白慧

眾所周知的是，對與二階變系數線性微分方程其一般解析式：

y"+p（x）y'+q（x）y=f（x） ①

基于其定義我們可以知道P（x）、G（x）、F（x）是連續(xù)的，那么方程的解是存在的。但是其可積性也只能是三者處于特定的情況下才能存在。這部分內容比較深奧，在大部分普通高校微積分的教材中雖然沒有對其解法的完整體現，但是學生們在自行閱讀的時候很可能會閱讀到相關方面的文獻的時候很可能會看到相關的問題。因此針對這種情況我們應該積極的尋找其中的相通之處進而找為學生們的更好的理解這些問題的重要途徑。

1可積條件

首先在方程①，我們通常所使用的方式是采用變量對上述的方程進行替換，并且一般替換的對象是可降價的方程或者是常系數線性方程。這種方式的制約性就是在選擇使用怎樣的方式來進行替換的時候必須要看P（x）和Q（x）之間存在怎樣的關系來確定。就是在進行計算的過程中需要受到很多方面的影響，變量的不確定性大大增加了在解方程過程那種的困難性。

接下來我們探討方程①可積的重要條件：

P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常數b、c

②

經過變換我們不難看出當①中的p（x）和q（x）分解為②時，即方程：

③

經過雙變化之后不難看出其常系數線性方程：

④

之后可以再次經過轉化得出：

⑤

在對方程：

⑥

雙變換完成之后：

顯然上述的公式是錯誤的。

上述方程①中是的p（x）和q（x），在進行分解的過程中一般都不會將其分解成②的形式，一般在針對某些簡單的情況下，我們可以使用拼湊法的形式；而在比較麻煩的情況下，往往可以使用“分項比較法”的方式來完成實現結題的過程。基于此，本人認為，對可積方程①的求解，首先是觀察方程①是不是能夠形式簡單并且便于記憶的方程，若不是再進行考慮如②的分解方式，這樣可以為自己的結題提供一種比較簡單的并且簡捷的思路，從而不至于在拼湊的項目中難以找到相應G（x）、F（x）以及b、c 的值。

2例題分析

例1：問題已知函數 是二線性齊次方程

xy"-（2x-1）y' +（x-1）y = 0的一個特解，求原方程的通解.

[分析] 這也是變系數線性方程問題，但跟人上方程的解法不屬于同一種類型。他的題意中已經給出了一個特解，所以用的方法也就并不一樣。

根據二線性齊次方程[解的結構理論] 可知，只要能求出與 線性無關的另一個特解 ，就可以得到其通解 了。而 與以線性無關的特征就是 ，不是常數。

[解] 設原微分方程有另一與y線性無關的特解口，則可設 即

= ，將其代入原方程，可得到一個關于以K（x）為未知函數的微分方程（過程非常簡單，從略）

xK" + K'= 0.

由于我們只要求出其“一個”特解，所以從上式中求 時，可以不必顧及任意常數，從而可得（過程很簡單，從略） K（x）=In |x|，即y2= e* In |x|，所以原方程的通解為

[注] 通常也把這種方法稱為“常數變易法”

這類問題，雖然方法較為簡單，但是基本運算量還是比較大的，如果不冷靜地思考，仔細地演算，那么還是很容易出錯的，為此大家應該更加注重對問題的思辨性。

3結語

綜上所述，經過數十年我們對于二階變系數線性微分方程的研究已經有了一個比較系統(tǒng)的解釋方法，但是在探究問題的過程中還會存在一定的問題有待我們進一步的去解決。針對這些問題我們不應該采取消極回避的態(tài)度而應該積極的尋找其正確的解釋方法，從而為我們的學生們找到一個更加正確的解題方向；另外，現階段雖然我們已經對此有了一個比較成熟的算法，但是隨著科技的發(fā)展和認知的提升，也許在未來的某一天還會出現更加科學的算法，因此我們也不能采取保守陳規(guī)的態(tài)度，應該積極進取。

（作者單位：河套學院）