金建偉

摘要：作為低壓供電系統(tǒng)中的組成部分之一，低壓成套開關(guān)設(shè)備具有十分重要的作用。不僅要通過其實現(xiàn)對電能的控制與保護，還要經(jīng)其來對電能進行轉(zhuǎn)換以分配。當前在對低壓成套開關(guān)設(shè)備進行維修時多實用計劃維修的方式，即不論其是否有故障現(xiàn)象發(fā)生，一旦設(shè)備運行時間到達預先設(shè)定的周期就要進行停機檢修。雖然這種檢修方式可起到一定的效果，但是由于這種計劃性的檢修并未切實根據(jù)實際情況來制定，且針對性也不強，不可避免就會出現(xiàn)不及時維修的現(xiàn)象，并進而導致系統(tǒng)停止運行。因此若假設(shè)可對其壽命提前進行預測，并在預測結(jié)果的基礎(chǔ)上制定出相應(yīng)可行的維護與檢修計劃，不僅可以實現(xiàn)對設(shè)備的及時維修，還能避免因計劃檢修而帶來的電力系統(tǒng)中斷情況。本文就是在此基礎(chǔ)上從威布爾分布理論出發(fā)，結(jié)合使用多種方法實現(xiàn)了對設(shè)備壽命的提前預測。

關(guān)鍵詞：低壓成套開關(guān)設(shè)備；維護檢修；壽命預測；威布爾分布

引言

低壓成套開關(guān)設(shè)備在經(jīng)歷長時間運行后不可避免會出現(xiàn)一些故障問題，如不能提前將故障予以解決，將或?qū)е聡乐睾蠊?。因此在低壓電力系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)過程中要做好對低壓成套開關(guān)設(shè)備的日常維護與檢修工作。

威布爾分布模型自出現(xiàn)以來已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個領(lǐng)域中，并且是當前最主要的壽命分布模型之一。經(jīng)大量實踐研究表明，威布爾分布在設(shè)備中具有極為廣泛的適用性。因此為切實保障電力系統(tǒng)的正常運轉(zhuǎn)，并降低設(shè)備的維護成本，本研究嘗試引入威布爾分布模型，以實現(xiàn)其壽命的預測并由此制定出合理的維修計劃。

一、威布爾分布模型

本研究中的威布爾分布模型主要包括三個參數(shù)，即位置參數(shù)γ，尺度參數(shù)η以及形狀參數(shù)β。假設(shè)隨機變量為T，當其服從于三參數(shù)的威布爾分布時，其概率密度函數(shù)f（t）的計算公式即為：

（1）

其中：γ≥0，而η、β均>0。

而累積失效概率函數(shù)F（t）的計算公式則為：

（2）

此時T的數(shù)學期望E（t）及方差Var（t）的計算公式分別為：

（3）

（4）

其中：г（·）為Gamma函數(shù)。

在上述公式中，當γ取值為0時，威布爾分布將為二參數(shù)，則此時的f（t）與F（t）的計算公式則分別為：

（5）

（6）

二、威布爾分布的參數(shù)估計方法

（一）矩估計法

假設(shè)隨機變量為T，當其呈現(xiàn)連續(xù)型時其概率密度函數(shù)為f（t；θ1，θ2，…，θn），其中，θ1，θ2，…，θn即表示為n個待估計的參數(shù)，此時若（T1，T2，…Tn）為來自總體T的樣本，則可假設(shè)總體T的前n階矩的計算公式為： （7）

當μι存在且為θ1，θ2，…，θn的函數(shù)，其中ι=1，2，…n。樣本的前n階矩Aι的計算公式為： （8）

根據(jù)統(tǒng)計學的相關(guān)理論知識不得出，樣本矩Aι應(yīng)當按照一定的概率收斂于相應(yīng)的總體矩μι。此時若令μι=Aι（9）

則可得出n個含有未知參數(shù)θ1，θ2，…，θn的方程，通過對這些方程求解可以得出：

（10）

此時將 作為θi（i=1，2，…，n）的估計值，即為矩估計法。這種方法的本質(zhì)就是通過使用樣本在各階的矩來對其總體的各階矩進行估計。相關(guān)文獻中曾定義威布爾分布的總體階矩μn的計算公式為：

（11）

樣本矩的n階矩An的計算公式為：

（12）

其中ti為樣本的數(shù)據(jù)取值，并且t0=0.此時若令μn=An，當n=1，2，4，時可得出：

（13）

（14）

（15）

通過以上公式即可得出三參數(shù)威布爾分布中的各個參數(shù)的估計值 。

（二）相關(guān)系數(shù)估計法

通過對上述公式（2）進行移項處理可得出：

（16）

對公式（16）取自然對數(shù)則：

（17）

此時令

ɑ=β

則可得出：Y=ɑX+b （18）

通過上述處理即可完成對威布爾模型的線性處理，并且從理論上來講，Y與X呈現(xiàn)出嚴格的線性關(guān)系。

當假設(shè)低壓成套開關(guān)設(shè)備的壽命數(shù)據(jù)分別為t1，t2，…tm，使用中位秩公式計算器經(jīng)驗分布函數(shù)，此時當m>20時，中位秩公式為：

（19）

而當m≤20時，其中位秩公式則為：

（20）

進而得出：

此時即可知X與Y的相關(guān)系數(shù) 的計算公式為：

（21）

即為表示X與Y之間線性相關(guān)性的具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)，通常 的取值區(qū)間為（-1，1），并且兩者的線性相關(guān)性隨著 逐漸趨于1，其程度就越高。

由公式（21）可發(fā)現(xiàn)， 為γ得到函數(shù)，通過選用適宜的γ使| |得出最大值時所采用的的 即是γ的估計值。在此基礎(chǔ)上還可進一步使用最小二乘法得出β與η的估計值。

