何耀　曹成榮　劉新天　鄭昕昕　曾國建

摘 要：動力電池的荷電狀態(tài)（stateofcharge，SOC）是電動汽車的重要參數(shù)之一，而準(zhǔn)確的電池模型是提高SOC估算精度的前提。溫度對電池相關(guān)參數(shù)的影響是目前研究的熱點，然而現(xiàn)有的電池模型難以適應(yīng)連續(xù)變化的溫度環(huán)境，且測試工作量大?；贜ernst電化學(xué)方程，提出了一種新型的電池建模方法，運用統(tǒng)計學(xué)原理，通過測量較少的數(shù)據(jù)得到較為精確的電池模型，相關(guān)參數(shù)能夠用包括連續(xù)變化的溫度等多因素進行擬合。通過在不同溫度環(huán)境下模擬電動汽車實際工況，對鋰電池進行放電實驗，通過試驗設(shè)計的方法建立電池模型，結(jié)合擴展卡爾曼濾波算法實現(xiàn)對鋰電池SOC的動態(tài)估計，仿真和實驗結(jié)果驗證了所提方法的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：動力鋰電池；荷電狀態(tài)；Nernst模型；試驗設(shè)計；擴展卡爾曼濾波

中圖分類號：TM 315

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-449X（2018）01-0043-10

0 引 言

動力電池作為電動汽車的核心部件，其性能影響到整車性能。鋰離子動力電池的荷電狀態(tài)（stateofcharge，SOC）反映了其剩余電量的多少[1]。準(zhǔn)確的估計電池的SOC能更有效地進行電池和整車管理，對預(yù)測電動車的行駛里程以及電池組的使用和維護有重要的意義[2-3]。

電池變化的電量為電流和時間的積分，根據(jù)SOC的定義，其等于電池初始電量與變化電量差值相對于電池總電量的百分比[4]；因此采用安時積分法能夠?qū)崿F(xiàn)SOC的實時估計，其也是目前應(yīng)用最為廣泛的一種SOC估計方法[5]。

然而，安時積分法是一種開環(huán)預(yù)測方法，受到采樣誤差、噪聲干擾等因素的影響，根據(jù)安時積分法計算得到的SOC與實際值之間會存在一定的誤差，并會隨時間累積逐漸增大[6]。為解決該問題，先進的濾波算法被應(yīng)用于SOC估計中，其實質(zhì)是引入了輸出反饋機制，將SOC的估計結(jié)果帶入所建立的電池模型，將電池模型的理論輸出值和檢測到的實際值進行比較，誤差信號經(jīng)過調(diào)節(jié)后對輸出SOC進行補償，從而提高SOC估計的精度。文獻[7]給出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，具有實時在線估計的優(yōu)勢，但需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。文獻[8]提出了一種基于坐標(biāo)變換的改進算法。文獻[9]運用了采樣點卡爾曼濾波算法。這些方法都從改進濾波算法的角度實現(xiàn)了SOC的高精度估算，然而，根據(jù)反饋機制，濾波算法的準(zhǔn)確性在根源上取決于所建立的電池模型能否反應(yīng)真實的電池特性。目前針對鋰電池的建模主要包括等效電路模型和電化學(xué)模型，等效電路模型將電池內(nèi)部等效為電壓源、電阻和電容的串并聯(lián)組合，文獻[10-12]分別提出了Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型；然而這些模型中的參數(shù)并非定值，不易進行參數(shù)辨識。電化學(xué)模型則直接通過電池內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)得到輸入輸出變量的關(guān)系式，各參量變化的影響因素明確，容易進行辨識；但是這些模型未考慮溫度對電池SOC的重要影響，故具有一定的局限性。文獻[13]通過溫度補償系數(shù)來改善了SOC估計模型，提高了SOC準(zhǔn)確度，但未考慮電池內(nèi)阻受溫度影響這個重要因素。此外，在進行模型參數(shù)辨識時，需要進行大量實驗，尤其是在考慮溫度影響后，實驗工作量成倍增加，這也是制約電池模型準(zhǔn)確度的原因之一。

