☉浙江省樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學(xué) 俞衛(wèi)勝

☉浙江省溫州市教研室 章才岔

一、寫在前面

2018年的中考已悄悄來臨，作為九年級的教師，研究歷年的中考題顯得非常重要，尤其是關(guān)鍵問題，如選擇題第10題，填空題第16題，綜合題第24題等.2017年溫州市中考數(shù)學(xué)壓軸題較往年有了新的變化，在動點問題中注重邏輯推理，考查學(xué)生在變化過程中對圖形的分析能力，提升數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，同時在分類上難度降低了，讓更多的學(xué)生能正確分類，在解法上凸顯多樣性、層次性.試題內(nèi)涵豐富，突出對基本圖形，數(shù)學(xué)思想方法的考查.本文從試題、解法賞析、點評，變式再探，教學(xué)啟示等幾方面嘗試研究，并整理成文，供分享與研討.

二、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知線段AB=2，MN⊥AB于點M，且AM=BM，P是射線MN上一動點，E，D分別是PA，PB的中點，過點A，M，D的圓與BP的另一交點C（點C在線段BD上），連接AC，DE.

（1）當(dāng)∠APB=28°時，求∠B和C（M的度數(shù).

（2）求證：AC=AB.

（3）在點P的運動過程中，

（ⅰ）當(dāng)MP=4時，取四邊形ACDE一邊的兩端點和線段MP上一點Q，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點，求所有滿足條件的MQ的值；

（ⅱ）記AP與圓的另一個交點為F，將點F繞點D旋轉(zhuǎn)90°得到點G，當(dāng)點G恰好落在MN上時，連接AG，CG，DG，EG，直接寫出△ACG和△DEG的面積之比.

點評：本題屬于動態(tài)探究綜合題，巧妙地將圓與三角形有機融合在一起，通過動點P的位置變化，帶動圓及整個圖形的相對運動，同時又隱含著圖形的形狀不變，結(jié)構(gòu)簡潔，內(nèi)涵豐富，考查了圓周角定理，直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形等核心知識.解題的關(guān)鍵是能夠厘清題中隱含著的數(shù)量關(guān)系，通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，滲透方程，數(shù)形結(jié)合，分類討論，對稱變換等數(shù)學(xué)思想方法.題中，以動點P為導(dǎo)火線，引起圖形形狀、數(shù)量的變化，但也蘊含著動中不變的量，隱含著許多經(jīng)典的基本圖形.總體設(shè)計由易到難逐步推進，梯度合理.入口易，深入難，解題方法多樣.在整個圖形中雖然線條較多，但沒有重疊部分，總體上具有一定的關(guān)系，整體構(gòu)思很嚴(yán)密，既注重邏輯推理，又凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

圖1

三、解法賞析

（1）∠B=76°，C（M的度數(shù)56°.

點評：利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，并結(jié)合直角三角形兩銳角互余，容易得到∠B的度數(shù).求C（M的度數(shù)，關(guān)鍵將弧的問題轉(zhuǎn)化為圓周角，此題結(jié)合D是中點，如圖2，添加MD這條中位線顯得比較自然，從而求出C（M的度數(shù).

（2）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MDC=∠MAC.而∠MDC=∠APB，即 ∠MAC=∠APB，所以∠ACB=∠BAP=∠B，從而得到AB=AC.

點評：這題設(shè)置在第（2）小題，命題者的意圖是利用第（1）小題，引導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗，凸顯從特殊到一般的思維方式，第（1）小題為第（2）小題的解決作了思維的鋪墊，但測試中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是利用第（1）小題的28°，計算出兩個底角的度數(shù)，從而得到AB=AC.這說明學(xué)生審題不是很仔細，在平時教學(xué)中要引起重視.

（3）（ⅰ）根據(jù)四邊形ACDE一邊的兩端點及Q為銳角頂點這兩個條件，可以分四類進行分類討論.

①如圖3，以AE為一邊，只有∠PEQ1=90°.

圖2

圖3

②如圖4，以DE為一邊，這種情況不存在Q為銳角頂點的直角三角形.

③如圖5，以CD為一邊，只有∠PCQ2=90°及∠PDQ1=90°（由等腰三角形的軸對稱性可得這種情況與第1種情況一樣），所以只要探究∠PCQ2=90°即可.

圖4

圖5

由（2）知，△ABC∽△PAB，則AB2=BC·BP，

④以AC為一邊，只有∠ACQ3=90°，連接AQ3.

方法1：如圖6，因為∠ACQ3=∠AMP=90°，易得Q3就是MP與圓的交點.

圖6

圖7

圖8

方法3：如圖8，過C作CK∥MN交AB于點K，過Q3作Q3J⊥KJ交KC的延長線于點J.

