隨機(jī)數(shù)；和分別表示t代種群中第i粒子在第 j維上的位置和速度。

2.2 粒子群算法研究現(xiàn)狀

粒子群算法發(fā)展了多種變異形式，大致可分為參數(shù)調(diào)整、學(xué)習(xí)榜樣的選擇和混合策略等3類。

Shi和Eberhart于1998年提出的一種線性遞減的w新規(guī)則[10]，目前該策略仍然被很多PSO算法所采用。此外，有學(xué)者對(duì)PSO的另兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，即加速因子c1和c2，也進(jìn)行了類似的改進(jìn)，提出了時(shí)變加速因子PSO算法（HPSO-TVAC）[9]。為進(jìn)一步對(duì)算法涉及的參數(shù)進(jìn)行更為合理的調(diào)整，Zhan等提出了一種自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法（APSO）[11]，其參數(shù)w、c1和c2的調(diào)節(jié)主要依賴于種群分布和粒子的適應(yīng)值而不是迭代次數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在單峰和多峰問題中都具有比較可靠的性能。

通過調(diào)整鄰居拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來改變學(xué)習(xí)榜樣在近年來也涌現(xiàn)出較好的成果。如譚陽等人[12]將PSO中的全局最優(yōu)解擴(kuò)展為由多個(gè)精英粒子組成的精英子群，精英粒子間采用了排異策略，同時(shí)采用適應(yīng)值競(jìng)爭(zhēng)策略指導(dǎo)整個(gè)粒子群，以保證種群多樣性。Zhan等提出了一種正交學(xué)習(xí)粒子群算法[13]（OLPSO），使用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法將粒子的最優(yōu)解和鄰居的最優(yōu)解合成為一種更有效的樣本。此外，許多研究結(jié)果也表明，動(dòng)態(tài)種群結(jié)構(gòu)[14-16]和自適應(yīng)[17]學(xué)習(xí)框架均能有效提高算法的全局能力，在一定程度上克服了PSO的早熟現(xiàn)象。

考慮到不同算法和搜索策略都有其各自的優(yōu)點(diǎn)，混合策略也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。例如，采用遺傳算子[18]和局部搜索策略[14，19]可分別提高種群多樣性和加快收斂速度。Xin等提出了一種基于差分進(jìn)化（DE）的混合粒子群優(yōu)化算法DEPSO[20]。DE和PSO的雜交算法[21]表明雜交策略解決了單一算法的某些缺陷。文獻(xiàn)[22-23]則是將粒子群算法和人工蜂群算法（ABC）進(jìn)行雜交。

盡管將PSO算法的變異情況分成了三種不同的類型，但在實(shí)際中常常會(huì)將各種類型結(jié)合起來應(yīng)用[24-25]。如在Frankenstein的PSO算法[26]中（本文中簡(jiǎn)記為FPSO），使用了一個(gè)隨時(shí)間衰減的慣性權(quán)重和時(shí)變的種群拓?fù)鋬煞N策略。

3 基于自適應(yīng)多種群的粒子群優(yōu)化算法

在PSO-SMS算法中，種群在初始演化階段分成許多同等規(guī)模的子種群。各小型子群根據(jù)公式（1）與公式（2）使用自身的成員并行去尋找更優(yōu)的域。將局部PSO算法（LPSO）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[8]應(yīng)用于各個(gè)子群，同時(shí)引入了重組、調(diào)整子群規(guī)模和探測(cè)模塊等三個(gè)模塊。新引入模塊的詳細(xì)描述如下。

3.1 重組模塊

PSO-SMS選擇由全部種群中得到的最優(yōu)位置的連續(xù)停滯代數(shù)Staggbest作為算法的一個(gè)重組準(zhǔn)則。此時(shí)，種群可以不必等待一個(gè)預(yù)定義的重組期，在停滯超過一個(gè)閾值時(shí)可及時(shí)重組?？紤]到較大子群中包括最優(yōu)粒子在內(nèi)的每個(gè)粒子在從其他粒子中完整提取有益信息可能需要更多代，設(shè)置Staggbest=「」gsm/2為閾值，gsm代表各子群的種群規(guī)模。如每個(gè)子群的粒子數(shù)為10，種群將在 Staggbest超過5時(shí)重組。LPSO拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的信息擴(kuò)散過程描述如圖1。

