徐雷，張蓓，孔維新，陳楚，張軍

(新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

量子霍爾效應(yīng)是二十世紀凝聚態(tài)物理中最有意義的發(fā)現(xiàn)之一，在過去的三十多年間研究者在此領(lǐng)域做了大量的實驗和理論工作．量子霍爾效應(yīng)首先是在二維電子氣中被觀測到[1,2]，當(dāng)均勻磁場應(yīng)用于二維電子氣上，其能帶變成Landau能級，此Landau能級具有非平庸的拓撲指標——Chern數(shù)[3]．當(dāng)整數(shù)（或者某些分數(shù)）個Landau能級被填充時，系統(tǒng)將變?yōu)橥負浞瞧接沟慕^緣體，即整數(shù)（分數(shù)）量子霍爾效應(yīng)．

自1988起，研究者對無磁場格點模型的整數(shù)和分數(shù)量子霍爾效應(yīng)做了大量的研究工作．第一個著名的例子就是Haldane模型[4]．Haldane模型是建立在半滿填充的蜂窩狀晶格上的，由于模型中引入了凈磁場為零的非均勻磁場，整數(shù)量子霍爾效應(yīng)可以穩(wěn)定存在，而且霍爾電導(dǎo)等于一個拓撲不變的Chern數(shù)．最近，由于在時間反演不變的Z2拓撲絕緣體[5,6]研究方面的突破，使得這一領(lǐng)域再次成為研究的前沿．從拓撲學(xué)的觀點看，Haldane模型和Z2拓撲絕緣體都可以看做廣義的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，但是這些體系的單粒子能帶都是色散的，它們不支持分數(shù)激發(fā)，故在這些體系中不能實現(xiàn)分數(shù)量子霍爾效應(yīng)．對于分數(shù)量子態(tài)，分數(shù)Z2拓撲絕緣體在理論上是可行的[7]，但是如何在格點模型上實現(xiàn)這種狀態(tài)，現(xiàn)在還不是非常清楚，主要困難在于要實現(xiàn)分數(shù)量子態(tài)則需要強耦合作用．整數(shù)量子霍爾效應(yīng)和Z2拓撲絕緣體基本的拓撲性質(zhì)都可以通過非相互作用的圖像獲得，但是對于分數(shù)量子霍爾效應(yīng)，相互作用則是非常重要的．事實上，在上述的格點模型中拓撲非平庸的能帶寬度與帶隙大小通常是可比較的，甚至是大于帶隙的，這就使得體系中很難存在分數(shù)拓撲態(tài)．這樣，即使在分數(shù)填充時，由于相互作用弱于關(guān)聯(lián)作用，體系將處于費米液體態(tài)而非分數(shù)量子霍爾態(tài)．因此，在格點上實現(xiàn)類似于分數(shù)量子霍爾效應(yīng)的分數(shù)拓撲態(tài)的關(guān)鍵在于如何在能帶中實現(xiàn)拓撲非平庸的平帶．在真實的材料中，嚴格的平帶（帶寬為零）是非物理的，因此我們可以放寬限制，只要求帶寬遠小于帶隙寬度即可．

最近，研究者提出了一系列的拓撲平帶格點模型[8?19]，有望克服上述困難，從而實現(xiàn)分數(shù)量子霍爾效應(yīng)．這些格點模型都具有類似于Haldane模型和Z2拓撲絕緣體的拓撲非平庸的能帶，可以通過調(diào)節(jié)短程躍遷參數(shù)使能帶寬度減小至遠小于帶隙的寬度，進而導(dǎo)致能帶接近于平帶．特別地，根據(jù)拋物線型能帶接觸機制[8,9]，研究者可以獲得一系列的平帶模型，它們的帶隙與帶寬的比值可以達到很大值約20-50．根據(jù)接近于平的能帶與Landau能級之間的相似性可以猜測[11]：在這些平帶模型中，考慮到排斥相互作用，分數(shù)量子霍爾效應(yīng)（或者分數(shù)拓撲絕緣體）可以穩(wěn)定存在．