點評：比較往年的溫州中考第24題，在分類上難度降低了，消除學(xué)生分類不知如何分，分不全的思維盲點，注重解法的多樣化，不同的分類在解法上都有所不同，每一類解法的思路形成需要心中有個基本圖形，能從復(fù)雜圖形中透視出最基本的圖形，從而實現(xiàn)各個量之間的聯(lián)系，通過設(shè)元，利用相似，勾股等建立方程，滲透了分類討論，數(shù)形結(jié)合，方程等數(shù)學(xué)思想方法.其中第4類我給出了3種方法，方法1凸顯巧法，若學(xué)生能看到Q就是MN與圓的交點，利用勾股定理就容易解決了，考查學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)能力.但是在實際考試中，很多學(xué)生看不到這個特殊性，往往受很多因素影響.而方法2，方法3則能真正體現(xiàn)出通法.

（ⅱ）如圖9，過C作CR⊥AB交AB于點R，易得△DEG是等邊三角形，則DE=DG=DF， 結(jié) 合 ∠GDF=90°，得∠DEF=∠DFE=75°，則∠BAP=∠B=75°，易得∠BAC=∠BPA=30°，所以AC=2RC=2AM.連接MD，易得AM=DF，MD=DN=DB，所以∠DMP=∠DPM=15°，結(jié)合∠DGP=∠DGE=30°，易得GM=GD，所以GM=RC，即四邊形MRCG為矩形.

圖9

點評：要善于去挖掘AM＝MB＝MG＝DG＝CR＝GE＝DE＝DF這個重要的信息.連接它們之間的橋梁涉及到三角形的中位線、等腰三角形、矩形、直角三角形等知識，其中關(guān)鍵的地方在于圖中角的求出，這個看似沒有給予角的度數(shù)卻隱藏在圖形之中.

四、變式再探

（2018年溫州外國語學(xué)校一模第24題）如圖10，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，以BC為直徑為⊙O，交AB于點D，分別過點C，D作⊙O的切線交于點E，DE交AC于點F，連接AE，CD.

（1）當(dāng)∠BCD＝25°時，求∠BAC的度數(shù)；

（2）求證：AE∥BC；

（3）當(dāng)∠B＝60°時，取四邊形BCFD一邊的兩端點和射線OA上一點P，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且P為銳角頂點，求所有滿足條件的OP的值；

（4）連接EO，交AC于M，⊙O交射線OA于點N，連接DM，當(dāng)DM過點N時，則AO的長為_____________（直接寫出答案）.

圖10

五、教學(xué)啟示

1.重視挖掘題中的基本圖形

經(jīng)典試題常伴隨著基本圖形的痕跡，可見基本圖形非常重要，它是題中之源、之根，只有挖掘題根，才能從根本上解決問題.在平時學(xué)習(xí)中，若沒有很好地加以積累、總結(jié)、內(nèi)化.遇到復(fù)雜的圖形，便會顯得無從下手，找不到解決問題的方法.如本題中，就包含這樣一些基本圖形，如圖11，圖12，圖13，圖14.

圖11

圖12

圖13

圖14

2.重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想是聯(lián)系知識和能力的紐帶，是形成數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學(xué)知識、技能、方法的靈活.本題通過設(shè)元，用未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的線段，并利用勾股定理建立方程，這種設(shè)元建立方程的思想非常重要.另外題中還涉及到分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.在日常教學(xué)中，要加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對典型問題的分析不能就題論題，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生追求解題成果的深化和擴大，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三，提煉共性，真正內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)能力.

3.提倡問題解法的多樣化

一題多解，可以開闊學(xué)生思路，發(fā)散學(xué)生思維，使學(xué)生學(xué)會多角度分析和解決問題.對同一道題多種解法的探究非常重要，在解題教學(xué)中，當(dāng)呈現(xiàn)一種解法后，教師要及時追問一句：還有其他解法嗎？學(xué)生由此展開不同思路的探究與交流.教師的這種基于解法多樣性需求的追問，能在短暫時間內(nèi)激活學(xué)生的求異思維，生成與已有解法不同的思路或方法，對學(xué)生思維訓(xùn)練和能力提升是有利的.在多解之后教師要引導(dǎo)學(xué)生提煉各種解法的共性，進行多解歸一，這可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)理解，促進對通性通法的認(rèn)識，提高解題技巧與能力.

4.關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)內(nèi)涵

現(xiàn)行中考試題加大了對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的探究，弱化了對特殊技巧的考查，這需要教師在平時的解題教學(xué)中善于就問題進行分析、挖掘，尋到隱含在其中的本質(zhì)內(nèi)涵，才能有效地形成解題思路.因此，在平時的教學(xué)中，我們要把數(shù)學(xué)本質(zhì)性的問題滲透到教學(xué)的全過程，使學(xué)生不僅學(xué)好概念、定理、法則等內(nèi)容，而且能體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，把握蘊含其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并通過不斷積累，逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，形成解決問題的自覺意識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻：

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2.俞衛(wèi)勝.從試題、解題賞析走向一題一課教學(xué)——以2016年溫州卷第23題為例［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（4）.

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