圖1 LPSO拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的信息擴(kuò)散過程

3.2 調(diào)整子群規(guī)模模塊

演化開始時(shí)，種群被劃分為許多較小的子群，通常每個(gè)子群只包含兩個(gè)粒子。隨著演化的進(jìn)行，各子群的規(guī)模逐漸增大，數(shù)量相應(yīng)減少。演化的最后階段將其合并為一個(gè)種群。可使得進(jìn)化過程的初始階段保持種群多樣性，因?yàn)檎麄€(gè)種群之間的知識(shí)擴(kuò)散速度非常慢。相反，種群規(guī)模的逐漸增大使得知識(shí)流動(dòng)隨著進(jìn)化過程越來越快，這有利于優(yōu)化后期的開采能力。

本文中所有子群在每一代的規(guī)模均相同，即每個(gè)子群的規(guī)模必是總種群規(guī)模的一個(gè)因子。若種群規(guī)模為N=30，則各子群的規(guī)模選自整數(shù)集N={2,3,5,6,10,15}每個(gè)元素都是N的一個(gè)因子。同時(shí)，將子群規(guī)模調(diào)整的時(shí)機(jī)安排在 k個(gè)適應(yīng)值評(píng)估（FEs）中(k=MaxFEs/|N|)，| N |代表N中元素的個(gè)數(shù)。在不同的演化階段的總種群（即在子群規(guī)模不同的情況下）分配給相同的FEs。這一方案可使種群保持平穩(wěn)的調(diào)整過程。

此外，從種群獲得的全局最優(yōu)位置GB周期性地執(zhí)行一個(gè)局部搜索算子，可以提高求解精度。于是，在子群規(guī)模調(diào)整之后，對(duì)GB采用擬牛頓法進(jìn)行改良[14-15]。為簡(jiǎn)化起見，BFGS擬牛頓法由MATLAB中的“fminunc”函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)GB每一次在子群規(guī)模調(diào)整之后執(zhí)行局部搜索算子時(shí)，對(duì)算子執(zhí)行[0.10?fes]次適應(yīng)值評(píng)估，fes是種群業(yè)已消耗的適應(yīng)值評(píng)估次數(shù)。這樣，在后期演化階段將對(duì)局部搜索算子進(jìn)行更多的適應(yīng)值評(píng)估，可增強(qiáng)局部搜索能力，提高解的精度。

3.3 探測(cè)模塊

探測(cè)模塊需要考慮的第一個(gè)問題是如何選擇有用的信息。為了方便地收集信息和執(zhí)行探測(cè)算子，將函數(shù)每個(gè)維度的搜索空間劃分為滿足以下條件的多個(gè)小區(qū)域：

Si是第i維全部搜索空間；Rn為子區(qū)域數(shù)；與分別是第i維的第 j與第k子區(qū)域(1≤j,k≤Rn)。

基于此劃分方案，可以很容易地確定GB每一維屬于哪一子區(qū)域，以及GB可以探測(cè)哪一子區(qū)域。探測(cè)算子最簡(jiǎn)單的方法是GB隨機(jī)選擇某個(gè)子區(qū)域執(zhí)行探測(cè)。但如果選擇一個(gè)更合適的子區(qū)域進(jìn)行探測(cè)而非隨機(jī)地選擇，將會(huì)更有效地跳出局部最優(yōu)。本文利用每一個(gè)體的歷史最好位置pbi來指導(dǎo)GB探測(cè)合適的子區(qū)域。為簡(jiǎn)單起見，記錄所有粒子的歷史最優(yōu)位置落入特定子區(qū)域中的次數(shù)。定義子區(qū)域的優(yōu)值如下：

ME(1≤i≤D,1≤j≤R)為第i維第 j子區(qū)域的n優(yōu)值；pbk,i(1≤i≤D,1≤k≤N)為第k個(gè)粒子歷史最優(yōu)位置的第i維度值；N、D與Rn分別是種群規(guī)模、維數(shù)與子區(qū)域數(shù)。

第二個(gè)問題是GB何時(shí)執(zhí)行探測(cè)算子。本文中在調(diào)整子群規(guī)模時(shí)利用子區(qū)域的優(yōu)化來指導(dǎo)GB執(zhí)行探測(cè)算子。

