摘要:本文討論了n期標準期初年金方程的Newton迭代解法,并提出了改進的迭代格式。
關(guān)鍵詞:年金方程;利率;Newton迭代法;數(shù)形結(jié)合;拐點
期初年金方程a··ni=k的迭代解法
一、 傳統(tǒng)的Newton法求解a··ni=k
(一) Newton法迭代格式的構(gòu)造
n期標準期初年金是指每次的年金金額為1個貨幣單位,在合同生效時立即發(fā)生首次的現(xiàn)金流,共計n次。一般用記號a··ni表示利率為i的n期標準期初年金的現(xiàn)值,a··ni的基本計算公式:a··ni=(1+i)1-(1+i)-ni,(1)
當已知a··ni=k時,可以利用Newton法[2]構(gòu)造迭代格式進行求解,其迭代格式為:
is+1=is1-(1+is)1-(1+is)-n-kis(1+is)-n(1+nis)-1(2)
(二) Newton法迭代初值的選取
式(1)中的(1+i)-n乘以(1+i)后,對其進行帶有佩亞諾型余項的Taylor公式展開可以得到:
(1+i)-n+1=1+(-n+1)i+(-n+1)(-n)2!i2+…+(-n+1)(-n)…(-n-m+2)m!im+o(im)(3)
用式(3)右端的前3項近似(1+i)-n+1,即:(1+i)-n+1≈1+(-n+1)i+(-n+1)(-n)2!i2(4)。將式(4)代入(1)式中,并令a··ni=k,得到i=2(n-k)n(n-1)。于是,本文得到了利用Taylor公式方法下的迭代初值i0=2(n-k)n(n-1)(5)。
(二) 改進的Newton法求解a··ni=k
按照傳統(tǒng)的Newton法得到的迭代格式(2),從形式上看較為復雜,本文將通過對Newton法進行相應的改進得到更優(yōu)的迭代格式。
由a··ni=k可以得到(1+i)1-(1+i)-ni=k(6),對式(6)進行變形,易得:
(k-1)i-1(1+i)n-1+1=0(i>0,n∈Z+),
設f(i)=(k-1)i-1(1+i)n-1+1(i>0,n∈Z+),則期初年金方程a··ni=k的求解就轉(zhuǎn)化為方程f(i)=0的求根問題。當n=1,2時,方程f(i)=0是一次或二次方程,利用求根公式易得其解,本文此處不再贅述。本文主要考慮n>2時的情況,由a··ni=k易知k>1且k
f(i)=(k-1)i-1(1+i)n-1+1(7)
satisfyi>0n>2k>1k
探究f(i)的代數(shù)與幾何性質(zhì)
對式(7)進行求導,可以得到:f′(i)=(k-1)(1+i)n-1+(n-1)(1+i)n-2(k-1)i-1=(1+i)n-2[i(k-1)n+k-n](9)
由式(9)可以得到f(i)的一階零點i′0=n-kn(k-1),由條件(8)易知i′0>0。當ii′0時,f′(i)>0。所以f(i)在(0,i′0)范圍內(nèi)單調(diào)遞減,在(i′0,+∞)范圍內(nèi)單調(diào)遞增,且f(i)在i=i′0處取到最小值f(i′0)。對式(9)進行求導,可以得到:f″(i)=(n-2)(1+i)n-3[i(k-1)n+k-n]+(1+i)n-2(k-1)n=(1+i)n-3[in(n-1)(k-1)+(-n2+2kn-2k+n)](10)
由式(10)可以得到f(i)的拐點(即二階零點)i″0=n-2kn(k-1),易知i″0i″0時,f″(i)>0。所以在沒有i>0這一約束條件下,f(i)在(-∞,i″0)范圍內(nèi)是凹向原點的,在(i″0,+∞)范圍內(nèi)是凸向原點的。
在考慮i>0這一約束條件下,本文繼續(xù)深入分析f(i)不存在拐點與存在拐點情況下f(i)的代數(shù)與幾何性質(zhì)。(1)當f(i)不存在拐點i″0=n-2kn(k-1)≤0時,即n≤2k。
令g1(i)=(1+i)n-3,g2(i)=in(n-1)(k-1)+(-n2+2kn-2k+n),則有f″(i)=g1(i)·g2(i)。易知g2(i)中的-n2+2kn-2k+n=(2k-n)(n-1)≥0,所以g2(i)>0。又因為g1(i),g2(i)是增函數(shù)且g1(i)>0,g2(i)>0,所以f″(i)是增函數(shù)。取迭代初值i0=2i′0=2(n-k)n(k-1),根據(jù)帶有拉格朗日型余項的Taylor公式[4]易知存在ξ1∈(i′0,2i′0)以及ξ2∈(0,i′0)使得:f(i0)=f(i′0+i′0)=f(i′0)+f′(i′0)i′0+f″(ξ1)2!i2′0;f(0)=f(i′0-i′0)=f(i′0)+f′(i′0)(-i′0)+f″(ξ2)2?。?)2。由于i′0是f(i)的一階零點、f″(ξ1)>f″(ξ2),易知f(i0)>f(0)=0。
(2)當f(i)存在拐點i″0=n-2kn(k-1)>0時,即n>2k。
取迭代初值i0=2i′0=2(n-k)n(k-1),根據(jù)帶有拉格朗日型余項的Taylor公式易知存在η1∈(i′0,2i′0)以及η2∈(0,i′0)使得:f(i0)=f(i′0+i′0)=f(i′0)+f′(i′0)i′0+f″(η1)2!i′02;f(0)=f(i′0-i′0)=f(i′0)+f′(i′0)(-i′0)+f″(η2)2!(-)2。(11)
由于i′0是f(i)的一階零點,且η1∈(i′0,2i′0),有η1>i″0,所以f″(η1)>0。
當η2∈(0,i″0](0,i′0)時,有f″(η2)≤0,因而有f(i0)>f(0)=0,
參考文獻:
[1] 吳嵐,黃海,何洋波.金融數(shù)學引論[M].2版.北京:北京大學出版社,2013:34-35.
[2] 丁麗娟,程杞元.數(shù)值計算方法[M].北京:高等教育出版社,2011:273-275.
作者簡介:孫紫儀,四川省綿陽市,西南科技大學理學院。