時(shí)統(tǒng)業(yè)，李 軍，李 鼎

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與HM凸函數(shù)有關(guān)的若干積分不等式

*時(shí)統(tǒng)業(yè)，李 軍，李 鼎

（海軍指揮學(xué)院信息系，江蘇，南京 211800）

利用HM凸函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系，證明了HM凸函數(shù)存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)，并通過不等式建立了HM凸函數(shù)與其單側(cè)導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系?；谶@些工作用普通數(shù)學(xué)分析的方法建立了HM凸函數(shù)的若干不等式。

HM凸函數(shù)；積分不等式；單側(cè)導(dǎo)數(shù)

0 前言

近些年來，各種類型凸函數(shù)的概念被不斷提出，比如幾何凸函數(shù)[1]、GM-凸函數(shù)[2]、HM-凸函數(shù)[3]、調(diào)和平方-凸函數(shù)[4]、對(duì)數(shù)凸函數(shù)[5]、指數(shù)凸函數(shù)[6]、F-G廣義凸函數(shù)[7]]等。與各種類型凸函數(shù)相關(guān)的不等式也被建立起來。本文仿照文獻(xiàn)[8-9]的方法建立與HM-凸函數(shù)有關(guān)的不等式。

1 定義和引理

定義1[10]設(shè)()區(qū)間上有定義，()在上稱為是凸(凹)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意1，2∈，∈(0，1)，有

定義2[3]設(shè)í(0,+∞)，：→(0,+∞)，若對(duì)任意1，2∈和任意∈[0,1]，存在∈R，使得

則稱()是區(qū)間上的HM凸(凹)函數(shù)。其中，當(dāng)>0時(shí)，稱()是上的HM+-凸(凹)函數(shù)；當(dāng)<0時(shí)，稱()是上的HM--凸(凹)函數(shù)。

當(dāng)=０時(shí)，HM-凸(凹)函數(shù)即為HG-凸凹函數(shù)。當(dāng)=-1時(shí)，HM-凸(凹)函數(shù)即為HH凸(凹)函數(shù)。當(dāng)=1時(shí)，HM-凸(凹)函數(shù)即為HA-凸(凹)函數(shù)。約定本文只討論≠0的情形。

引理2[11]設(shè)()為區(qū)間上的凸函數(shù)，則()在開區(qū)間(，)ì內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù)（從而處處連續(xù))，且對(duì)，∈(，)，<，有

引理3[12]設(shè)()為[，]上的凸(凹)函數(shù)，則對(duì)任意∈[，]，∈(，)，有

引理4 設(shè)：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)為HM+-凸(凹)函數(shù)，則

i)在(，)內(nèi)任意點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在；

ii) 當(dāng)，∈(，)，<時(shí)，有

iii) 對(duì)任意∈[，]，∈(，)，有

由此證得式(1)成立。

由此證得式(2)成立。

注1 若：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)為HM-凸(凹)函數(shù)，則引理4中的不等號(hào)反向。

≤

，

于是

對(duì)任意>>0，記

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函數(shù)，則

推論1 設(shè)：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)為單調(diào)增加的HM+-凸函數(shù)，則

則有

則有

受文獻(xiàn)[6]的啟發(fā)，由推論1得到推論2。

則有

其中

當(dāng)是HM-凸函數(shù)時(shí)，

當(dāng)是HM-凹函數(shù)時(shí)，

，

定理3 設(shè)：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函數(shù)，≤1且≠0，(>1)，∈(，)，對(duì)任意∈[，]有

則有

i) 在式(3)、(4)中，對(duì)在[，]上積分，然后利用Jensen不等式[13]得

故式(10)得證。

ii) 在式(3)中，對(duì)在[，]上積分，然后利用Jensen不等式得

類似地，在式(4)中對(duì)在[，]上積分，然后利用Jensen不等式得

將式(12)、(13)相加，然后利用Jensen不等式得

故式(11)得證。

推論3 設(shè)：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函數(shù)，≤1且≠0，(>1)，則有

定理4 設(shè)：[，]í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函數(shù)，則

證明 僅對(duì)是HM-凸函數(shù)的情形證明，當(dāng)是HM-凹函數(shù)時(shí)同理可證。

由此得到式(14)。

ii)當(dāng)≤1時(shí)，對(duì)任意1，2∈和任意∈[0,1]，有

故此時(shí)HM凸函數(shù)也是HA凸函數(shù)，由文獻(xiàn)[14]結(jié)果知式(15)的右邊部分成立。

在式(3)取=，然后對(duì)在[，]上積分則得到式(12)的第二個(gè)不等式。

故式(15)的左邊不等式得證。

[1] 吳善和. 幾何凸函數(shù)與琴生型不等式[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2004,34(2):155-163.

[2] 宋振云,陳少元. GM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,44(20):280-287.

[3] 宋振云．HM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]．沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,33(1):23-27．

[4] 宋振云. 調(diào)和平方s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2016,46(3):279-284.

[5] 吳善和. 對(duì)數(shù)凸函數(shù)與琴生型不等式[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2004,7(5):61-64.

[6] 何曉紅．指數(shù)凸函數(shù)的積分不等式及其在Gamma函數(shù)中的應(yīng)用[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30(1)：69-76．

[7] 黃金瑩,趙宇,方秀男. F-G廣義凸函數(shù)與F擬凸函數(shù)[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,28(4):1-5.

[8] 張小明,褚玉明. 解析不等式新論[M]．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2009．

[9] Dragomir S S, Pearce C E M. Selected Topics on Hermite- Hadamard inequalities and applications[D]. Victoria: Victoria University,2000.

[10] 裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]．2版．北京:高等教育出版社,2006．

[11] 劉三陽,李廣民. 數(shù)學(xué)分析十講[M].北京:科學(xué)出版社，2011．

[12] 時(shí)統(tǒng)業(yè),李照順,夏琦．與MH凸函數(shù)有關(guān)的積分不等式和單調(diào)函數(shù)[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào),2016,36(3): 23-29．

[13] 匡繼昌. 常用不等式[M].4版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010．

[14] 時(shí)統(tǒng)業(yè),王斌. 與HA凸函數(shù)有關(guān)的若干積分不等式[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,28(4):1-5,36.

Integral Inequalities Involving HM-Convex Functions

*SHI Tong-ye，LI Jun，LI Ding

(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing, Jiangsu 211800, China)

By using the relationships between HM-convex functions and convex functions, we prove the existence of unilateral derivatives of HM-convex functions. We also build the relationship between HM-convex function and its unilateral derivatives by inequality. Finally, integral inequalities for HM-convex functions are obtained by using ordinary mathematical analysis．

HM-convex function; integral inequality; unilateral derivative

1674-8085(2018)01-0027-05

O242.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.01.007

2017-03-09；

2017-05-27

*時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963-)，男，河北張家口人，副教授，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究(E-mail:shtycity@sina.com),李 軍(1979-)，男，江蘇建湖人，工程師，碩士，主要從事計(jì)算機(jī)仿真研究(E-mail:nanjinglijun@tom.com),李 鼎(1983-)，男，江蘇泰州人，講師，碩士，主要從事通信與信息系統(tǒng)研究(E-mail:shushenld@163.com).