最后，如何根據(jù)優(yōu)值來指導(dǎo)探測(cè)算子的執(zhí)行。為此，針對(duì)一個(gè)固定的i值將子區(qū)域分為三種類型：（1）優(yōu)越子區(qū)域，具有最大的ME值；（2）不良子區(qū)域，具有最小的ME值；（3）優(yōu)化子區(qū)域，既無最大亦無最小ME值。當(dāng)GB的第i維度值（本文用GBi表示）位于第i維的優(yōu)越子區(qū)域時(shí)，GB將探測(cè)第i維的一個(gè)不良子區(qū)域，進(jìn)而執(zhí)行一個(gè)置換算子（將在后文介紹）。因?yàn)榘?GB在內(nèi)的所有個(gè)體都從未或者極少進(jìn)入不良區(qū)域，如果這一子區(qū)域中存在一個(gè)全局最優(yōu)解，使GB探測(cè)不良子區(qū)域或許可以得到一個(gè)有效算子。即使此不良子區(qū)域中不存在全局最優(yōu)解，這一操作也僅浪費(fèi)一次適應(yīng)值評(píng)估。另兩種情形，即GBi落入不良子區(qū)域、優(yōu)化子區(qū)域的情況，GB并不執(zhí)行探測(cè)算子，此時(shí)其他粒子可以指導(dǎo)它的飛行。

置換算子采用貪心策略。僅當(dāng)探測(cè)到的新位置有助于提高最初的GB性能時(shí)，GBi才會(huì)被新位置所取代。

考慮到不同時(shí)期的統(tǒng)計(jì)信息可能會(huì)導(dǎo)致GBi探測(cè)到同一子區(qū)域，使其失去一次發(fā)現(xiàn)其他子區(qū)域的機(jī)會(huì)，因此對(duì)GBi采用基于禁忌的探測(cè)策略。如當(dāng)GBi探測(cè)第i維的第 j子區(qū)域之后，這一子區(qū)域被設(shè)置禁忌標(biāo)簽tabui,j，其值為1。此時(shí)這一區(qū)域不再被GBi探測(cè)，直到tabui,j的值重置為0。當(dāng)?shù)趇維所有的禁忌標(biāo)志tabui,j都被設(shè)置為1時(shí)，這些禁忌標(biāo)簽會(huì)一次性重置為0。即當(dāng)GBi在所有子區(qū)域執(zhí)行探測(cè)后，tabui,j(1≤j≤Rn)將被重置為0；同時(shí)記錄新的統(tǒng)計(jì)信息。

第i維的探測(cè)操作如算法1所示。

算法1探測(cè)（）

1.TmpGB=GB；

2.Fori=1toN Do

3. Iftmpgbi在一個(gè)較好的子區(qū)域內(nèi)Then/*tmpgbi是TmpGB的第i個(gè)值*/

4. tmpgbi被一較差區(qū)域的一個(gè)隨機(jī)值取代，此時(shí)，tabui;k=0；

5. 評(píng)估TmpGB；

6. If TmpGB好于GB Then

7. GB=TmpGB；impi=1；

8. Else

9. impi=0；

10. End If

11. tabui;k=1；

12. If所有的tabui;k1≤k≤Rn都等于1 Then

13. 設(shè)置所有tabui;k1≤k≤Rn等于0；

14. End If

15.End If

16.End For

探測(cè)算子完成后，GB進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的逐維置換算子。為了保留探測(cè)的良好結(jié)果，只選擇那些GB并沒有探測(cè)出有前途的值的維度來執(zhí)行置換。置換操作詳見算法2。

算法2置換（）

1.TmpGB=GB；在種群中隨機(jī)選擇一個(gè)粒子Xi；

2.For TmpGB的每一個(gè)維度的值tmpgbjDo

3. Ifimpj==0Then

4. tmpGbj=xi,j//tmpGbj是TmpGB的第 j維

5. 評(píng)估TmpGB；

6. fes++；

7. If TmpGB較Gb好 Then

8. GB=TmpGB；

9. End If

10. End If

11.End For

3.4 PSO-SMS框架

綜上所述，PSO-SMS算法流程如圖2所示。

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為驗(yàn)證PSO-SMS在不同環(huán)境中的表現(xiàn)，對(duì)CEC2013測(cè)試集中的20個(gè)函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，包括5個(gè)單峰函數(shù)(f1～f5)和15個(gè)多峰函數(shù)(f6～f20)。測(cè)試函數(shù)的具體內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[27]。

