羅宏錦，李 銳，李 智

（上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西 柳州545007）

0 前言

近年來，隨著汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展和技術水平的提高，發(fā)動機技術已經(jīng)成為汽車行業(yè)研究的熱門領域。發(fā)動機是汽車運行過程中自振能量的重要來源，而曲軸是發(fā)動機的關鍵構件，其扭振特性是影響發(fā)動機性能表現(xiàn)的重要因素。傳統(tǒng)理論分析模型中，扭轉慣量通常被視為常量。然而深入的研究表明[1]，忽略曲軸扭轉過程中扭轉慣量的周期性變化特征，會導致分析結論出現(xiàn)較大誤差。

王秋芝等[2]詳細介紹了三種計算變慣量的公式，韓建鑫等[3]在其中較為經(jīng)典的公式基礎上，引入非線性回歸分析方法，考慮連桿擺動因素對系統(tǒng)扭轉慣量的影響，提出一種適合于非線性動力學分析的計算方法，并建立了描述曲桿系統(tǒng)扭轉振動的非線性動力學模型。文獻[4]僅針對曲軸轉動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間比例關系為1∶2∶1的特例進行了分析。發(fā)動機曲軸工作過程中，當激勵頻率與系統(tǒng)某階固有頻率成整數(shù)倍關系時，曲軸結構將產(chǎn)生共振，較小激勵則可能引發(fā)結構的大幅扭轉振動，嚴重時會導致結構失效破壞。根據(jù)內燃機動力學理論可知，當不平衡激勵接近曲軸轉動頻率和固有頻率即1∶1∶1的工況時，曲軸的破壞幾率最大，因此研究這一振動對于揭示其振動機理并指導內燃機的動力學設計具有較為重要的理論及實際價值。然而，現(xiàn)有研究對該工況下曲軸的非線性動力學分析和研究較為匱乏。

本文利用非線性動力學經(jīng)典方法多尺度法，得到并分析了描述系統(tǒng)在轉動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間關系為1∶1∶1時的工況下，穩(wěn)態(tài)振動的平均方程。最后以某型號發(fā)動機為例，得到了不同參數(shù)狀態(tài)下，該發(fā)動機曲軸的扭振情況，為其系統(tǒng)性優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。

1 理論模型與平均方程

考慮曲軸系統(tǒng)變慣量特性，并進行無量綱后描述其扭轉振動的方程[4]為：

式中，φ（τ）為曲軸扭角函數(shù)，φ″（τ）和 φ′（τ）分別為其對量綱時間τ的二階和一階導數(shù)，ε為小量標記，μn、μ、ζ、α、f、β 分別為無量綱化的參數(shù)。

在轉動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間關系為 1∶1∶1 時的工況下，μn和 μ 的取值為

式中σ為調諧參數(shù)，同樣為一階小量。

依據(jù)多尺度法，時間可表示為T0＝ε0t、T1＝ε1t，…設方程的一階攝動解為

將式和代入至式，整理后忽略二階及以上高階小量，令等號兩邊同次冪項相等，得到表達式如下：

式中（T0，T1）表示 φ（0T0，T1）分別對T0的兩階導數(shù)，其它同理。設式的解為

式中：A為振幅，i為單位虛數(shù)，cc表示前面項的共軛。將式代入至式，得到：

消除永年項的條件是

將A（T1）表示為極坐標形式

將式代入至式，分離虛實部并求解a′（T1）和ψ′（T1），則有平均方程：

按照一般方法，對方程組，消去兩式中sinψ和cosψ即可得到分岔方程，但此處由于同時含有2ψ和ψ，遂直接解出sinψ和cosψ會得到四組解，且利用三角函數(shù)關系消去sinψ和cosψ后，得到的關于幅值a的方程形式非常復雜。本文采用計算機程序將上述方程視為隱函數(shù)方程的方式，可得到幅值a受σ、β等參數(shù)的影響情況。

2 算例分析

Villiers發(fā)動機是一種典型的曲軸式內燃機，其各項參數(shù)指標表1所示。

表1 Villiers發(fā)動機相關技術參數(shù)

進行相應的歸一化運算后[4]，將相應數(shù)據(jù)代入至方程組，求解隱函數(shù)后可得曲線關系見下組圖1和圖2.

由圖1可知，該類型的發(fā)動機幅值隨調諧參數(shù)變化關系較為固定，均表現(xiàn)為：在大于0的區(qū)間內保持穩(wěn)定，只有在小于0的區(qū)間才會發(fā)生扭振，從浮想接近0值時幅值的變化最為劇烈，應避免處于該區(qū)間。當變慣量參數(shù)發(fā)生變化時，圖1兩圖表明二者僅在分岔點處發(fā)生細微變化，總體趨勢保持不便。與之相反的是，幅值隨變慣量的變化曲線則受調諧參數(shù)的影響較大，包括分岔點處的變化趨勢細節(jié)和隨變慣量變化的總體趨勢。

圖1 幅值隨調諧參數(shù)的變化曲線

圖2 幅值隨變慣量的變化曲線

該現(xiàn)象表明，在對Villiers發(fā)動機進行優(yōu)化設計的過程中，當工作頻率和不平衡激勵頻率一致時，保持前者小于曲軸系統(tǒng)本身固有頻率即可。而該條件一旦不滿足時，要根據(jù)變慣量變化參數(shù)則要根據(jù)調諧參數(shù)的具體大小來進行適當調節(jié)。

3 結論

本文利用非線性動力學經(jīng)典方法多尺度法，分析了描述系統(tǒng)在轉動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間關系為1∶1∶1時的工況下，Villiers發(fā)動機曲軸的扭振情況，為其系統(tǒng)性優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。

結果表明：在對Villiers發(fā)動機進行優(yōu)化設計的過程中，應保持曲軸系統(tǒng)本身的固有頻率大于工作頻率，若無法保證該關系，應在考慮二者具體差值的基礎上，合理設計曲軸系統(tǒng)的變慣量系統(tǒng)。

參考文獻：

[1]陳予恕，吳建國，金志勝.曲軸非線性參數(shù)扭振問題的分義理論解[J].振動工程學報，1987，1（1）：26-34.

[2]王秋芝，朱 均.考慮變慣量影響的曲軸扭轉振動[J].應用科技，1983（2）：1-11.

[3]韓建鑫，王 煒，張琪昌.內燃機曲軸系統(tǒng)變慣量公式的修正[J].內燃機學報，2014，32（3）：271-275.

[4]韓建鑫，王 煒，張琪昌.變慣量曲軸系統(tǒng)扭轉振動參數(shù)分岔分析[J].振動與沖擊，2013，32（7）：118-123.