楊會， 房海蓉,2,*， 李典， 方躍法,2

(1. 北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院 機器人研究中心， 北京 100044；2. 北京交通大學(xué) 載運工具先進制造與測控技術(shù)教育部重點實驗室， 北京 100044)

航天器在上升和再入太空階段受到巨大的氣動加熱效應(yīng)，為保證飛行員安全和機載儀器正常運轉(zhuǎn)，需在航天器的外部鋪設(shè)防熱層結(jié)構(gòu)[1]。目前航天器防熱層結(jié)構(gòu)通常采用正六邊形蜂窩板結(jié)構(gòu)[2-3]，通過對蜂窩結(jié)構(gòu)進行防熱材料灌注來實現(xiàn)熱防護的功能[4-5]。

由于蜂窩結(jié)構(gòu)和防熱層材料的特殊性，國內(nèi)外防熱層灌注多采用人工進行，但該灌注方式效率較低，隨著中國航天器的發(fā)展，球冠面的外形尺寸逐漸變大，人工灌注方式無法滿足防熱材料灌注的需求，因此，需要提出一種滿足要求的灌注機器人。

由于球冠面外形尺寸較大，灌注裝置末端需攜帶負載，要求灌注機器人具有較大的工作空間和較高的剛度。串聯(lián)機器人因其工作空間大、操作靈活、響應(yīng)速度快等優(yōu)點在工業(yè)生產(chǎn)方面得到了廣泛的應(yīng)用，例如，PUMA[6]、SCARA[7]和IRB[8]等工業(yè)機器人，但串聯(lián)機器人同時具有剛度小的缺點。而與傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人相比，具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機器人具有許多明顯的優(yōu)勢，例如，高剛度、高精度、高承載能力和誤差積累小等優(yōu)點[9-12]，并應(yīng)用于并聯(lián)機床[13-14]、噴涂機器人[15]、微操作機器人[16]和力傳感器[17]等方面，但并聯(lián)機器人同時具有工作空間小的缺點。因此，對于灌注機器人來說，單純的串聯(lián)機器人和并聯(lián)機器人都無法完全滿足灌注要求。結(jié)合以上2種機器人的優(yōu)點，串并混聯(lián)機器人可以最大程度地滿足航天器防熱材料灌注要求。

本文提出一種用于防熱層灌注的串并混聯(lián)機器人，該機器人的工作空間能夠覆蓋整個球冠面。通過采用被動支鏈，使得并聯(lián)機構(gòu)具有較高的剛度。建立了并聯(lián)機構(gòu)的模型，對機構(gòu)進行了運動學(xué)分析，通過約束分析繪制了并聯(lián)機構(gòu)的工作空間，在雅可比矩陣的基礎(chǔ)上建立了并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型，利用遺傳算法，以工作空間和全局剛度為指標對并聯(lián)機構(gòu)的參數(shù)進行多目標優(yōu)化分析。優(yōu)化結(jié)果大大提高了并聯(lián)機構(gòu)的剛度和工作空間，能夠滿足防熱層灌注的要求。

1 機構(gòu)描述

如圖1(a)所示系統(tǒng)主要由3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)、圓形導(dǎo)軌和蜂窩轉(zhuǎn)臺組成，其中3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)可在圓形導(dǎo)軌上運動，蜂窩轉(zhuǎn)臺可繞自身轉(zhuǎn)動,通過沿導(dǎo)軌和轉(zhuǎn)臺的自轉(zhuǎn)使得灌注機構(gòu)末端操作器能夠到達整個蜂窩球冠面。本文重點對3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)進行分析，如圖1(b)所示機構(gòu)由定平臺、動平臺以及連接定平臺和動平臺的3個完全相同的主動支鏈PSS和1個被動支鏈PU組成，主動支鏈均勻的分布在定平臺上，每個主動支鏈依次由移動(P)副、球(S)副和球(S)副組成，每個P副由直線電機驅(qū)動；被動支鏈由P副和虎克鉸(U)副組成，U副與動平臺相連接。由于每條主動支鏈自由度為6，對動平臺不提供約束，所以動平臺和中間被動支鏈具有相同的自由度數(shù)，即動平臺具有沿x軸和y軸的轉(zhuǎn)動自由度以及沿z軸的移動自由度。

圖1 串并混聯(lián)灌注機器人系統(tǒng)

圖2 3PSS-PU機構(gòu)運動簡圖

2 運動學(xué)分析

2.1 約束分析

由圖2可得，φi和φi參數(shù)之間的關(guān)系表示如下：

定義θ1和θ2分別為動平臺繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角。

因此，可得出動坐標系相對于定坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣：

(1)