針對上述問題，本文提出了一種基于鋰電池電化學(xué)模型的新型建模方法，利用統(tǒng)計學(xué)思想，通過盡量少的實驗數(shù)據(jù)得到較為精確電池模型，在提高模型準(zhǔn)確度的同時，減少了測試數(shù)據(jù)的工作量，縮短了建模周期。

文中首先通過電池的電化學(xué)模型分析了影響參數(shù)變化的因素，并采用試驗設(shè)計（design of experiment，DOE）方法對各參數(shù)進行擬合，在此基礎(chǔ)上，以電池SOC為狀態(tài)變量，以電池端電壓作為觀測變量，采用擴展卡爾曼濾波（extended kalman filter，EKF）方法實時在線估計鋰電池SOC。最后通過仿真和實驗驗證了所提出方法的準(zhǔn)確性。

2 鋰電池等效內(nèi)阻的擬合方法

2.1 試驗設(shè)計原理

若采用常規(guī)的數(shù)據(jù)擬合方法分析Rin和SOC、T的關(guān)系，需要大量的測試數(shù)據(jù)，通常測量一個特定溫度和SOC下的內(nèi)阻需要進行HPPC實驗，即通過大電流放電測量某一溫度下不同SOC時的電池內(nèi)阻值；因此不同溫度不同SOC需要耗費大量時間。但不同類型的鋰電池等效內(nèi)阻并不相同，耗費大量的測試時間無法得到通用的鋰電池模型；因此并沒有實際的工程意義。為解決該問題，可采用DOE方法，通過測量盡可能少的數(shù)據(jù)點得到較為精確的模型，在很大程度上縮短了建模周期，在參數(shù)擬合方面具有普適性，能夠為不同類型的鋰電池建模提供通用方案。

DOE是一種安排實驗和分析實驗數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計方法，目前多應(yīng)用于數(shù)據(jù)統(tǒng)計，通過分析系統(tǒng)的各影響因素，以一個或多個設(shè)計目標(biāo)為輸出量，建立系統(tǒng)模型[16]。在建模過程中可以不需要考慮輸入量和輸出量之間的原理性關(guān)系，僅需設(shè)定不同的輸入量值進行有限次數(shù)的試驗，得到相應(yīng)的輸出量值，通過輸入、輸出量值進行關(guān)系式擬合。當(dāng)實際輸出量與輸出量擬合值之差滿足正態(tài)分布時，即可認為輸入和輸出的擬合關(guān)系（即系統(tǒng)模型）是準(zhǔn)確的。這種方法建模所需實驗量較少、結(jié)果較為精確，在航空航天、生物學(xué)、藥學(xué)、企業(yè)產(chǎn)品生產(chǎn)和評估中有著廣泛的應(yīng)用。而中心復(fù)合設(shè)計（central composite designs，CCD）具有設(shè)計簡單、系統(tǒng)性強等優(yōu)點，在DOE應(yīng)用中最為常見[17]。本文將基于CCD的DOE方法建立內(nèi)阻模型，如圖2所示，模型的輸入量為SOC和溫度T，輸出量為等效內(nèi)阻Rin。

輸入量SOC的范圍為[SOCmin，SOCmax]，輸入量T的范圍為[Tmin，Tmax]，在SOC和T組成的坐標(biāo)系上，選取邊界點和中心點進行試驗。其中，邊界點又分為平方點和軸向點。平方點處于兩個輸入量的邊界上，對應(yīng)圖2中的A～D四個點；軸向點處于單個輸入量的邊界上，對應(yīng)圖中的E～H四個點；中心點處于兩個輸入量的中心處，對應(yīng)圖中的O點。各點的坐標(biāo)分別為：

在統(tǒng)計學(xué)原理中，在一定的范圍內(nèi)的任何模型都可近似看作二次曲面，而驗證范圍選取合理性和模型精確性的方法則是計算擬合曲面和實驗結(jié)果的殘差，校檢其是否符合6σ（六西格瑪）正態(tài)分布[18]；因此，CCD的實質(zhì)是通過試驗測量各點對應(yīng)的等效內(nèi)阻Rin，并將試驗結(jié)果擬合成表征Rin和SOC、T關(guān)系的二次曲面，并通過殘差分布進行驗證。

