王 智 李佳峰 張 婕 王 鵬 李 強(qiáng)

北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076

隨著空間發(fā)射任務(wù)的復(fù)雜多樣化，傳統(tǒng)制導(dǎo)方法在滿足飛行器的靈活性、機(jī)動(dòng)性及高入軌要求方面顯得力不從心，需要研究制導(dǎo)精度更高、自適應(yīng)能力更強(qiáng)和計(jì)算實(shí)時(shí)性更好的制導(dǎo)方法[1]。

在直接入軌飛行器主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)過程中，從當(dāng)前位置飛至入軌點(diǎn)的軌跡不止一條，但總期望飛行器能以某種最優(yōu)的軌跡入軌。因此，直接入軌飛行器的制導(dǎo)問題就是一個(gè)以滿足入軌條件為約束、以入軌速度最大為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題[2-5]。

本文基于最優(yōu)控制理論，根據(jù)直接入軌飛行器的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，在采取一些有益假設(shè)的基礎(chǔ)上，得到了直接入軌飛行器的一種基于最優(yōu)控制理論的顯式解析制導(dǎo)律。

1 主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型

飛行器第二級及其以上的各級已處于稀薄大氣層中飛行，此時(shí)的空氣動(dòng)力對飛行程序角選擇的影響可以忽略不計(jì)。

在發(fā)射坐標(biāo)系建立運(yùn)動(dòng)方程，并認(rèn)為地球扁率及其自轉(zhuǎn)角速度對主動(dòng)段終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響甚微，則其運(yùn)動(dòng)方程為[6-7]

(1)

式中，x,y為位置分量；vx,vy為速度分量；P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；m為飛行器質(zhì)量；φ為俯仰角；r為地心到飛行器質(zhì)心的距離；fM為地球引力常數(shù)與地球質(zhì)量的乘積；R為地球半徑；v為飛行器速度大?。沪葹閺椀纼A角。

2 最優(yōu)控制模型

由主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型可以看出，大氣層外直接入軌飛行器的制導(dǎo)問題是一個(gè)尋找最優(yōu)推力方向、在滿足入軌約束的同時(shí)以最大速度入軌的最優(yōu)控制問題[8-11]。

令

u=sinφ

(2)

則有

(3)

因此，直接入軌飛行器的多約束控制問題轉(zhuǎn)化為在法向速度和高度滿足一定約束情況下的切向速度最大問題，即

(4)

(5)

3 最優(yōu)控制模型的解析解

3.1 模型簡化

為得到大氣層外直接入軌飛行器基于最優(yōu)控制制導(dǎo)律的解析解，需要對運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行一些簡化處理[12-16]。認(rèn)為飛行器所受推力為常數(shù)、地球引力場為平行而均勻的不變引力場時(shí)，則相應(yīng)的簡化運(yùn)動(dòng)模型為

(6)

式中，g為引力加速度。

3.2 基于最優(yōu)控制的顯式制導(dǎo)解析解

對于飛行器法向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)狀態(tài)方程有

(7)

(8)

式中，tgo=tf-t0為剩余工作時(shí)間。

式(8)是一對聯(lián)立的線性積分方程組，理論上有無窮多個(gè)解。在性能指標(biāo)J的約束下，存在唯一解。定義函數(shù)

(9)

式中，c1,c2為常量，p1(t)和p2(t)為線性無關(guān)的函數(shù)。

根據(jù)式(7)和(9)，選擇p1(t)和p2(t)為如下線性無關(guān)的可積函數(shù)

(10)

則有

(11)

令

(12)

則有

(13)

于是可得

(14)

式中

則有

(15)

式中

由式(14)，可得到攻角指令的解析解為

α=asin(u)-θ=asin(c1)-θ

(16)

同時(shí)，攻角指令需滿足如下幅值和變化率約束

(17)

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提制導(dǎo)方法的有效性和魯棒性，首先基于偏差極限組合的偏差軌跡進(jìn)行仿真計(jì)算，接著進(jìn)行蒙特卡洛打靶仿真。

偏差軌跡仿真結(jié)果見圖1～4。從仿真結(jié)果可以看出，所提制導(dǎo)方法均能滿足終端高度和傾角要求，驗(yàn)證了所提制導(dǎo)方法的有效性。

圖1 飛行高度隨時(shí)間變化曲線

圖3 當(dāng)?shù)貜椀纼A角隨時(shí)間變化曲線

圖4 攻角隨時(shí)間變化曲線

2000次蒙特卡洛打靶結(jié)果見圖5～7，入軌終端參數(shù)對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