式中:RM(x,θ1)為繞x軸旋轉(zhuǎn)θ1的旋轉(zhuǎn)矩陣;RM(y,θ2)為繞y軸旋轉(zhuǎn)θ2的旋轉(zhuǎn)矩陣。

定義zm為動平臺沿z軸方向上的坐標，動坐標系原點M在定坐標系下的坐標MO可以表示為

(2)

(3)

(4)

2.2 運動學(xué)反解

已知輸出構(gòu)件的位姿，求解輸入構(gòu)件的位置稱為機構(gòu)的運動學(xué)反解。由圖 2可得，第i個支鏈的封閉矢量方程可以表示為

(5)

式中：

將式(4)代入式(5)可得

(6)

式中：Axi=Rmcosφicosθ2;Bxi=-cosφi;Ayi=Rmcosφisinθ1sinθ2+Rmsinφicosθ1;Byi=-sinφi;Azi=-Rmcosφicosθ1sinθ2+Rmsinφisinθ1+zm;Bzi=0。

根據(jù)桿長條件可得

(7)

將式(6)代入式(7)可得

(8)

式中：

sbi=2(AxiBxi+AyiByi+AziBzi)

因此，由式(8)中可得出運動學(xué)反解：

(9)

2.3 雅可比矩陣

由于

(10)

(11)

通過對式(11)整理可得

(12)

式中：λmi=ylisinφi+xlicosφi。

對式(4)兩邊同時對時間求偏導(dǎo)數(shù)可得

(13)

式中：

聯(lián)立方程式(12)和方程式(13)可得

(14)

式中：xm和ym分別為動平臺沿x軸和y軸方向上的坐標；Jp為僅有3條主動支鏈組成機構(gòu)的雅可比矩陣：

如圖3所示，建立了每個運動副的局部坐標系，因此可得

(15)

(16)

因此，對于中間約束支鏈，可得

(17)

將方程式(17)代入方程式(14)，可求出并聯(lián)機構(gòu)的整體雅可比矩陣：

J=JpJs

(18)

圖3 中間被動支鏈各運動副的局部坐標系

3 性能分析

3.1 工作空間

根據(jù)機構(gòu)的特點，影響機構(gòu)工作空間的主要因素有：移動副移動的距離、桿的長度以及連桿分別與定平臺和動平臺的夾角。其中，移動副移動距離的約束是限制機構(gòu)工作空間的主要因素。

因此，移動副的相應(yīng)約束可表示為

simin≤si≤simax

(19)

式中:simin和simax分別為移動副的最小和最大位移。

定義主動連桿與動平臺之間的夾角為αi，其中桿件的半徑忽略不計，故其約束條件可表示為

αimin≤αi≤αimax

(20)

式中：αimin和αimax分別為αi的最小值和最大值。

定義主動連桿與定平臺之間的夾角為βi，故其約束條件可表示為

βimin≤βi≤βimax

(21)

式中：βimin和βimax分別為βi的最小值和最大值。

3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和相關(guān)的變量如表1所示，通過以下參數(shù)和以上約束條件，可計算出并聯(lián)機構(gòu)在笛卡兒坐標系下的工作空間，如圖4(a)所示,圖4(b)和圖4(c)分別為工作空間的右視圖和左視圖。

表1 3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.2 剛度模型

為了分析機構(gòu)在運動過程中剛度的變化趨勢，需建立剛度模型，假定整個系統(tǒng)為剛性，得出如下表達式[18]：

ε=KΔσ

(22)

式中：

圖4 3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)的工作空間及其左、右視圖

(23)

式中：k11、k22和k33為純剛度，代表動平臺在同一方向上力或力矩受變形的影響，在剛度矩陣中，這3個參數(shù)最重要，即其他參數(shù)可以忽略不計，k11,k22的單位為N·mm/rad，k33的單位為N/mm。

當(dāng)θ1或θ2為定值時，k22在θ2方向上隨著θ2、zm或θ1、zm變化的剛度分布如圖5和圖6所示。隨著zm的增大，剛度都逐漸變大，當(dāng)zm=140 mm時，剛度達到最大值，當(dāng)zm為常數(shù)時，剛度值不隨θ2或θ1的變化而變化。

圖7為zm=210 mm時，k22在θ2方向上隨著θ1和θ2的變化的剛度分布圖,剛度隨著θ1和θ2的增大逐漸變小，當(dāng)θ1=0.35 rad時，剛度達到最小值。

圖5 k22在θ2方向上隨著θ2和zm變化的剛度分布(θ1=0.3 rad)

圖6 k22在θ2方向上隨著θ1和zm變化的剛度分布(θ2=0.3 rad)

圖7 k22在θ2方向上隨著θ1和θ2變化的剛度分布(zm=210 mm)