2.2 等效內(nèi)阻的建模

等效內(nèi)阻模型有兩個輸入變量SOC和T，因此可采用兩水平因子試驗設(shè)計。擬合的等效內(nèi)阻模型包含SOC和T的交叉乘積項和一、二次項，其表達式為

Rin=Con+aT+bSOC+cT2+

dSOC2+eT·SOC+ε。（16）

其中：Con為常數(shù)項；ε為誤差；a～e為常系數(shù)。

在DOE中，為了得到更加接近實際值的擬合曲面，需要在邊界點和中心點的基礎(chǔ)上對試驗點進行適當(dāng)?shù)脑鲅a，因此所進行的試驗并不局限于式（7）～式（15）對應(yīng)的SOC和T值。圖3給出了不同SOC和T對應(yīng)的等效內(nèi)阻Rin變化關(guān)系。圖3（a）所示為不同溫度對應(yīng)的RinSOC曲線，在相同溫度下，Rin隨著SOC的減小而逐漸增大，但其變化并不明顯。圖3（b）所示為不同SOC和T對應(yīng)的Rin等值線圖，可以看出，不同溫度下內(nèi)阻的變化較大，因此，Rin不僅與SOC有關(guān)，還跟溫度T有關(guān)。

圖4為SOC和T對Rin的作用效應(yīng)圖，圖4（a）為SOC和T的獨立效應(yīng)圖，其表示單個因子在不同水平下的變化導(dǎo)致輸出變量的平均變化，圖中T對內(nèi)阻均值的斜率高于SOC對內(nèi)阻均值的斜率，說明溫度T對Rin的作用更為顯著。圖4（b）為SOC和T的交互效應(yīng)圖，當(dāng)一個因子的效應(yīng)依賴于其他因子所處的水平時，則稱兩個因子間有交互效應(yīng)，圖中不同溫度下SOC與Rin均值直線近似平行，在溫度不同的情況下，SOC對電池內(nèi)阻的影響方式不變，（溫度變化時，并不會改變SOC對電池內(nèi)阻的影響），說明T與SOC的交互效應(yīng)并不顯著，直觀表現(xiàn)在式（16）中交叉乘積項的常系數(shù)e近似為0。

基于上述分析，在式（7）～式（15）對應(yīng)的9個基本數(shù)據(jù)點的基礎(chǔ)上，隨機增加4個數(shù)據(jù)點，即通過13次測試進行等效內(nèi)阻建模。其中，SOC的上下限分別為90%和10%，環(huán)境溫度T的上下限分別為40 ℃和-20 ℃，表1給出了對應(yīng)的測試數(shù)據(jù)。其中，ΔU為HPPC試驗中所測得的電流脈沖導(dǎo)致的電池端電壓壓降，Rin可用ΔU除以電流脈沖幅值的計算結(jié)果進行等效。

將表1中的測試數(shù)據(jù)和相應(yīng)的Rin計算結(jié)果進行CCD建模，可得到式（16）中各系數(shù)與常數(shù)項的擬合值?？梢钥闯?，交叉乘積項的常系數(shù)e近似為0，擬合結(jié)果與理論分析相一致。表2給出了各項系數(shù)。

圖5為基于所建模型的Rin響應(yīng)曲面?？梢钥闯?，Rin隨SOC和T的增加而增加，且T變化對Rin的影響更加明顯。

圖6為Rin的殘差直方分布圖，殘差為觀測值與擬合值之差。圖中殘差值呈近似的正態(tài)分布，表明在所選取的范圍內(nèi)，計算出的內(nèi)阻的模型對連續(xù)變化的輸入變量T和SOC都適用。

