蔣立民

（91245部隊(duì)，遼寧葫蘆島，125000）

0 引言

數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)是雷達(dá)系統(tǒng)的重要組成部分。數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)在獲取雷達(dá)信號處理產(chǎn)生的測量數(shù)據(jù)后，對所收到的測量數(shù)據(jù)主要進(jìn)行分析判斷、相關(guān)處理、濾波與預(yù)測、平滑、外推等，最終實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的穩(wěn)定連續(xù)跟蹤和對目標(biāo)狀態(tài)的精確估計(jì)。其處理的關(guān)鍵技術(shù)在于測量數(shù)據(jù)組織、相關(guān)和濾波算法的實(shí)現(xiàn)。本文只針對其中的濾波處理進(jìn)行了研究，濾波處理主要用于解決測量數(shù)據(jù)的不精確性和被測量目標(biāo)狀態(tài)的跟蹤與預(yù)判，目前常用的濾波算法主要包括α-β濾波、Kalman濾波和最小二乘法，通過分析三種算法的原理，并比較其優(yōu)點(diǎn)有助于實(shí)踐應(yīng)用者在選擇算法時做出最合理的選擇。

1 濾波算法原理

1.1 最小二乘法

最小二乘法的濾波原理是：根據(jù)采集到的數(shù)據(jù)組(xi, yi)，其中i等于(1,2···,n)，選定近似函數(shù)形式，即給定函數(shù)類H，求解?(χ)∈ H ，即

使得式（1）為最小，即

通常在單脈沖雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中一般選用多項(xiàng)式擬合對給定數(shù)組(xi?yi)求一個m(m＜n)次多項(xiàng)式，即

使得

為最小，選取參數(shù) ai(i = 0 ,1,···,m )，使得

式（5）中，H為至多m次多項(xiàng)式的集合。Pm(χ)稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘m次擬合多項(xiàng)式。由多元函數(shù)取極值的必要條件，得

式（6）即是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù) ak( j =k = 0 ,1,···,m)應(yīng)滿足的方程組，由函數(shù)組{1 , χ,χ2,· · ·,χm}的線性無關(guān)性可以得證式（6）存在唯一解，且解所對應(yīng)的多項(xiàng)式 Pm(χ)必定是給定數(shù)組(xi, yi)的最小二乘擬合多項(xiàng)式。

1.2 Kalman濾波

在單脈沖雷達(dá)測量過程中，根據(jù)雷達(dá)獲得的前兩次測量值z1和 z2求得Kalman濾波的狀態(tài)初值，即有

假設(shè)測量噪聲ω是一個具有平穩(wěn)方差2wσ的零均值高斯隨機(jī)變量，且與過程噪聲和初始條件無關(guān)，則可以推導(dǎo)出相應(yīng)的協(xié)方差矩陣2/2P ,即為

按照濾波協(xié)方差矩陣初始值，計(jì)算預(yù)測協(xié)方差矩陣，可得

若已知Kalman增益

則可按照下式計(jì)算濾波協(xié)方差。

由狀態(tài)濾波值和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，按下式可計(jì)算狀態(tài)預(yù)測值，即為

由狀態(tài)預(yù)測值、測量值和Kalman增益就可以計(jì)算Kalman濾波值，即為

1.3 α-β 濾波

當(dāng)被測量目標(biāo)運(yùn)動方程采用速度模型時，其濾波增益矩陣為常數(shù)矩陣，為 K =α β/TT,即α-β 濾波。根據(jù)給定的過程噪聲和測量噪聲可以按Kalman濾波方程得出α、β與各個已知參數(shù)之間關(guān)系式。

假設(shè)過程噪聲的協(xié)方差矩陣，測量噪聲方差為，即

根據(jù)式（14）和式（15）以及相應(yīng)的 Kalman方程，可得到αβ、與過程噪聲、測量噪聲的關(guān)系式，即

式中 λ =，在實(shí)際應(yīng)用過程中，根據(jù)σw與σa的取值不同，可以算出α、β的值，因此有效的確定σw與σa的值是實(shí)現(xiàn)α-β濾波的關(guān)鍵。

