王斌， 雷虎民， 李炯， 葉繼坤， 李寧波

(空軍工程大學 防空反導學院， 西安 710051)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，對于威脅程度較大的敵方目標，往往需要采取多彈齊射的方式進行攔截以保證毀傷概率。為了達到這種飽和攻擊的戰(zhàn)術效果，需要對多枚導彈實現(xiàn)一致性的攻擊時間控制，各枚導彈根據(jù)指定的攻擊時間，各自獨立或者相互協(xié)同地完成攻擊任務。

自從Kim等首次提出攻擊時間控制的導引問題以來[1]，各國學者基于不同的導引理念和控制理論，已經(jīng)取得不少攻擊時間控制導引律(Impact Time Control Guidance，ITCG)的研究成果。文獻[2]將攻擊時間控制導引問題轉(zhuǎn)化為標稱彈目距離跟蹤問題，利用動態(tài)逆理論設計了三維空間的ITCG；文獻[3]繼續(xù)采用文獻[2]的彈目距離跟蹤思想設計了一種帶攻擊角度約束的ITCG；文獻[4]同樣基于跟蹤思想設計ITCG，不同的是其跟蹤的變量是視線角速率而不是彈目距離；文獻[1，5]采用小前置角假設估算剩余飛行時間，利用最優(yōu)控制理論求解ITCG，但這種導引律只適用于初始前置角較小的情形；文獻[6-8]研究了帶攻擊角度約束的ITCG，基于最優(yōu)控制理論將導引問題轉(zhuǎn)化為能量最優(yōu)的2點邊值問題，但其數(shù)值解法的應用使得導引律缺乏實時性保證；文獻[9]基于線性化導引方程推導了一種具有偏置項的比例導引ITCG，偏置項用于調(diào)整攻擊時間；文獻[10]同樣設計了具有偏置結(jié)構(gòu)的ITCG，不同的是采用非線性導引模型設計導引律，與文獻[5]類似，在推導剩余飛行時間表達式時，其同樣采用了小前置角假設；文獻[11]設計了一種時變導航比的ITCG，根據(jù)不同的攻擊時間在線計算所需要的導航比，但算法的實時性難以保證；文獻[12-13]采用滑?？刂评碚撛O計ITCG，但其剩余時間估計表達式仍然不適用于大前置角攔截；文獻[14-15]設計了基于虛擬領彈策略的ITCG，其方法是先構(gòu)造出一枚可按指定時間攻擊的虛擬領彈，然后設計導引律使真實導彈的軌跡跟蹤虛擬導彈的軌跡完成攻擊時間的控制，不需要估計剩余時間，但其制導指令往往會出現(xiàn)奇異或產(chǎn)生跳變。

綜上所述，目前關于攻擊時間控制的導引問題研究可大致分為2類：一類是不需要估計剩余時間的ITCG，主要是基于跟蹤的思想來實現(xiàn)，但被跟蹤的理想曲線通常不易獲得；另一類是需要估計剩余時間的ITCG，但剩余時間的獲取往往是通過基于小前置角假設的線性化導引方程來估算[16]，以致導引律對大前置角攔截并不適用。針對以上問題，本文研究旨在得到一種可用于大前置角攔截的ITCG，使其不僅適用于打擊固定目標，而且可以打擊非機動運動目標。導引律的推導利用非線性導引方程，采取基于預測命中點(Predicting Interception Point，PIP)的剩余時間估計方法，結(jié)合等效滑模控制理論得到，通過選擇合適的滑模面和控制律，使其滿足大初始前置角下的攔截要求，并給出了嚴格的數(shù)學證明。仿真結(jié)果證明了該導引律的有效性。

1 導引模型

末制導過程的彈目相對運動是俯仰平面和偏航平面的耦合運動，本文為了研究方便，將其簡化為2個通道的獨立運動?？紤]到俯仰平面與偏航平面運動的相似性，本文只研究二維俯仰平面的彈目相對運動，其運動模型如圖1所示。

圖1 彈目相對運動模型 Fig.1 Missile-target relative motion model

相對運動方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

對式(2)求導可得

(5)

整理可得

(6)

(7)

如果把攻擊時間t定義為導彈發(fā)射時刻到彈目遭遇所用的總時間，則有

t=te+tgo

(8)

2 導引律設計

2.1 滑模面選擇依據(jù)

定義攻擊時間誤差

(9)

(10)

(11)

即

(12)

如果在滑模運動的初始階段，有：

(13)

