陳麗敏,孟令新,王大鎮(zhèn)

(1.長春職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程技術(shù)分院,長春 130033; 2.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)控技術(shù)系,河南 新鄉(xiāng) 453006;3.集美大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,福建 廈門 361021)

機(jī)械臂類似于人的手臂,是機(jī)器人主要執(zhí)行機(jī)構(gòu).機(jī)械臂應(yīng)用非常廣泛,不僅應(yīng)用在傳統(tǒng)的加工制造業(yè)中,而且在海洋探測、宇宙探索中也有其身影[1].機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)涉及機(jī)械、電子及控制等多方面學(xué)科.機(jī)械臂屬于非線性和強(qiáng)耦合機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),要達(dá)到較高的定位精度,不僅需要較好的控制方法,也需要合理的設(shè)計(jì)機(jī)械臂幾何參數(shù).目前,機(jī)械臂正在向人工智能方向發(fā)展,在代替人類手工勞動(dòng)時(shí),也消耗了大量能量.因此,研究機(jī)械臂能量消耗問題,對(duì)于節(jié)約資源、保護(hù)環(huán)境具有重要的意義.

隨著機(jī)械臂技術(shù)的改進(jìn),產(chǎn)生了大量的研究理論和方法.例如:文獻(xiàn)[2]針對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)件加工設(shè)計(jì)了并聯(lián)機(jī)器人,建立其動(dòng)力性模型,利用彈簧自重優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù),從而平衡了并聯(lián)機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)力;文獻(xiàn)[3]對(duì)煤炭采樣機(jī)械臂傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化進(jìn)行了研究,并用Matlab和ADAMS進(jìn)行聯(lián)合仿真,從而降低了機(jī)械臂質(zhì)量,提高了傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性;文獻(xiàn)[4-5]采用遺傳算法優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),將優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤控制,從而提高了軌跡跟蹤性能.以往研究理論主要集中在機(jī)械臂控制精度上,對(duì)機(jī)械臂能量消耗研究很少,從而造成了能量資源浪費(fèi).對(duì)此,本文采用混合算法對(duì)并聯(lián)機(jī)械臂機(jī)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,主要是設(shè)計(jì)出機(jī)械臂的最佳參數(shù),在滿足機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)條件下,消耗的能量最小.在優(yōu)化過程中,建立了并聯(lián)機(jī)械臂簡圖模型,采用差分進(jìn)化算法融合粒子群算法作為優(yōu)化工具,引用PID控制方法,將優(yōu)化結(jié)果輸入到Matlab軟件中進(jìn)行仿真驗(yàn)證,對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行相互比較,為并聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量消耗研究提供了參考依據(jù).

1 并聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)分析

1.1 并聯(lián)機(jī)械臂簡圖

并聯(lián)機(jī)械臂簡圖模型如圖1所示,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)如圖2所示.

在圖1中:αi為主動(dòng)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度;βi為被動(dòng)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度;Ai為基體位置;Mi為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置;i=1,2,3;r1,r3,r5為主動(dòng)連桿長度;r2,r4,r6為被動(dòng)連桿長度;γ1,γ2,γ3分別代表角度BPM1,BPM2,BPM3;P(xm,ym)為末端控制器在坐標(biāo)系{xyz}中的位置.

AiBiCi為每個(gè)基體到平臺(tái)的關(guān)節(jié)位置,每個(gè)關(guān)節(jié)的位置由笛卡爾坐標(biāo)x和y定義,驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)A1,A2,A3的旋轉(zhuǎn)角度分別為θ1,θ2,θ3.

圖1 并聯(lián)機(jī)械臂簡圖模型Fig.1 A schematic model of parallel manipulator

圖2 機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Fig.2 Manipulator platform

1.2 齊次變換矩陣運(yùn)動(dòng)方程式

根據(jù)DH方法[6],結(jié)合圖1,并聯(lián)機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式如下:

(1)

式中:bxi=nicosγi;byi=nisinγi;φ為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與x軸之間夾角.

式(1)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解給出如下:

(2)

式中:

機(jī)械臂每一個(gè)主動(dòng)連桿都可能產(chǎn)生“+”或“-”的解,因此,并聯(lián)機(jī)械臂會(huì)產(chǎn)生8種逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解或者運(yùn)動(dòng)模式,如圖3所示.