2 算法驗(yàn)證及結(jié)果比較

為了驗(yàn)證算法的正確性，在某型單脈沖雷達(dá)的數(shù)據(jù)處理過程中加入α-β濾波、Kalman濾波和最小二乘法濾波，實(shí)踐中可根據(jù)不同情況選擇不同濾波方式。過程中采集測量數(shù)據(jù)中的方位角數(shù)值和距離數(shù)值，凝聚二維點(diǎn)跡，根據(jù)點(diǎn)跡線性特征對比不同濾波效果，具體流程如圖1所示。

圖1 濾波算法應(yīng)用流程圖

驗(yàn)證過程中，單脈沖雷達(dá)分別跟蹤直線飛行、轉(zhuǎn)向的直線飛行和機(jī)動飛行的空中目標(biāo)，應(yīng)用α-β濾波、Kalman濾波和最小二乘3種算法濾波處理，分析比較3種情況的距離、方位的均方差和點(diǎn)跡圖。

圖2 原始點(diǎn)跡

圖3 最小二乘濾波

圖4 Kalman濾波

圖5 α-β濾波

圖2 ～圖5分別為跟蹤直線飛行目標(biāo)情況下的目標(biāo)原始點(diǎn)跡、應(yīng)用最小二乘法濾波后點(diǎn)跡、應(yīng)用Kalman濾波法濾波后點(diǎn)跡、應(yīng)用α-β濾波法濾波后點(diǎn)跡，3種濾波算法對應(yīng)的均方差值如表1所示。

表1 直線飛行目標(biāo)3種濾波算法均方差值比較

從圖2～圖5及表1可以看出，α-β濾波算法應(yīng)用于直線運(yùn)動目標(biāo)時跟蹤濾波效果最好。

圖6～圖9分別為跟蹤改變航向直線飛行目標(biāo)情況下的目標(biāo)原始點(diǎn)跡、應(yīng)用最小二乘法濾波后點(diǎn)跡、應(yīng)用Kalman濾波法濾波后點(diǎn)跡、應(yīng)用α-β濾波法濾波后點(diǎn)跡，3種濾波算法對應(yīng)的均方差值如表2所示。

圖6 原始點(diǎn)跡

圖7 最小二乘濾波后點(diǎn)跡

圖8 Kalman濾波后點(diǎn)跡

圖9 α-β濾波后點(diǎn)跡

表2 變航向的直線飛行目標(biāo)3種濾波算法均方差值比較

從圖6～圖9及表2可以看出，α-β濾波算法應(yīng)用于變航向的直線運(yùn)動目標(biāo)時跟蹤濾波效果仍最好，這說明其具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

圖10～圖13分別為跟蹤機(jī)動飛行目標(biāo)情況下的目標(biāo)原始點(diǎn)跡、應(yīng)用最小二乘法濾波后點(diǎn)跡、應(yīng)用Kalman濾波法濾波后點(diǎn)跡、應(yīng)用α-β濾波法濾波后點(diǎn)跡，3種濾波算法對應(yīng)的均方差值如表3所示。

圖10 原始點(diǎn)跡

圖11 最小二乘濾波

圖12 Kalman濾波

圖13 α-β濾波

表3 機(jī)動飛行目標(biāo)3種濾波算法均方差值比較

從圖10～圖13及表3可以看出，Kalman濾波算法應(yīng)用于機(jī)動飛行目標(biāo)時跟蹤濾波效果最好。

從上面3種應(yīng)用比較情況看，α-β濾波算法適用于直線運(yùn)動目標(biāo)，濾波效果較好；Kalman濾波算法適用于機(jī)動運(yùn)動目標(biāo)，濾波效果較好；而最小二乘濾波算法一般誤差較大，一般不單獨(dú)使用，僅在跟蹤中用作輔助預(yù)判。

3 結(jié)束語

通過上述濾波算法研究與實(shí)踐應(yīng)用對比，證明了濾波算法對提高單脈沖雷達(dá)跟蹤效果、提高測量數(shù)據(jù)精度具有重要作用；同時分析對比情況說明了3種濾波算法的各自特點(diǎn)以及適用的情況，有助于實(shí)踐應(yīng)用者在選擇算法時做出最合理的選擇。

參考文獻(xiàn)

[1]孫祥龍,張祖稷.雷達(dá)數(shù)據(jù)處理[M].北京：國防工業(yè)出版社,1988．

[2]徐士良.計(jì)算方法[M].北京:人民郵電出版社,2009．

[3]胡世祥,段雙泉.外彈道測量數(shù)據(jù)處理[M].北京：國防工業(yè)出版社,2002．