王會(huì)海，孫克輝，賀少波

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分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

王會(huì)海，孫克輝，賀少波

(中南大學(xué) 物理與電子學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

為了提高擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)。采用Adomain分解算法求解分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)，推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)迭代式，得到系統(tǒng)的數(shù)值解。對(duì)迭代值進(jìn)行簡(jiǎn)單的二值量化，生成多組互不相關(guān)的混沌偽隨機(jī)序列。將混沌偽隨機(jī)序列作為擴(kuò)頻碼應(yīng)用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)。在不同信噪比時(shí)，分析不同擴(kuò)頻碼對(duì)通信系統(tǒng)性能的影響。研究結(jié)果表明：基于分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列更隨機(jī)，均通過(guò)美國(guó)國(guó)家科學(xué)技術(shù)研究所(NIST)的統(tǒng)計(jì)測(cè)試套件(STS)測(cè)試，序列的生成速度快；與整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)頻系統(tǒng)具有更大的秘鑰空間，具有更好的安全性；分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能優(yōu)于Hénon映射、Chen系統(tǒng)、m序列及Gold序列的性能，并且具有更大的多址容量。

擴(kuò)頻通信；分?jǐn)?shù)階微積分；混沌

擴(kuò)頻通信技術(shù)具有保密性能好、抗干擾能力強(qiáng)、與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)共用頻段而不互相干擾的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于軍事和民用系統(tǒng)，是現(xiàn)代無(wú)線通信技術(shù)的熱點(diǎn)技術(shù)之一。擴(kuò)頻通信技術(shù)中的擴(kuò)頻碼性能與系統(tǒng)的抗干擾、抗噪聲、抗截獲、信息隱蔽等能力密切相關(guān)。作為擴(kuò)頻碼的二元偽隨機(jī)序列應(yīng)該具有良好的隨機(jī)性、有足夠長(zhǎng)的碼周期和復(fù)雜度、滿足要求的序列數(shù)足夠多且易于產(chǎn)生和處理等特點(diǎn)。目前，人們常用的擴(kuò)頻碼有m序列、Gold序列等，但存在擴(kuò)頻碼數(shù)量少和保密性能差等不足。由于混沌信號(hào)具有初值敏感性、隨機(jī)性和寬譜性等特點(diǎn)，用混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生數(shù)量較多的序列作為擴(kuò)頻碼，并且它們具有很好的相關(guān)性和平衡性。早在1992年，HEIDARI-BATENI等[1]在直接擴(kuò)頻(direct-sequence spread spectrum，DS-SS)系統(tǒng)中應(yīng)用了混沌偽隨機(jī)序列，從此，人們開(kāi)始在這方面不斷地進(jìn)行研究，采用各種離散混沌系統(tǒng)和整數(shù)階連續(xù)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生擴(kuò)頻碼[2?4]，使擴(kuò)頻碼的選擇范圍和性能都得到較大提高。但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，破解技術(shù)得到更加深入研究和使用，傳統(tǒng)的整數(shù)階和離散混沌系統(tǒng)生成的擴(kuò)頻序列慢慢顯現(xiàn)出它的局限性，如復(fù)雜度低、易破譯不足等[5?7]。為了提高擴(kuò)頻通信的安全性，需要研究性能更優(yōu)的擴(kuò)頻碼。分?jǐn)?shù)階微積分具有很多優(yōu)點(diǎn)[8?10]，因而，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)已成為混沌研究的熱點(diǎn)[11?16]。WANG等[13?14]采用Adomian分解算法研究了分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz-Stenflo系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)隨著系統(tǒng)微分階數(shù)增加，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)逐漸減小，即在系統(tǒng)為混沌的階數(shù)范圍內(nèi)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的越小，系統(tǒng)越復(fù)雜，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)比對(duì)應(yīng)的整數(shù)階混沌系統(tǒng)更復(fù)雜。HE等[15?16]的研究也表明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度比整數(shù)階混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度更高。另外，基于Adomian分解算法在DSP平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，證明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的數(shù)字電路可實(shí)現(xiàn)，為分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在擴(kuò)頻通信中的應(yīng)用奠定了硬件基礎(chǔ)[13?14]。為此，本文作者以分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)為例，設(shè)計(jì)基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的擴(kuò)頻通信系統(tǒng)，并對(duì)混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)進(jìn)行仿真和性能測(cè)試分析。