（三）灰色估計法

將上述公式（16）進行變形處理后可得出：

（22）

整理后可得出：

（23）

此時若假設(shè)c=η ɑ= b=γ

則可得出 （24）

在灰色系統(tǒng)理論中，白化方程與其方程解的時間響應(yīng)函數(shù)分別為

（25）

（26）

通過將公式（24）及（26）對比觀察發(fā)現(xiàn)，兩者的形式一致。因此可使用灰色GM（1，1）模型來估計威布爾分布的參數(shù)，具體方法如下：

第一，可將設(shè)備的壽命按時間先后進行數(shù)據(jù)排序，即t1，t2，…，tn。

第二，依據(jù)數(shù)量n的取值來選擇適宜的中位秩公式，并計算出分布函數(shù) 。

第三，將上述函數(shù)帶入公式 中，就可求解出xi（i=1，2，…，n）。

第四，在序列（ti，xi）基礎(chǔ)上建立灰色微分方程： ，并計算得出a與u這兩個未知參數(shù)的值，如下：

（27）

其中，

當求解出a與u時，則可以相應(yīng)求解出威布爾分布的相關(guān)參數(shù)值， 。而 =c的可有模型的初值計算得出。

三、可靠性特征量的計算

（一）可靠度

設(shè)備的可靠度通常是指設(shè)備在約定的時間及條件下可完成預先既定功能的概率情況，在本研究中用R表示，其時間函數(shù)則記做R（t），即為可靠度函數(shù)。當設(shè)備的壽命服從威布爾分布，其故障時間使用隨機變量T表示，其可靠度函數(shù)的計算公式為：

（28）

當γ=0時，二參數(shù)威布爾分布下的可靠度函數(shù)為

（29）

結(jié)合公式（2）與公式（28）即可得出R（t）=1-F（t）

通過對上述可靠度函數(shù)的公式進行研究后不難看出，設(shè)備的使用時間越長，其可靠度會逐步遞減。究其原因則主要是由于隨著設(shè)備被使用時間的逐漸增加，其磨損及老化程度也會增加，并進而致使其出現(xiàn)一些故障問題，最終致使其可靠度降低。

（二）失效率函數(shù)

設(shè)備在任一時刻t的失效率，其實就是指當設(shè)備工作到t時刻的瞬間出現(xiàn)失效現(xiàn)象的概率。因此，失效率也是時間t的函數(shù)，即失效率函數(shù)，通常用λ（t）表示。

根據(jù)公式

（30）

當兩邊同時處以Δt，取其趨于0時的極限值即可得出：

（31）

假設(shè)設(shè)備服從三參數(shù)的威布爾分布，則此時的λ（t）計算公式為：

（32）

當γ取值為0時，可得出二參數(shù)威布爾分布的失效率函數(shù)，其計算公式為：

（33）

由以上λ（t）的計算公式不難看出，當β<1時，隨著設(shè)備使用時間的增加，其失效率呈遞減趨勢，這種現(xiàn)象較適用于設(shè)備的使用初期，因此其線性表示應(yīng)為浴盆曲線的早期；而當β=1時，設(shè)備的失效率為正常值，這時即為設(shè)備的正常試用期，其線性表示應(yīng)為浴盆曲線的偶然失效期；而當β>1時，隨著設(shè)備使用時間的演唱，其失效率也會增加，這種現(xiàn)象適用于設(shè)備的后期階段，對應(yīng)表示為浴盆曲線的耗損失效期。綜上可知，威布爾分布具備更加靈活的特性，并且能更加形象的描述出設(shè)備在全壽命周期中的各種變化。上述浴盆曲線及為設(shè)備的失效率曲線，如下圖所示。

（三）可靠壽命

當設(shè)備的可靠度R減小到一定值，通常0≤R≤1，這一過程所需的時間就被稱為R的可靠壽命，即為tR，兩者之間的關(guān)系式為 （34）

當R=0.5時為設(shè)備的中位壽命，可表示為t0.5，而當R=exp（-1）時為特征壽命，表示為t0.368.R與tR之間的關(guān)系如下圖

四、剩余壽命模型

當假設(shè)本研究中的設(shè)備的壽命T服從三參數(shù)威布爾分布，其概率密度函數(shù)f（t）的計算公示為：

（35）

其中：

對比公式（1）與（35）可知：

則其累計失效概率 （36）

其可靠度函數(shù) （37）

當t=ta時，T的期望與方差分別為：

（38）

（39）

當設(shè)備處于中位壽命時， （40）

綜合公式（38）～（40）而得出的方程組，進行求解即可得出設(shè)備威布爾分布的單個參數(shù)的估計值，

假設(shè)設(shè)備在t時刻時仍可以正常使用，那么從此時直至設(shè)備宣告報廢的這段工作時間即可被稱為設(shè)備的剩余壽命。通過使用隨機變量T1表示其剩余壽命，則其分布函數(shù)則為： （41）

進一步計算可得出： （42）

而由于 （43）

（44）

則綜合公式（42）～（44）可得出：

（45）

綜合公式（37）與（45）即可得出設(shè)備的剩余壽命：

（46）

綜上，假設(shè)設(shè)備使用時間為t，其剩余壽命Tt，則設(shè)備剩余壽命的可靠為 （47）

而剩余壽命的概率密度函數(shù)則為：

（48）。

結(jié)束語

在實際的應(yīng)用過程中，工作人員即可通過使用此模型并結(jié)合設(shè)備的實際運行情況來針對制定低壓成套開關(guān)設(shè)備的維修計劃，不僅可以降低維修成本，還能使維修效率得到最大化提升。

參考文獻

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（作者單位：中國電力科學研究院有限公司）