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        平行投影與三角形相似

        2018-05-14 10:59:05李春紅
        學(xué)校教育研究 2018年25期
        關(guān)鍵詞:成正比影長(zhǎng)三邊

        李春紅

        小學(xué)學(xué)習(xí)正比例時(shí),通過(guò)測(cè)量的方式獲得“在同一時(shí)刻,同一地點(diǎn),物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比”.我們把這一事實(shí)整理為圖1.圖1中的物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2所在的直線垂直于地平線l,線段C1B1和C2B2分別為物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2的影長(zhǎng),A1B1和A2B2為物長(zhǎng)頂端與影長(zhǎng)末端的連線段.

        1.探究圖1中的Rt△A1B1C1與Rt△A2B2C2是否相似

        如圖1,當(dāng)物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2所在的直線垂直于地平線l,用一組平行光線照射物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2時(shí),物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比.這時(shí)由物長(zhǎng)、影長(zhǎng)和物長(zhǎng)頂端與影子末端的連線段組成兩個(gè)直角三角形,它們分別是Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2.由A1B1∥A2B2和公共直角相等可知Rt△A1B1C1的三個(gè)角與Rt△A2B2C2的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等.設(shè)Rt△A1B1C1的頂點(diǎn)A1、B1、C1在Rt△A1B1C1中所對(duì)的邊分別為a1、b1、c1,Rt△A2B2C2的頂點(diǎn)A2、B2、C2在Rt△A2B2C2中所對(duì)的邊分別為a2、b2、c2,由物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比可得 = =k>0,知b2= k b1,a2= k a1.

        由勾股定理得c1= ,c2= = =

        = =k .

        ∴ = =k

        ∴ = = .

        2.當(dāng)物長(zhǎng)所在的直線不垂直于地平線l時(shí)所得的三角形的與原三角形是否相似.

        我們把圖1繞點(diǎn)B2旋轉(zhuǎn)到使A2B2與地平線重合再向右平移得到圖2.在圖2中,把Rt△A1B1C1平移到使點(diǎn)B1和點(diǎn)B2重合時(shí)得到圖3,在圖3中用一組平行于A2C2的光線照射物長(zhǎng)B1C1和物長(zhǎng)B2C2,此時(shí),Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對(duì)應(yīng)角是否相等?物長(zhǎng)與影長(zhǎng)是否成正比?由平移和旋轉(zhuǎn)是全等變換可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對(duì)應(yīng)角相等,物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比.同樣,在圖2中,如果把Rt△A1B1C1平移到使點(diǎn)A1和點(diǎn)A2重合時(shí)得到圖4,在圖4中用一組平行于B2C2的光線照射物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2時(shí),由平移和旋轉(zhuǎn)是全等變換可知這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等,物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比.

        如圖5中,當(dāng)物長(zhǎng)A1B1和物長(zhǎng)A2B2所在的直線不垂直于地平線l,用一平行光線照射物長(zhǎng)A1B1和物長(zhǎng)A2B2,由物長(zhǎng)、影長(zhǎng)和物長(zhǎng)頂端與影子末端的連線段組成兩個(gè)銳角三角形,它們分別是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得這兩個(gè)銳角三角形的角對(duì)應(yīng)相等.過(guò)點(diǎn)B2作B2D2⊥A2C2,垂足為D2,交A1C1于點(diǎn)D1,這條垂線把圖5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成圖兩部份,一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2 D2所組成,一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所組成,可以看出圖5被這條垂線分割開(kāi)的每一部份都是圖3和圖4中的基本圖形,從而得到 = = = = =m,C2D2=mC1D1,D2A2=mD1A1.

        = = = =m= = ,即: = = ,這兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例. 所以Rt△A1B1C1∽R(shí)t△A2B2C2.

        如圖6和圖7,當(dāng)物長(zhǎng)A1B1和物長(zhǎng)A2B2所在的直線不垂直于地平線l,用一組平行于A2C2光線照射物長(zhǎng)A1B1和物長(zhǎng)A2B2,由物長(zhǎng)、影長(zhǎng)和物長(zhǎng)頂端與影子末端的連線段組成兩個(gè)鈍角三角形,它們分別是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得這兩個(gè)鈍角三角形的角對(duì)應(yīng)相等.過(guò)點(diǎn)B2作B2D2⊥A2C2,在直線A2C2上的垂足為D2,交直線C1A1于點(diǎn)D1,這條垂線把圖6和圖7分成兩部份,一部份是Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所組成,一部份是Rt△B1A1D1和Rt△B2A2 D2所組成,每一部份都是圖3和圖4中的基本圖形,從而得到圖7中的對(duì)應(yīng)邊的比為 = = = = =n,D2C2=nD1C1,D2A2=n D1A1, = = = =n= = ,即: = = ,這兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。所以Rt△A1B1C1∽R(shí)t△A2B2C2.

        總結(jié):平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線,所截得的三角形的三個(gè)角與原三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例(即所截得的三角形與原三角形相似).

        3.利用平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可以由圖8得到圖9

        4.整合:可以由平行進(jìn)行以下兩個(gè)方面的推導(dǎo)

        第一方面:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.此類比例式中的線段與平行線上的線段無(wú)關(guān)。

        第二方面:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線,所截得的三角形與原三角形相似。

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