非常有趣的是最近連續(xù)有多個不同的課題組在平帶模型研究中取得重要進展[8?19]，他們指出在此模型中可以實現(xiàn)分數(shù)量子霍爾效應(yīng)[11,12]．到目前為止，我們知道在無Landau能級的二維體系中實現(xiàn)分數(shù)量子霍爾效應(yīng)的關(guān)鍵在于能帶中存在拓撲非平庸的平帶和載流子之間存在相互作用．因此，在無Landau能級的二維晶格中尋找拓撲非平庸的平帶結(jié)構(gòu)將顯得非常有意義．在本文中我們將詳細地研究無相互作用的二維Kagome晶格模型（如圖1所示），在無均勻磁場作用下通過簡單的調(diào)控交錯磁通和次近鄰躍遷強度來尋找拓撲非平庸的平帶結(jié)構(gòu)，從而找到拓撲陳絕緣體．其中a為晶格常數(shù)．t1和t2分別表示最近鄰（實線）和次近鄰（虛線）躍遷強度．每個三角形和六角形內(nèi)的磁通分別為?和?2?，晶格中總磁通量為零，沿著箭頭方向的最近鄰躍遷具有相位?/3，次近鄰躍遷相位為零．

圖1 Kagome晶格示意圖

點線圍成的六邊形表示W(wǎng)igner-Seitz原胞，每個原胞內(nèi)含有3個原子，分別用A，B，C標記，晶格的基矢為

1 模型和方法

二維Kagome晶格模型如圖1所示，其緊束縛模型哈密頓量為

其中表示第i格點上的消滅和產(chǎn)生算符，〈ij〉和〈〈ij〉〉表示最近鄰和次近鄰格點對，?ij=±?/3表示加在最近鄰格點上的磁通所產(chǎn)生的相位，t1和t2分別表示最近鄰和次近鄰躍遷強度，H1和H2分別表示最近鄰和次近鄰躍遷哈密頓量．

將哈密頓量進行傅里葉變換并數(shù)值對角化后，系統(tǒng)在零溫時的霍爾電導(dǎo)可以通過Kubo公式計算，

其中S表示系統(tǒng)的面積，E是費米能，εm和εn分別是本征態(tài)|m〉和|n〉所對應(yīng)的本征能量．速度算符定義為是電子的位置算符．當(dāng)費米能級E位于能隙之間時，霍爾電導(dǎo)可以表示為其中Cm為第m個填充的子能級的陳數(shù)[3]．

2 結(jié)果與討論

在周期性邊界條件下，經(jīng)過傅里葉變換系統(tǒng)的哈密頓量在動量空間可以表示為

其中分別為最近鄰和次近鄰躍遷哈密頓量，它們都是3×3的矩陣

式中分別表示一個原胞內(nèi)從A到B，B到C，C到A的矢量．

圖2 Kagome晶格的能帶：（a）?=0，t2=0，（b）?=0.5π，t2=0，（c）?=0.5π，t2=?0.28t1

對動量空間中的哈密頓量（3）進行數(shù)值對角化，可以得到不同參數(shù)條件下的本征值譜和本征矢量，從而可以計算出各個能帶的Chern數(shù)．如圖2所示，計算結(jié)果表明在不同參數(shù)條件下，Kagome晶格的能帶中都含有三個能帶．當(dāng)交錯磁通和次近鄰躍遷都為零時（如圖2（a）?=0和t2=0），能帶的能量值由上到下的關(guān)系為Eupper≥Emiddle≥Elower，最高能帶的能量值為Eupper=2是個常數(shù)．此時三個能帶的Chern數(shù)均為零，C=0，能帶都是拓撲平庸的．只要時間反演對稱性不被破壞，這些性質(zhì)始終存在．如圖2（b）所示，當(dāng)交錯磁通?=0.5π時，能帶中出現(xiàn)了平帶結(jié)構(gòu)，但是此能帶的Chern數(shù)為零，Cmiddle=0，能帶是拓撲平庸的．然而，與此不同的是另外兩個能帶的Chern數(shù)卻不為零，Clower=?Cupper=sgn(sin?)=1，這表明交錯磁通可以改變能帶的拓撲性質(zhì)，能帶由原來的拓撲平庸變?yōu)橥負浞瞧接梗?/p>