1 分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)分析

分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的方程為

其中：h為迭代步長(zhǎng)；為Gamma函數(shù)；

當(dāng)=0時(shí)，[0，0，0]表示系統(tǒng)的初始狀態(tài)。對(duì)于整數(shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)，一般采用四階龍格庫(kù)塔法求解，得到其數(shù)值解的形式如下(其中，每次迭代包括59次加法和57次乘法)：

其中：

分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)和整數(shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的計(jì)算速度比較如表1所示。在迭代過(guò)程中進(jìn)行的乘法和加法次數(shù)越多，表示迭代1次花費(fèi)的時(shí)間越多，即速度越慢。所以，在同等條件下，分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的計(jì)算速度比整數(shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的計(jì)算速度快。

表1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)計(jì)算速度對(duì)比

2 擴(kuò)頻碼的生成與分析

根據(jù)圖1，在式(2)~(6)中，取初始值[0，0，0]= [0.1，0.2，0.3]，=5，=0.65，=0.01，對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為3.067 9，而采用四階龍格庫(kù)塔法求得的對(duì)應(yīng)整數(shù)階系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.500 8，這說(shuō)明在此條件下，分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)比整數(shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)更復(fù)雜，更有利于產(chǎn)生用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的擴(kuò)頻碼。下面針對(duì)迭代過(guò)程中得到分?jǐn)?shù)階混沌序列，采用如圖2所示的量化算法，設(shè)計(jì)偽隨機(jī)序列發(fā)生器。

圖2中，將每次迭代得到的混沌序列x+1，y+1和z+1均乘以1011，并取其整數(shù)部分，得到3個(gè)64位二進(jìn)制整數(shù)(DB63-DB0)，分別定義為I，I和I；然后選擇I的后8位(DB7-DB0)作為偽隨機(jī)二進(jìn)制序列的8位，隨著迭代進(jìn)行，得到一組足夠長(zhǎng)的二進(jìn)制偽隨機(jī)序列BS1。同時(shí)，計(jì)算I⊕I⊕I，取其最后8位作為另一個(gè)偽隨機(jī)二進(jìn)制序列BS2的8位。這樣，可同時(shí)產(chǎn)生2組偽隨機(jī)二進(jìn)制序列。此量化算法簡(jiǎn)單，在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中能節(jié)省系統(tǒng)資源。下面對(duì)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列進(jìn)行分析測(cè)試。

在眾多偽隨機(jī)序列的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試工具中，NIST(National Institute of Science and Technology)的STS(statistical test suite)是比較權(quán)威的測(cè)試方法[17]。對(duì)BS1和BS2分別進(jìn)行NIST測(cè)試，測(cè)試結(jié)果分別如表2和表3所示。其中，有5個(gè)測(cè)試項(xiàng)目需要測(cè)試多次，每一項(xiàng)測(cè)試的測(cè)試結(jié)果和通過(guò)測(cè)試的比例為多次測(cè)試中的最小值。從表2和表3可見(jiàn)：基于分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)得到的2組偽隨機(jī)二進(jìn)制序列均通過(guò)了NIST的STS測(cè)試，具有良好的隨機(jī)性能。

漢明距離(Hamming distance)是專(zhuān)門(mén)用于測(cè)試2個(gè)二進(jìn)制序列間互相關(guān)性的參數(shù)。計(jì)算上述得到的2個(gè)偽隨機(jī)二進(jìn)制序列BS1和BS2的漢明距離(見(jiàn)表4)，以判斷二者的互相關(guān)性。當(dāng)序列長(zhǎng)度選取不同值時(shí)，BS1和BS2的漢明距離均約為50%，說(shuō)明上述生成的2個(gè)偽隨機(jī)二進(jìn)制序列是互不相關(guān)的。

