谷偉莉 郭煥煥 董艷青

針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)過(guò)程中存在的問(wèn)題進(jìn)行分析研究，重點(diǎn)介紹線(xiàn)性代數(shù)的起源、發(fā)展，并通過(guò)介紹線(xiàn)性代數(shù)在保密通訊中的應(yīng)用，使學(xué)生了解學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的意義及其應(yīng)用。

線(xiàn)性代數(shù)是高等代數(shù)的一個(gè)重要分支，是研究線(xiàn)性問(wèn)題的代數(shù)理論。線(xiàn)性代數(shù)主要研究行列式、矩陣、線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性空間以及線(xiàn)性變換等內(nèi)容。但是，這些內(nèi)容之間有什么聯(lián)系以及學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)有什么意義，大部分學(xué)生都不是很清楚。很多自認(rèn)為學(xué)的不錯(cuò)的學(xué)生也只能說(shuō)：“書(shū)上就是這么規(guī)定的，只需要會(huì)用就好”。但是他們真的會(huì)用嗎？他們的“會(huì)用”其實(shí)是會(huì)根據(jù)書(shū)本上的定理、結(jié)論去證明相關(guān)的理論問(wèn)題，然而在實(shí)際生活生產(chǎn)中的應(yīng)用，他們真的知道嗎？像教科書(shū)上那樣，用事先規(guī)定好的數(shù)學(xué)定理去證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生，只能熟練地使用數(shù)學(xué)工具，缺乏真正意義上的理解。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該只是教學(xué)生如何做題，而應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更加關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

在與同行的交流探討中，作者發(fā)現(xiàn)，有一部分教師對(duì)線(xiàn)性代數(shù)的把握也只是停留在課本上的知識(shí)，對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)的起源、發(fā)展等了解的不是很多。于是就形成了教師只講課本上的知識(shí)，學(xué)生也只學(xué)會(huì)了課本上的知識(shí)，根本無(wú)人關(guān)心線(xiàn)性代數(shù)這一學(xué)科的最新發(fā)展及其在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)悟的應(yīng)用！長(zhǎng)此以往，線(xiàn)性代數(shù)便成了一門(mén)枯燥乏味、脫離實(shí)際應(yīng)用的理論課程。更由于其概念多，邏輯性強(qiáng)，慢慢就成了大部分學(xué)生所說(shuō)的“天書(shū)”。

針對(duì)這些問(wèn)題，下面重點(diǎn)介紹了線(xiàn)性代數(shù)起源、發(fā)展以及相關(guān)應(yīng)用等幾個(gè)方面。

1 線(xiàn)性代數(shù)的起源及發(fā)展

線(xiàn)性代數(shù)主要是研究代數(shù)學(xué)中具有線(xiàn)性關(guān)系的問(wèn)題，而線(xiàn)性問(wèn)題廣泛地存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。在日常生活生產(chǎn)中，一些非線(xiàn)性問(wèn)題在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題，因此線(xiàn)性代數(shù)已經(jīng)成為科學(xué)研究和工程應(yīng)用中必不可少的工具。

線(xiàn)性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)，直到十八世紀(jì)末，線(xiàn)性代數(shù)的研究還只限于平面與三維空間，十九世紀(jì)上半葉才完成了向 維向量空間的過(guò)渡。1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無(wú)限維向量空間，托普利茨將線(xiàn)性代數(shù)的主要定理推廣到最一般的向量空間中，線(xiàn)性代數(shù)的主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線(xiàn)性方程組的解法）早在兩千多年前已經(jīng)出現(xiàn)。

線(xiàn)性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于線(xiàn)性方程組解的問(wèn)題，行列式的出現(xiàn)就是為了求解線(xiàn)性方程組。行列式的概念最早由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出，1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在《線(xiàn)性代數(shù)分析導(dǎo)引》中給出了行列式的定義，展開(kāi)法則以及克萊姆法則等。法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙把行列式理論與線(xiàn)性方程組的求解相分離，給出了用余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式理論的建成。區(qū)別于行列式的“矩陣”是由西爾維斯特首先使用的，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊1958年在《矩陣論的研究報(bào)告》中，系統(tǒng)闡述了關(guān)于矩陣的理論，包括矩陣的相等、運(yùn)算法則、轉(zhuǎn)置以及逆等，他被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者。數(shù)學(xué)家約當(dāng)、傅里葉、西爾和龐加萊等人對(duì)矩陣論的發(fā)展也做出了巨大貢獻(xiàn)。

線(xiàn)性方程組理論的發(fā)展促成了作為工具行列式理論和矩陣論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已經(jīng)成為線(xiàn)性代數(shù)教材的重要部分。行列式和矩陣在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線(xiàn)性方程組、二次型理論等方面的應(yīng)用，促使行列式理論和矩陣論得到了很大發(fā)展?，F(xiàn)在已然是數(shù)學(xué)中非常有用的工具。

2 線(xiàn)性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

線(xiàn)性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、最優(yōu)化問(wèn)題、密碼通訊和對(duì)策論等技術(shù)學(xué)科中有著重要應(yīng)用，但是這樣泛泛而談，學(xué)生對(duì)線(xiàn)性代數(shù)的應(yīng)用仍是一頭霧水。

線(xiàn)性代數(shù)到底是怎樣應(yīng)用到這些學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域？下面以具體例子來(lái)說(shuō)明。

案例：矩陣密碼在保密通訊中的應(yīng)用

密碼學(xué)中稱(chēng)原來(lái)的消息為明文，用人們?nèi)粘Ｉ钪械恼Z(yǔ)言寫(xiě)成，誰(shuí)都能看懂，經(jīng)過(guò)偽裝的明文則變?yōu)槊芪?，別人看不懂。由明文變成密文的過(guò)程稱(chēng)為加密，由密文變成明文的過(guò)程稱(chēng)為解密，改變明文的方法稱(chēng)為密碼。密碼學(xué)作為軍事和政治斗爭(zhēng)的一種技術(shù)，已有上千年的歷史。密碼中的關(guān)鍵信息稱(chēng)為密匙。顯然，密匙在保密通訊中占有極其重要的地位，通常主要由通訊雙方私密商定。其他人知道了密匙就能讀懂密文，若不知道密匙，即使得到密文，也看不懂，從而達(dá)到了保密的目的。具體過(guò)程如下圖1：

3結(jié)語(yǔ)

瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding 在其名著《Encounter with Mathematics》中說(shuō)：如果不熟悉線(xiàn)性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)和文盲差不多。然而按照現(xiàn)在的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線(xiàn)性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，這意味著它的表達(dá)方式和抽象性有了一次更深的進(jìn)化。學(xué)生在剛剛接觸線(xiàn)性代數(shù)時(shí)，可能會(huì)感到迷茫，不知從何入手，他們不僅僅希望老師講述課本上的理論知識(shí)，更希望講述一下這門(mén)課的起源、發(fā)展以及在實(shí)際生活生產(chǎn)中的應(yīng)用。作為老師，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課的意義，并懂得學(xué)以致用，這樣的教學(xué)才是成功的！

（作者單位：商丘學(xué)院應(yīng)用科技學(xué)院）