圖3 并聯(lián)機(jī)械臂8種運(yùn)動(dòng)模式Fig.3 Eight motion modes of parallel manipulator

根據(jù)齊次變換矩陣[7]可知,連桿ri角速度方程如下:

(3)

式中:

點(diǎn)Ai為固定點(diǎn),其線速度為0.但是,點(diǎn)Ai局部線速度矩陣為

(4)

2 優(yōu)化目標(biāo)

2.1 設(shè)計(jì)變量

并聯(lián)機(jī)械臂能量的消耗主要轉(zhuǎn)換為連桿運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而連桿的動(dòng)能主要與連桿質(zhì)量、連桿長度、平臺(tái)質(zhì)量及平臺(tái)半徑有關(guān).

機(jī)械臂連桿質(zhì)量求解公式為

(5)

式中:di為連桿橫截面直徑;ri為連桿長度;ρi為材料密度.

機(jī)械臂平臺(tái)質(zhì)量求解公式為

(6)

式中:dmp為橫截面直徑;rmp為平臺(tái)長度;ρmp為材料密度.

假設(shè)連桿的長度和平臺(tái)的長度已知,則機(jī)械臂優(yōu)化設(shè)計(jì)變量參數(shù)為X=[d1,d2,d3,d4,d5,d6,dmp].

2.2 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)為并聯(lián)機(jī)械臂主動(dòng)執(zhí)行器能量消耗,其計(jì)算公式為

(7)

式中:t為連桿運(yùn)動(dòng)時(shí)間;PT為瞬時(shí)電功率.

瞬時(shí)功率PT的求解公式為

(8)

式中:Ia為電機(jī)電流;Ve為電機(jī)電壓;Ra為電樞電阻;La為電樞電感.

優(yōu)化的目標(biāo)是使機(jī)械臂執(zhí)行器消耗的電能最小,電能消耗計(jì)算公式為

最小化

(9)

2.3 約束條件

機(jī)械臂連桿關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度必須滿足以下約束條件[8]:

(10)

機(jī)械臂連桿和平臺(tái)橫截面積直徑必須滿足以下約束條件:

(11)

3 混合算法

3.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法和遺傳算法相似,包括變異、交叉與選擇操作,具體過程如下:

(1) 變異操作.假設(shè)種群中的個(gè)體為xi,經(jīng)過變異后生成新的個(gè)體為vi,則vi表達(dá)式[9]為

vi=xi+F1(gi-xi)+F2(xr1-xr2)

(12)

式中:i∈[1,2,…,N];r1,r2∈[1,2,…,N];N為種群大小;F1,F2為縮放因子.

(2) 交叉操作.將變異后的個(gè)體vi與原來個(gè)人進(jìn)行交叉操作得到新的個(gè)體[9]為

(13)

式中:q為隨機(jī)數(shù),q∈[0,1];λ為交叉概率因子;jq為隨機(jī)整數(shù),jq∈[0,D],D為粒子維數(shù),可以確保ui中至少有一維來自變異個(gè)體vi,避免與父代個(gè)體xi相同.

(3) 選擇操作.差分進(jìn)化算法通過比較ui和xi,選擇出較優(yōu)值進(jìn)入下一次迭代中.

3.2 粒子群算法(PSO)

粒子群算法通過移動(dòng)每個(gè)個(gè)體粒子來搜索空間內(nèi)的最優(yōu)解,每個(gè)粒子都具有速度和位置兩個(gè)屬性.粒子速度vi,j根據(jù)個(gè)體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值進(jìn)行不斷的更新,其更新迭代公式[10]為

式中:i=1,2,…,N;j=1,2,…,D;N為種群大小;D為粒子維數(shù);ω為慣性權(quán)重,ω∈[0,1];c1,c2為學(xué)習(xí)因子,c1,c2∈[0,2];q1,q2為隨機(jī)數(shù),q1,q2∈[0,1].

為了平衡局部、全局搜索的能力,采取線性方式修改慣性權(quán)重系數(shù)ω:

(16)

式中:ω0為初始權(quán)重;ω1為最終權(quán)重;k為當(dāng)前迭代次數(shù);Tmax為最大迭代次數(shù).

3.3 混合優(yōu)化算法

根據(jù)以往研究經(jīng)驗(yàn),對(duì)不同算法進(jìn)行融合,取長補(bǔ)短是解決優(yōu)化問題的有效方法,特別是在復(fù)雜問題優(yōu)化中表現(xiàn)得更加明顯.對(duì)此,本文采用差分進(jìn)化算法融合粒子群算法,具體操作過程如下.

(1) 對(duì)種群大小N進(jìn)行初始化.

(2) 隨機(jī)選擇兩個(gè)與個(gè)體xi的互不相同的個(gè)體xr1,xr2,采用差分進(jìn)化算法變異方式生成個(gè)體pi,

(17)

式中:F1,F2為縮放因子.