圖6 終端速度散布情況

圖7 終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角散布情況

項(xiàng)目單位標(biāo)準(zhǔn)差高度m38速度m/s43當(dāng)?shù)貜椀纼A角(°)0．2

從圖5～7和表1可以看出，所提制導(dǎo)方法對偏差有較好的控制作用，具有較好的魯棒性。

5 結(jié)論

基于最優(yōu)控制理論，根據(jù)直接入軌飛行器的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，在采取一些有益假設(shè)的基礎(chǔ)上，得到了直接入軌飛行器一種基于最優(yōu)控制理論的顯式解析制導(dǎo)律，并進(jìn)行了相應(yīng)的仿真驗(yàn)證，獲得以下結(jié)論：

1) 該制導(dǎo)方法能夠適應(yīng)大的偏差范圍，實(shí)現(xiàn)直接入軌飛行器的高精度入軌；

2) 制導(dǎo)方法基于解析解，適應(yīng)性較強(qiáng)，計(jì)算量小，易于實(shí)現(xiàn)，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Hanson J M, Shrader M W, Cruzen C A. Ascent Guidance Comparisons[J]. The Journal of the Astronautical Science,1995, 43(3): 307-326.

[2] Dukeman G A. Atmospheric Ascent Guidance for Rocket Powered Launch Vehicles[R]. AIAA-2002-4559, 2002.

[3] Lu P, Sun H S, Tsai B. Closed-loop Endo-atmospheric Ascent Guidance[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2003,26(2):283-294.

[4] Lu P, Zhang L J, Sun H S. Ascent Guidance for Responsive Launch: A Fixed Point Approach[R]. AIAA-2005-6453, 2005.

[5] Cherry G W. A General, Explicit, Optimizing Guidance Law for Rocket-propelled Spaceflight[C]. Proceeding of the AIAA/ION Astrodynamics Guidance and Control Conference. New York: American Institute of Aeronautics and Astronautics,1964: 1-32.

[6] 賈沛然,陳克俊,何力.遠(yuǎn)程火箭彈道學(xué)[M]. 長沙: 國防科技大學(xué)出版社,1993.(Jia Peiran ,Chen Kejun, He Li. Long Range Rocket Ballistics[M]. Changsha:National Defense University Press. 1993.)

[7] 張嵩.固體運(yùn)載火箭彈道設(shè)計(jì)與優(yōu)化[J].固體火箭技術(shù), 1997,20(1):1-5.(Zhang Song. Calculation and Optimization of Solid Launch Vehicle Trajectory[J].Journal of Solid Rocket Technology,1997,20(1):1-5.)

[8] Huang P X, Wei C Z, Gu Y B,et al. A Symplectic Optimization Method for Rapid Endo-Atmospheric Ascent Trajectory Planning[J]. International Journal of Modelling, Identification and Control, 2015,24(3): 196-205.

[9] Lu P, Pan B F. Highly Constrained Optimal Launch Ascent Guidance[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010,33(2): 404-414.

[10] Gath P F, Calise A J. Optimization of Launch Vehicle Ascent Trajectories With Path Constraints and Coast Arcs[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001,24(2):296-304.

[11] Brown K R, Harrold E F, Johnson G W. Some New Results on Space Shuttle Atmospheric Ascent Optimization[C]. AIAA Guidance, Control and Flight Mechanics Conference, Santa Barbara, California, America, 1970:3-8.

[12] 傅瑜,陳功,盧寶剛,等. 基于最優(yōu)解析解的運(yùn)載火箭大氣層外自適應(yīng)迭代制導(dǎo)方法[J]. 航空學(xué)報(bào),2011,32(9):1696-1704.(Fu Yu, Chen Gong, Lu Baogang. A Vacuum Adaptive Iterative Guidance Method of Launch Vehicle Based on Optimal Analytical Solution[J]. Acta Aeronautica & Astronautica Sinica, 2011,32(9):1696-1704.)

[13] Jezewski D J. An Optimal, Analytic Solution to the Linear Gravity, Constant Thrust Trajectory Problem[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 1971,8(7):793-796.

[14] Mac Pherson, Duncan. An Explicit Solution to the Powered Flight Dynamics of a Rocket Vehicle[R]. TDR-169(3126) TN-2,1962.

[15] Jing W X, Zheng X, Wei P X, et al. An Ascent Iterative Guidance Algorithm for Solid Rocket Concerned with Multi-Constraints [C]. 27th Chinese Control and Decision Conference ( CCDC),2015,Qingdao,China.

[16] Calise A J Tandon S, Young D H, et al. Further Improvements to a Hybrid Method for Launch Vehicle Ascent Trajectory Optimization[C].AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit,Denver,CO,America,2000:1-10.