本文選取了近十年內(nèi)涌現(xiàn)的7個(gè)PSO算法作為對(duì)比算法，具體包括DMSPSO[15]、F-PSO[26]、OLPSO[13]、SLPSO[17]、PSODDS[28]、SL_PSO[29]及 HCLPSO[30]。各對(duì)比算法的參數(shù)設(shè)置與原文一致，詳情可參考相應(yīng)的文獻(xiàn)，這里不再贅述。測(cè)試函數(shù)的變量維數(shù)與最大適應(yīng)值評(píng)估次數(shù)(MaxFEs)分別設(shè)置為30和300 000。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖2 PSO-SMS算法流程圖

實(shí)驗(yàn)中，所有30維問題的PSO算法種群規(guī)模與在原始文獻(xiàn)中應(yīng)用的規(guī)模相同。每個(gè)算法對(duì)所有測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行100次。結(jié)果如表1、表2所示。

4.2.1 單峰函數(shù)

表2中對(duì)第一組的5個(gè)單峰函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)。所有算法對(duì) f1和 f5均表現(xiàn)出了較好的性能，其中包括PSO-SMS在內(nèi)的4種算法在100次運(yùn)行中實(shí)現(xiàn)了f1的全局最優(yōu)。

均值方面，PSO-SMS給出了 f2的最優(yōu)和 f4的次優(yōu)結(jié)果，對(duì) f3欠佳。中值方面，DMSPSO表現(xiàn)最好，其在3個(gè)單峰函數(shù)上均給出了最精確的解。PSO-SMS在 f1、f2和 f4上也取得了很好的性能。

雖然PSO-SMS與DMSPSO都具有多種群結(jié)構(gòu)特性，但PSO-SMS對(duì) f1和 f5的作用比DMSPSO弱，因PSO-SMS中種群較大且探測(cè)算子耗費(fèi)較多的評(píng)估過程（在這兩個(gè)簡(jiǎn)單問題中無局部最優(yōu)）。相反，由于 f2、f3和 f4這三個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試問題均具有平滑的局部不規(guī)則性，PSO-SMS給出了較DMSPSO更好的綜合性能。比較結(jié)果驗(yàn)證了探測(cè)算子對(duì)該類適應(yīng)度景觀的有效性。

表1 15個(gè)多峰函數(shù)的比較結(jié)果

4.2.2 多峰函數(shù)

表1中對(duì)15個(gè)多峰問題的比較結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)，從均值和中值來看，PSO-SMS都獲得了非常滿意的性能。

對(duì)于 f8、f9、f16和 f20，大多數(shù)算法在均值這一指標(biāo)上取得了相近的結(jié)果?？紤]到這些算法的種群大小不同，可認(rèn)為多數(shù)算法在這幾個(gè)多峰問題上具有幾乎相同的性能。DMSPSO、PSO-SMS和SLPSO在多峰函數(shù)上的整體綜合性能較之其他算法更好。其中，PSO-SMS在最優(yōu)均值方面取得了更好的結(jié)果。

表2 5種單峰函數(shù)的比較結(jié)果

5 結(jié)束語

本文提出了一種粒子群算法的變種，基于自適應(yīng)多種群的粒子群算法PSO-SMS。算法將整個(gè)種群分為若干子種群，同時(shí)將重組模塊、調(diào)整子種群規(guī)模和探測(cè)模塊引入到算法中以提高綜合性能。

為驗(yàn)證PSO-SMS算法的性能，將其與其他7種PSO變種算法同時(shí)在cec2013測(cè)試集的20個(gè)函數(shù)上進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得出如下結(jié)論。首先，探測(cè)模塊有利于多峰函數(shù)優(yōu)化，因其有助于種群逃離局部最優(yōu)。其次，子種群規(guī)模的調(diào)整在一定程度上彌補(bǔ)了PSO算法的探測(cè)能力與開采能力之間的矛盾。第三，重組模塊對(duì)粒子信息共享行為也有積極的影響，可顯著提高收斂速度。

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