圖2 偽隨機(jī)序列發(fā)生器的二值量化算法

表2 BS1的NIST測(cè)試結(jié)果

表3 BS2的NIST測(cè)試結(jié)果

表4 不同長(zhǎng)度的BS1與BS2的漢明距離

對(duì)于基于混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列發(fā)生器，系統(tǒng)對(duì)初始值及系統(tǒng)參數(shù)的敏感性決定產(chǎn)生不同偽隨機(jī)序列的數(shù)量。產(chǎn)生不同的偽隨機(jī)序列對(duì)應(yīng)的初始值和系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍，通常稱(chēng)其為偽隨機(jī)序列發(fā)生器的“秘鑰空間”。相對(duì)于整數(shù)階混沌系統(tǒng)，在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)中，是除了初始值和系統(tǒng)參數(shù)外另一個(gè)影響系統(tǒng)特性的分岔參數(shù)。這里重點(diǎn)研究的影響。從BS1中隨機(jī)獲取長(zhǎng)度為107bit的二進(jìn)制序列KS1，然后，僅改變，使=0.65+10?7，再?gòu)男碌腂S1中相同位置獲取同樣長(zhǎng)度的二進(jìn)制序列KS2，計(jì)算不同的KS1和KS2的漢明距離，所得結(jié)果如表5所示。從表5可見(jiàn)：考慮了階數(shù)后，基于分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列發(fā)生器秘鑰空間至少增大107倍。

表5 不同長(zhǎng)度的KS1與KS2的漢明距離

3 分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)與性能測(cè)試

采用模塊化設(shè)計(jì)方法，在Simulink平臺(tái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)。將偽隨機(jī)序列按幀的格式生成擴(kuò)頻碼。假設(shè)發(fā)送端與接收端已實(shí)現(xiàn)同步，故在接收端采用同樣的擴(kuò)頻碼用作擴(kuò)頻解調(diào)。為了檢測(cè)不同信噪比(SN)時(shí)通信系統(tǒng)的性能，系統(tǒng)中信道的噪聲可調(diào)。載波調(diào)制與解調(diào)方式使用BPSK(二進(jìn)制相移鍵控)，最后，對(duì)接收的數(shù)據(jù)與發(fā)送的原始數(shù)據(jù)在誤碼率計(jì)算模塊進(jìn)行誤碼率分析。

從BS1中分別隨機(jī)截取8，16和32 bit偽隨機(jī)序列作為擴(kuò)頻碼，測(cè)試中傳輸106位碼元，得到誤碼率(BE)隨信噪比SN的變化情況如圖3所示。選擇32 bit擴(kuò)頻碼，當(dāng)SN=?2 dB時(shí)，誤碼率接近0；選擇8 bit擴(kuò)頻碼，當(dāng)SN=4 dB時(shí)，誤碼率才接近0；當(dāng)擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的SN不變時(shí)，擴(kuò)頻碼的位數(shù)越多，則BE越小。可見(jiàn)：擴(kuò)頻碼的位數(shù)對(duì)擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能有很大的影響，位數(shù)越多，系統(tǒng)的性能越好。

字節(jié)/bit：1—8；2—16；3—32。

在同樣條件下，選擇基于Hénon映射生成的偽隨機(jī)序列(H序列)作為擴(kuò)頻碼[18]，再選擇基于Chen系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列(C序列)作為擴(kuò)頻碼[19]，將上述分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)得到的偽隨機(jī)序列記作FSL序列。在這3種情況下都選擇32位擴(kuò)頻碼，誤碼率隨信噪比的變化如圖4所示。從圖4可見(jiàn)：當(dāng)SN＜?5 dB時(shí)，這3種情況的誤碼率相近，都比較大，表明在惡劣的通信環(huán)境下，這3種情況的性能均不佳；當(dāng)SN≥?4 dB時(shí)，基于FSL序列的誤碼率比另外2種情況的低；當(dāng)SN=?2 dB時(shí)，基于FSL序列的誤碼率接近0，但其他2種情況下仍有較高的誤碼率；當(dāng)SN≥?1 dB時(shí)，這3種情況的誤碼率都接近0?？梢?jiàn)：基于分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能優(yōu)于基于Hénon映射和Chen系統(tǒng)的擴(kuò)頻系統(tǒng)性能。

雖然用Gold序列和m序列作為擴(kuò)頻碼時(shí)，其數(shù)量有限，但其通信系統(tǒng)的正確率較高。在同等條件下，都發(fā)送106位碼元，基于FSL序列的偽隨機(jī)序列與Glod序列和m序列用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能對(duì)比如圖5所示。從圖5可見(jiàn)：當(dāng)SN=?2 dB時(shí)，基于FSL序列的通信系統(tǒng)的誤碼率接近于0，明顯小于Gold序列和m序列的誤碼率。可以說(shuō)明基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)的偽隨機(jī)序列性能優(yōu)于Gold序列和m序列。