(3) 將pi輸入到PSO速度更新迭代式(15)和式(16)中,從而更新粒子在t時(shí)刻的位置xi(t).

(4) 更新當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)值pi與全局最優(yōu)值g.

(5) 對(duì)當(dāng)前全局最優(yōu)值g采取差分進(jìn)化算法進(jìn)行操作:

(18)

若g′適應(yīng)值f(g′)優(yōu)于g的適應(yīng)值f(g),則g′置換g,否則返回(2)中.

采用混合優(yōu)化算法對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,初始條件設(shè)置:種群大小為300,最大迭代次數(shù)為1 000,初始權(quán)重為ω0=0.90,最終權(quán)重為ω1= 0.4,學(xué)習(xí)因子為c1=c2=2,隨機(jī)數(shù)為q1=q2=1,交叉概率為0.02,變異概率為0.75,優(yōu)化后的橫截面積直徑如表1所示.

表1 機(jī)械臂連桿與平臺(tái)橫截面直徑優(yōu)化值Tab.1 Optimization value of cross section diameter ofmanipulator connecting rod and platform mm

4 機(jī)械臂PID控制及仿真

4.1 PID控制

PID控制是當(dāng)今經(jīng)典的控制方式,主要由比例、積分和微分3個(gè)部分組成,其控制微分方程式[11]如下:

(19)

式中:u(t)為控制對(duì)象的輸出信號(hào);e(t)為輸出與輸入之差信號(hào);Kp,Ki,Kd分別為比例增益系數(shù)、積分增益系數(shù)及微分增益系數(shù).

本文采用經(jīng)典的PID控制對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)控制,其控制方式如圖4所示.

圖4 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)PID控制Fig.4 Manipulator dynamic PID control

4.2 能量與誤差仿真

假設(shè)并聯(lián)機(jī)械臂各連桿長度為15 cm,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)為等邊三角形,其邊長為8 cm,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)各連桿長度為5 cm,材料密度ρ=2.7 g/cm3,機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡為x=10cos(πt/2),y=10sin(πt/2).假設(shè)機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)模式1條件下,根據(jù)PID控制方法,將機(jī)械臂優(yōu)化數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Matlab軟件中進(jìn)行仿真,并聯(lián)機(jī)械臂主動(dòng)連桿能量消耗如圖5所示,被動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤誤差如圖6所示.其他7種運(yùn)動(dòng)模式條件下仿真結(jié)果與運(yùn)動(dòng)模式1相似,本文不再作仿真驗(yàn)證.

根據(jù)圖5仿真曲線可知:在相同運(yùn)動(dòng)模式狀態(tài)下,優(yōu)化前,主動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)所需要功率不穩(wěn)定,消耗能量大;優(yōu)化后,主動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)所需功率相對(duì)穩(wěn)定,消耗能量小.根據(jù)圖6仿真曲線可知:在執(zhí)行相同的軌跡跟蹤任務(wù)時(shí),優(yōu)化前,被動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)軌跡所產(chǎn)生的誤差大;優(yōu)化后,被動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生的誤差小.因此,綜合比較可知,采用混合算法優(yōu)化后的并聯(lián)機(jī)械臂連桿機(jī)構(gòu),在相同的控制條件下,不僅能夠節(jié)約能量,而且提高了運(yùn)動(dòng)精度.

圖5 運(yùn)動(dòng)模式1條件下各主動(dòng)連桿能量消耗Fig.5 The energy consumption of each active link under the condition of motion mode one

圖6 運(yùn)動(dòng)模式1條件下各主動(dòng)連桿軌跡跟蹤誤差Fig.6 The trajectory tracking error of each active link under the condition of motion mode one

5 結(jié)論

(1) 應(yīng)用了混合算法優(yōu)化了并聯(lián)機(jī)械臂幾何參數(shù),并對(duì)能量消耗進(jìn)行了仿真.改進(jìn)了單一算法的缺點(diǎn),從圖5仿真結(jié)果看出混合算法優(yōu)化后的能量消耗有所降低.

(2) 從圖6可以看出優(yōu)化后的并聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡追蹤精度要優(yōu)于優(yōu)化前,改變了傳統(tǒng)方法的不足.

(3) 對(duì)于其他7種運(yùn)動(dòng)模式,同樣可以降低能量消耗,提高軌跡追蹤精度,也可以將混合算法優(yōu)化方法應(yīng)用于其他機(jī)械領(lǐng)域優(yōu)化問題中.

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