4 基于遺傳算法的多目標優(yōu)化

4.1 目標函數(shù)的建立

優(yōu)化問題主要由目標函數(shù)和約束條件兩部分組成[19-20]。目標函數(shù)主要包括2個：全局剛度和工作空間。對于全局剛度，由于剛度矩陣中對角線上的主元素k11、k22、k33分別對θ1、θ2、zm上的剛度影響比較大，主要通過這幾個剛度值來衡量全局剛度的大小。對于工作空間，可用工作空間內(nèi)散點的個數(shù)來更衡量其大小，避免了復(fù)雜的推導(dǎo)過程，同時達到了優(yōu)化的目的。

全局剛度E可以被描述為

E=k11+k22+k33=Ω(Rm,li,φ1,φ1)

(24)

為區(qū)分2個優(yōu)化目標的收斂曲線，定義以下優(yōu)化目標函數(shù)：

(25)

式中：W為工作空間體積的目標函數(shù)；ei和wi分別為第i個性能指標。

結(jié)合約束條件，給出優(yōu)化參數(shù)的尺寸約束范圍:

(26)

同時，在優(yōu)化過程中為保證剛度取值在工作空間之內(nèi)，應(yīng)對限制工作空間的參數(shù)進行約束

(27)

4.2 優(yōu)化過程

基于遺傳算法對3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)進行多目標優(yōu)化，優(yōu)化的各項參數(shù)為：優(yōu)化代數(shù)G為100，群數(shù)為20。通過編程計算，得出圖8所示的目標函數(shù)優(yōu)化曲線，圖中展示了從0～100代的遺傳運算的過程。由圖8(a)可看出60代以后，全局剛度值曲線趨于平穩(wěn);圖8(b)中工作空間散點曲線從40代以后趨于平穩(wěn)，此時，全局剛度和工作空間散點數(shù)都達到最大。如表2所示，列舉了第100代中20組機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)值。

為了從20組設(shè)計參數(shù)中選出一組參數(shù)取值，此處采用機構(gòu)體積最小的原則進行選取，該并聯(lián)機構(gòu)的體積公式近似表示為

(28)

圖8 目標函數(shù)收斂圖

組 數(shù)機構(gòu)設(shè)計參數(shù)Rm/mmli/mmφ1/rad?1/rad1266.6080237.05850.67670.68762269.5739237.28450.63490.73333270.3569236.85830.63490.73334267.4525237.51930.67670.68765269.5519237.28430.63490.73336269.5519237.28430.67670.68767267.4525237.51930.67670.68768267.1997237.55720.63490.73339266.5262237.05660.63490.733310269.5734237.28440.63490.733311270.3472236.97190.67670.687612267.4525237.51930.63490.733313269.5517237.28430.63490.733314269.3297237.30300.67670.687615270.3551236.84820.63490.733316269.5625237.28020.63490.733317269.4146237.27230.67670.687618267.4737237.51530.67670.687619270.3395236.96910.63490.733320267.4525237.51930.63490.7333

構(gòu)的體積最大, 此時機構(gòu)的體積公式可轉(zhuǎn)化為

(29)

由式(28)可知，當(dāng)si取最大值400mm時，機把以上20組參數(shù)值代入式(29)對比可得，第9組參數(shù)優(yōu)化值的機構(gòu)體積最小，因此，取該組參數(shù)作為最終優(yōu)化的設(shè)計參數(shù)值，整理后列出優(yōu)化參數(shù)前后的對比值，如表3所示,θ1=θ2=0.34 rad，zm=120 mm時，優(yōu)化前后的剛度對比值如表4所示，倍數(shù)為優(yōu)化值與初始值的比值，S為散點數(shù)。

通過以上對于全局剛度和工作空間的優(yōu)化可以得出，優(yōu)化后的機構(gòu)的剛度和工作空間都變大，在一定條件下，優(yōu)化后的全局剛度值是初始值的1.880倍，優(yōu)化后工作空間的散點數(shù)是初始值的1.150倍。

表3 3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)參數(shù)對比

表4 3PSS-PU并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化前后剛度參數(shù)對比Table 4 Comparison of initial and optimized stiffness parameters for 3PSS-PU parallel mechanism

5 結(jié) 論

1) 提出了一種用于防熱層材料灌注的新型3PSS-PU并聯(lián)灌注機器人，采用被動支鏈的約束方式，提高了機構(gòu)的剛度，并通過圓形導(dǎo)軌增大了動平臺的工作空間。

2) 建立了并聯(lián)灌注機構(gòu)的約束方程，進行了運動學(xué)分析，在機構(gòu)參數(shù)約束條件下繪制了機構(gòu)的工作空間，并在雅可比矩陣的基礎(chǔ)上建立了機構(gòu)的剛度模型。

3) 以全局剛度和工作空間為指標，基于遺傳算法對機構(gòu)進行多目標參數(shù)優(yōu)化，并提出以工作空間內(nèi)散點的數(shù)目來衡量工作空間體積大小，最終給出優(yōu)化后機構(gòu)尺寸參數(shù),為蜂窩灌注機器人應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

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