在交錯磁通(?/=0和π)作用下，Kagome晶格中部分能級的Chern數(shù)為非零值，Clower=?Cupper=sgn(sin?)，是拓撲非平庸的能帶．因此，在以下計算過程中取交錯磁通?=0.5π，通過改變次近鄰躍遷強度，來尋找拓撲非平庸的近平帶結(jié)構(gòu)．同時，考慮到粒子的激發(fā)是從低能級向高能級躍遷，所以期望較低能級具有拓撲平帶結(jié)構(gòu)．

如圖3（a）所示，給出了帶隙與帶寬的比值隨次近鄰躍遷強度的變化曲線．從圖中可以很容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t2=?0.28t1時帶隙與帶寬的比值最大，Δ12/W≈8，Δ13/W≈23，這里Δ12，Δ13，W分別表示中間能帶和最低能帶間的帶隙，最高能帶和最低能帶間的帶隙，最低能帶的帶寬．在此條件下，能帶結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示，從圖上可以看出最低能帶和最高能帶的帶寬都比較小，接近于平帶結(jié)構(gòu)．

圖3 （a）在給定交錯磁通情況下，帶隙與帶寬的比值隨次近鄰躍遷強度變化曲線；（b）Kagome晶格納米帶的能帶結(jié)構(gòu)；（c）霍爾電導(dǎo)

為進一步說明Kagome晶格模型的拓撲性質(zhì)，我們研究其邊界態(tài)性質(zhì)．取x方向為開邊界，其寬度為Lx=80a（a為晶格常數(shù)），y方向為周期性邊界條件，得到一個納米條帶，其對應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)如圖3（b）所示．從圖中可以看到，最低能級的寬度非常小，而且在兩個帶隙之間都有一支表面能帶隨ky增加時，從低能帶穿越到高能帶，另一支沿相反方向穿越．通過計算發(fā)現(xiàn)這兩支表面能帶分別局域在納米條帶的兩個邊界，是邊界態(tài)．如果費米能處于帶隙之間，系統(tǒng)將會處于邊界態(tài)導(dǎo)通的拓撲絕緣態(tài)．由數(shù)值計算結(jié)果可知，圖中三個能帶的Chern數(shù)分別為Clower=?Cupper=1，Cmiddle=0，這正是我們所要尋找的拓撲平帶結(jié)構(gòu)．通過Kubo公式（2）計算系統(tǒng)的霍爾電導(dǎo)可以得到，在帶隙間具有量子化的霍爾電導(dǎo)值σxy=e2/h（如圖3（c）所示），對應(yīng)量子霍爾態(tài)．由于拓撲平帶與二維Landau能級的相似性，在系統(tǒng)中加上相互作用將有可能實現(xiàn)無磁場的分數(shù)激發(fā)，從而產(chǎn)生分數(shù)量子霍爾態(tài)．

3 結(jié)論

本文采用緊束縛模型研究了二維Kagome晶格在交錯磁通和次近鄰躍遷強度調(diào)控下的能帶結(jié)構(gòu)．通過改變交錯磁通和次近鄰躍遷強度，可以找到拓撲非平庸的平帶結(jié)構(gòu)，即拓撲陳絕緣體，同時系統(tǒng)中還存在整數(shù)量子霍爾態(tài)．在此條件下考慮到電子間相互作用有望實現(xiàn)分數(shù)量子霍爾態(tài)．

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