綜上所述，選擇式(10)所示的滑模面能夠完成任意e≤0，即估計攻擊時間小于指定攻擊時間情況下的導引控制，這也是下文tgo近似算法的選擇依據(jù)。

2.2 基于等效滑?？刂频膶б稍O計

剩余時間tgo的經(jīng)典計算方法是R/Vc，Vc為接近速度，但這種計算方法只適用于導彈前置角較小的情形，對大前置角攔截并不適用。文獻[17]給出了一種逆軌攔截剩余時間估計計算方法，無論打擊固定目標還是非機動運動目標，都能獲得良好的估計精度。其計算式為

(14)

式中：k=VT/VM為目標與導彈的速度比；N為導航比。

由式(14)可以看出，當攔截固定目標k=0且導彈前置角ηM為零或很小時，tgo=R/VM=R/Vc，與經(jīng)典計算方法相同；當導彈前置角不為零時，則通過修正項1+(ηM-kq)2/(4N-2)來修正估計誤差，ηM越大，tgo越長，且式(14)所示的tgo計算方法依賴于VM而與Vc無關，因此即使Vc<0，即在前置角很大的情況下，也能取得較好的估計精度。同時由文獻[17]可知，逆軌攔截模式下tgo的估計值要小于實際值，符合2.1節(jié)的結(jié)論。因此，將利用式(14)給出的tgo計算方法設計大前置角攔截ITCG，以保證滑模面s=0可達。

等效滑模控制算法的一般形式為

(15)

(16)

對式(14)求導結(jié)合式(3)可得

(17)

將式(7)和式(17)代入式(16)得

(18)

(19)

(20)

式中：l為不連續(xù)控制器的增益。此時制導指令的計算式為

(21)

為了得到不連續(xù)控制器的增益l，定義Lyapunov函數(shù)為

(22)

對式(22)求導并將式(18)、式(21)代入可得

(23)

取

(24)

式中：m=const>0。

將式(24)代入式(23)，得

(25)

注意到式(25)中，如果

(26)

(27)

3 導引律改進方法

2.2節(jié)提到，如果式(26)成立，則所設計的導引律能夠嚴格滿足Lyapunov穩(wěn)定條件，保證大前置角攔截攻擊時間可控。下面證明當式(26)不成立，即Lyapunov穩(wěn)定條件不能嚴格滿足時，大前置角攔截攻擊時間控制的可行性及導引律改進方法。

當式(26)不成立時，有

(28)

對式(28)重新整理，可得

(29)

因為k>0，c>0，N一般取3～6，因此式(29)的右端恒大于零。由式(2)可得

(30)

(31)

式中：ε為大于零的常數(shù)。

將式(31)代入式(23)，得

(32)

(33)

4 仿真驗證

為了驗證本文所設計的大前置角攔截ITCG的有效性，本節(jié)將對攔截固定目標、攔截非機動運動目標和齊射攻擊3種攻擊情況進行仿真驗證，其中導彈和目標初始狀態(tài)的選擇如表1所示，制導律參數(shù)N=3，m=200，ε=0.005，κ=0.000 1；目標靜止時取c=1，目標運動時取c=0.01。自動駕駛儀等效為一階慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)取0.1 s。

表1 仿真參數(shù)值

4.1 攔截固定目標(k=0)

1) 導彈和目標的初值選取同表1，此時前置角ηM=θM0=60°，指定攻擊時間分別取40、50、60、70 s進行仿真，結(jié)果如圖2所示。

從圖2(b)可以看出，4種情況下，導彈都能以指定的攻擊時間命中目標，時間分別是39.99，49.99，59.99，69.99 s。而由圖2(a)可知，指定飛行時間越長，彈道彎曲程度越大，且在每一條飛行彈道的初段，導彈前置角均呈現(xiàn)出增大的趨勢，即導彈出現(xiàn)偏離目標飛行的情況，此時剩余飛行時間也逐漸增大(見圖2(b))，這主要是由于調(diào)整彈道以實現(xiàn)指定時間攻擊。而由圖2(c)可以看出，為了調(diào)整彈道以達到指定攻擊時間，導彈需要以較大的法向加速度消除時間誤差，隨著時間誤差修正完成，導彈就能以較小的前置角，較平滑的彈道命中目標，此時法向加速度逐漸減小直至維持在0.5g左右，g為重力加速度。