3 適應(yīng)溫度變化的辨識參數(shù)k1、k2

為辨識參數(shù)k1和k2，應(yīng)在不同條件下給出式（6）中其他參數(shù)的值，采用最小二乘法進行辨識。各參數(shù)的值需要在穩(wěn)態(tài)下測定以保證辨識的準(zhǔn)確性，對于式（6），IcRin（SOC，T）代表了電流流過電池內(nèi)阻產(chǎn)生的壓降，在充放電過程中，該項不可忽略。為保證穩(wěn)態(tài)下測量，Ic和Rin都應(yīng)為穩(wěn)態(tài)值，Ic的穩(wěn)態(tài)值即為恒流充放電的電流值，而Rin與SOC有關(guān)，恒流充放電時SOC始終在變化，無法得到Rin的穩(wěn)態(tài)值。同理，式（6）中的ln（SOC）和ln（1-SOC）都無法在充放電過程中獲得穩(wěn)態(tài)值。

為解決SOC在充放電過程中始終變化而導(dǎo)致各參數(shù)穩(wěn)態(tài)值無法獲得的問題，需要通過測量開路電壓進行k1和k2的辨識。電池在長時間靜置的條件下，其開路電壓與SOC有相對固定的函數(shù)關(guān)系，且SOC值近似不變；因此通過改變環(huán)境溫度，對不同SOC下開路電壓進行測量，可以得到各參數(shù)的穩(wěn)態(tài)值，進而通過最小二乘法進行k1和k2的辨識[19]。且測量開路電壓時Ic為0，可以省去IcRin（SOC，T）項，進一步簡化計算量，此時式（6）可以簡化為

U=E0+k1lnSOC+k2ln（1-SOC）。（17）

式中U即為電池的開路電壓。通過對-15 ℃、-10 ℃、10 ℃、15 ℃、30 ℃下的電池放電數(shù)據(jù)進行分析，使用最小二乘法可以得出式（6）的參數(shù)擬合值，如表3所示。其中RMSE為均方根相對誤差，其值較小，證明了擬合結(jié)果的精確性。

4 基于EKF的SOC估算方法

Kalman濾波算法是由Kalman提出的一種遞推濾波方法，用于解決線性系統(tǒng)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計問題。對于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計，首先建立系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型，用一階Taylor近似展開使該狀態(tài)空間模型線性化，進而應(yīng)用Kalman算法實現(xiàn)對狀態(tài)變量的最小方差估計，稱為擴展Kalman濾波法（EKF）[20]。

使用卡爾曼濾波算法估計電池SOC時，首先建立電池的離散狀態(tài)空間模型，進而完成初始值設(shè)定、更新、測量更新以及求取卡爾曼增益等步驟。以上述放電過程中的得到的電池放電電流、電池端電壓數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用表2和表4中的參數(shù)，在Matlab/SIMULINK中建立電池SOC估算模型，分別在-15 ℃、15 ℃、30 ℃的溫度下進行仿真驗證，并將由所提出估算方法獲得的SOC估計值（EKF1）與傳統(tǒng)基于Nernst模型的SOC估計值（EKF2）進行比較，結(jié)果如圖9～圖11所示。

表5給出了對應(yīng)的SOC估計最大誤差值，可以看出，基于改進的Nernst模型，在使用相同估算方法EKF條件下，SOC估算精度均提高。特別是當(dāng)環(huán)境溫度較低或較高時，溫度對電池性能的影響遠高于常溫時溫度對電池性能的影響，并且根據(jù)上述各圖可以看出，適應(yīng)可變溫度的估計方法能明顯減小SOC估計誤差。

6 結(jié) 論

本文針對溫度對電池性能的影響，在單體電池的電化學(xué)模型基礎(chǔ)上，運用了DOE試驗設(shè)計方法分析了電池內(nèi)阻的變化規(guī)律，進而得到改進的Nernst模型，并使用EKF算法估計電池SOC。所提出的方法具有以下優(yōu)勢：

1）采用DOE方法能夠通過測量較少的數(shù)據(jù)得到較為精確的模型，在減少測試所需工作量的同時提高了SOC估算精度；

2）在環(huán)境溫度處于較高或較低時，電池模型的修正效果更為明顯；

3）電池模型能夠更加精確的適應(yīng)連續(xù)變化的溫度，增大了該模型的使用范圍，為SOC的估計帶來方便。

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（編輯：張 楠）