擴(kuò)頻通信技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)之一就是多個(gè)用戶(hù)可以在同一個(gè)信道通信，互不干擾。增加通信系統(tǒng)的用戶(hù)數(shù)量到4個(gè)，4個(gè)用戶(hù)選擇不同的初始條件，均截取32位偽隨機(jī)序列作為擴(kuò)頻碼，將4個(gè)用戶(hù)的發(fā)送信號(hào)混合在一起發(fā)送出去，每個(gè)用戶(hù)發(fā)送104個(gè)碼元。通過(guò)分別檢測(cè)每個(gè)用戶(hù)的誤碼率隨信噪比變化情況，所得結(jié)果如圖6所示。從圖6可見(jiàn)：4個(gè)用戶(hù)中，每個(gè)用戶(hù)的通信性能隨信噪比的變化規(guī)律類(lèi)似，在很低的信噪比下仍保持很低的誤碼率。這說(shuō)明在同樣的載波頻率下，這4個(gè)用戶(hù)雖然在同一信道，但由于擴(kuò)頻碼的性能優(yōu)良，其信號(hào)相互干擾很小。

1—分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)；2—Hénon映射；3—Chen系統(tǒng)

1—分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)；2—Gold序列；3—m序列。

改變多用戶(hù)系統(tǒng)中的用戶(hù)數(shù)量分別為2，4，6，8和10。為了比較用戶(hù)數(shù)量對(duì)通信系統(tǒng)性能的影響，將每種情況下所有用戶(hù)誤碼率取平均值，所得測(cè)試結(jié)果如圖7所示。從圖7可見(jiàn)：不同用戶(hù)數(shù)量下的通信性能很接近，當(dāng)SN≥?1 dB時(shí)，誤碼率均約接近于0。這說(shuō)明使用的擴(kuò)頻碼具有良好的正交性，系統(tǒng)具有較大的多址容量。

1—用戶(hù)1；2—用戶(hù)2；3—用戶(hù)3；4—用戶(hù)4。

用戶(hù)數(shù)量/個(gè)：1—2；2—4；3—6；4—8；5—10。

4 結(jié)論

1) 分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的計(jì)算速度比整數(shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)快。

2) 分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的秘鑰空間比對(duì)應(yīng)整數(shù)階系統(tǒng)的秘鑰空間約大107倍。

3) 在擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列性能優(yōu)于基于Hénon映射和Chen系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列性能，也優(yōu)于m序列及Gold序列性能，適合于設(shè)計(jì)擴(kuò)頻通信。

4) 分?jǐn)?shù)階混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)具有更大的多址 容量。

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(編輯 陳燦華)

Design of communication system of fractional-order chaotic spread spectrum

WANG Huihai, SUN Kehui, HE Shaobo

(School of Physics and Electronics, Central South University, Changsha 410083, China)

In order to improve the performance of the spread spectrum communication system, a fractional-order chaotic spread spectrum communication system was designed. The fractional-order simplified Lorenz system was solved by adopting Adomian decomposition method. The iteration of the fractional-order system was deduced, and the numerical solution was obtained. Several uncorrelated chaotic pseudo-random sequences were generated by a simple binaryzation algorithm for iterative results. The pseudo-random sequence was used as spread spectrum code in spread spectrum communication system. At different signal-to-noise ratios, the influence of different spread spectrum codes on the performance of the communication system was analyzed. The results show that the pseudo-random sequences based on the fractional-order simplified Lorenz system have good randomness, and all pass statistical test suite(STS) of National Institute of Science and Technology(NIST).The generation of these pseudo-random sequences is fast. They have bigger secret key space and better security than the integer-order counterpart. The performance of the spread spectrum communication system designed is better than that of Hénon map, Chen system, m-sequence and Gold sequence, and has a good multiple access capability.

spread spectrum communication; fractional calculus; chaos

TN918.91

A

1672?7207(2018)04?0874?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.04.014

2017?06?29；

2017?08?22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61161006，61573383，61502538)(Projects(61161006, 61573383, 61502538) supported by the National Natural Science Foundation of China)

孫克輝，博士，教授，從事混沌理論與應(yīng)用研究；E-mail：kehui@csu.edu.cn