2) 為驗證大前置角攔截時的有效性，在指定攻擊時間取50 s，前置角ηM=θM0分別取45°、90°、135°、180°的情況下進行仿真，其余參數(shù)同表1，仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3(a)和(b)可以看出，前置角的不同取值并不影響導彈的攻擊時間，即使導彈在制導初始時刻速度方向背離目標，即前置角取180°時，導彈仍能以指定的時間準確命中目標。雖然此時初始時間誤差較大(攻擊時間大約65 s)，但隨著彈目距離接近，時間誤差很快消除至零，且4種情況下的攔截時間均為49.99 s，說明了所設計的導引律在大前置角攔截時的有效性。從圖3(c)可以看出，在制導初段，導彈需要以較大的法向加速度調(diào)整攻擊時間，而隨著彈目距離接近，法向加速度也越來越小，并在彈目交會時刻收斂到零，從而保證了彈道平滑和制導精度。

4.2 攔截非機動運動目標(k=2/5)

1) 目標速度取120 m/s，前置角ηM=θM0=60°，其余仿真條件同表1，取30、40、50、60s作為不同的攻擊時間進行仿真，結(jié)果如圖4所示。

圖2 固定目標攔截時不同攻擊時間仿真

由圖4(a)和(b)可以看出，針對運動目標的攔截，本文所設計的導引律同樣有效，4種情況下的仿真結(jié)果顯示，攔截時間分別為29.75，39.99，49.75，59.99 s，脫靶量依次為0.22、0.07、0.63、0.34 m，滿足攻擊時間控制和制導精度要求。對導彈剩余時間和法向加速度的變化趨勢分析與4.1節(jié)攔截固定目標時的1)相同，這里不再贅述。而需要說明的是，此處運動目標的攔截與現(xiàn)有文獻不同，現(xiàn)有文獻在處理運動目標攻擊時間控制的導引問題上采用的是PIP方法，即將運動的目標通過PIP轉(zhuǎn)化為相對固定的目標，再運用針對固定目標的ITCG實施攔截，而本文所設計的ITCG可直接運用于運動目標攔截，制導指令隨著目標速度的不同而不同，具體通過參數(shù)k進行相應的調(diào)整。

圖3 固定目標攔截時不同前置角仿真

2) 為驗證大前置角攔截時的有效性，目標速度取120 m/s，在指定攻擊時間取40 s，前置角ηM=θM0分別取45°、90°、135°、180°的情況下進行仿真，其余參數(shù)同表1，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖4 運動目標攔截時不同攻擊時間仿真

由仿真結(jié)果可以看出，針對運動目標的攔截問題，本文所設計的ITCG在大前置角情況下依然適用，包括初始速度指向背離目標的情形，其剩余飛行時間和法向加速度的變化趨勢及分析與4.1節(jié)攔截固定目標時的2)相同，這里不再贅述。

4.3 齊射攻擊(以靜止目標為例)

1) 導彈和目標的初值選取同表1，前置角ηM=θM0=60°，假定有4枚導彈從同一位置兩兩間隔2 s依次發(fā)射，從第一枚導彈發(fā)射開始計時，指定攻擊時間分別取50、49、48、47 s，則相應每枚導彈的攻擊時間依次為50、47、44、41 s，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖5 運動目標攔截時不同前置角仿真

從仿真結(jié)果可以看出，從同一位置依次發(fā)射的各枚導彈，均能在指定的時間完成攻擊任務，且時間誤差均小于0.01 s。而指定的攻擊時間越長，彈道彎曲程度越大，調(diào)整時間也越長，這與4.1節(jié)攔截固定目標時1)中的結(jié)論相同。

2) 目標位置取于坐標原點，4枚導彈的位置分別取(-6 000，-8 000) m、(-10 000,0) m、(0,10 000) m、(8 000，-6 000) m，前置角ηM=θM0=60°，假定導彈兩兩間隔1 s依次發(fā)射，從第一枚導彈發(fā)射開始50 s時同時命中目標，則相應每枚導彈的攻擊時間依次為50、49、48、47 s，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖6 相同位置齊射攻擊仿真

圖7 不同位置齊射攻擊仿真

由圖7可知，從不同位置發(fā)射的各枚導彈也能在同一時間完成齊射攻擊任務，且時間誤差均小于0.01 s，進一步說明了本文所設計的ITCG運用到多彈飽和攻擊上的有效性。

5 結(jié) 論

1) 利用非線性導引方程，采用一種逆軌攔截剩余時間估計方法，結(jié)合等效滑?？刂评碚摚O計了一種大前置角攔截攻擊時間控制導引律(ITCG)，拓寬了導彈的初始發(fā)射條件。

2) 無論是打擊固定目標，還是非機動運動目標，該導引律都能在指定時間內(nèi)完成攻擊任務。即使在制導初段彈目接近速度為負，即彈目距離越來越大的情況下，也能最終修正彈道以指定的時間準確命中目標。

3) 結(jié)合網(wǎng)絡拓撲理論，研究攔截機動目標的協(xié)同導引律是下一步的工作方向。

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