孟鵬洋

摘 要：解決人口問(wèn)題對(duì)國(guó)家的穩(wěn)定和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展都有很重要的作用，因此學(xué)術(shù)界一直以來(lái)都十分關(guān)注人口預(yù)測(cè)的研究課題。本文首先選取Logistics模型對(duì)人口規(guī)律進(jìn)行了描述，對(duì)未來(lái)5年的人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，再運(yùn)用灰色系統(tǒng)GM（1，1）模型對(duì)我國(guó)的人口進(jìn)行了中短期的預(yù)測(cè)。引入Leslie模型，根據(jù)需要將育齡婦女生育率進(jìn)行歸一化，定義了年齡別水平，利用matlab軟件對(duì)增長(zhǎng)矩陣進(jìn)行有限次的迭代，預(yù)測(cè)出來(lái)我國(guó)的人口高峰達(dá)到的時(shí)間，并會(huì)在之后的一段時(shí)間里趨于穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：人口預(yù)測(cè)；數(shù)學(xué)模型；分析

一、人口預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型

人口預(yù)測(cè)方法體系中的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法一直被學(xué)術(shù)界沿用至今，下面根據(jù)研究結(jié)果分別選定Logistic模型對(duì)我國(guó)人口做短期預(yù)測(cè)；對(duì)我國(guó)人口進(jìn)行中期預(yù)測(cè)時(shí)選定了灰色GM（1，1）模型；長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則由Leslie模型來(lái)完成。

1.Logistic模型

Logistic模型的原型是Malthus模型：學(xué)術(shù)界的增長(zhǎng)矩陣選擇灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)人口的自然增長(zhǎng)率為固定值，即單位時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)與人口成比例。

并且假定人口的增長(zhǎng)按照指數(shù)增長(zhǎng)的函數(shù)進(jìn)行；其模型的離散形式為：

[ （+ ） （）] = 住？

其中 （）表示時(shí)刻的人口總數(shù)， 就是人口的自然增長(zhǎng)率。這個(gè)模型說(shuō)明人口增長(zhǎng)一倍所需要的時(shí)間是定值，且在未來(lái)無(wú)限增長(zhǎng)。但是當(dāng)人口總數(shù)達(dá)到環(huán)境最大承載數(shù)目時(shí)，凈增長(zhǎng)率趨于零。在這種情況下得到了預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)更為合理的Logistic模型

再進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。根據(jù)中國(guó)人口總數(shù)的數(shù)據(jù)，用matlab求解該非線性擬合。得到 = 0.0678， = 0.048 ，擬合的殘差resnorm=0.0016。由繪制的Logistic的增長(zhǎng)型函數(shù)的圖像，得出當(dāng)∞時(shí)，p（t）==14.1250。

然后進(jìn)行 Logistic模型誤差分析。我們通過(guò)統(tǒng)計(jì)年鑒等工具得到了相應(yīng)的年代的人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，然后利用matlab軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，得到了預(yù)測(cè)值，為了更好做誤差分析，先定義誤差率為d，預(yù)測(cè)值為a，真實(shí)值為c，然后根據(jù)公式求得誤差率。

根據(jù)中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒可以得到1989年到2005年年末的實(shí)際總?cè)丝诳倲?shù)，然后與函數(shù)預(yù)測(cè)的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，我們可以得到相對(duì)應(yīng)的誤差率。可以得出隨著時(shí)間的增長(zhǎng)Logistic模型的誤差率波動(dòng)呈上升的趨勢(shì)，但是該模型在短時(shí)間內(nèi)的誤差值比較小，2008年以后的誤差率的數(shù)值是呈直線上升的趨勢(shì)，所以我們可以用Logistic模型對(duì)我國(guó)的人口總數(shù)進(jìn)行短時(shí)間內(nèi)的粗略預(yù)測(cè)并以此對(duì)2018到2023年的人口總數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

根據(jù)數(shù)據(jù)推測(cè)出未來(lái)五年全國(guó)人口的總數(shù)分別為13.25億、13.31億、13.42億、13.47億和13.52億；并且全國(guó)的總?cè)丝谠谖磥?lái)趨近14.125億.但是由誤差率合一看到，Logistic模型適用于短期的預(yù)測(cè)，在中長(zhǎng)期的情況下預(yù)測(cè)的效果不是很好，原因是在現(xiàn)代影響人口增長(zhǎng)的因素有很多，除了環(huán)境的承載能力，還要受包括醫(yī)療水平提高、人口政策的變化，甚至是戰(zhàn)爭(zhēng)、生育觀念等因素影響，而這些都不會(huì)在數(shù)據(jù)表面體現(xiàn)出來(lái)，Logistic模型在這方面的缺乏降低了人口預(yù)測(cè)的精確度。

2. GM（1，1）模型的建模與預(yù)測(cè)

建立GM（1，1）模型：設(shè)為已知的原始數(shù)據(jù)序 = {}，先對(duì)原數(shù)據(jù)累加以弱化個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)整體的影響，生成的新表達(dá)式為=（ = 1，2…，，從而得到新序列，然后構(gòu)造背景序列= （2）， （3），…， （）。一般取 = 0.5建立影子方程為 =。離散化，得到GM（1，1）灰微分方程 + = ，其中c，v待定的系數(shù)。

求解GM（1，1）模型，應(yīng)用最小二乘法可經(jīng)下面的式子求得記 [c，v]，[（0），（0），…，（0）]?；趍atlab軟件編程求出參數(shù)c，v的值，得出預(yù)測(cè)方程（1）=[（0）]+，則還原為原始預(yù)測(cè)值。

灰色模型進(jìn)行長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)時(shí)候，時(shí)間序列長(zhǎng)短和數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)都會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)造成誤差，因此，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行等維遞推的方法一定程度上可以消減灰色的區(qū)間，提高預(yù)測(cè)精度。等維遞補(bǔ)方法的原理：首先按照已有的數(shù)據(jù)列建立灰色模型并且預(yù)測(cè)出第一個(gè)數(shù)值，再將這個(gè)值添加到之后的同事間去除的第一個(gè)數(shù)值，讓它一直保持著等維度，然后再預(yù)測(cè)下一個(gè) 數(shù)值，以此類推，直到達(dá)成預(yù)測(cè)精度并完成預(yù)測(cè)目標(biāo)。然后用matlab套用灰色模型的公式進(jìn)行擬合并建模，為編程方便，將時(shí)間相應(yīng)方程簡(jiǎn)化為= ？ （a ？） +，根據(jù)程序輸出的結(jié)果得到原始時(shí)間響應(yīng)方程，然后根據(jù)上訴方程預(yù)測(cè)2008年到2016年的人口數(shù)據(jù)。并用matlab求出模型的后驗(yàn)差比值C=0.0059468506和小概率的P = 1。將C值和P值與原數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，得出該模型的擬合的精度等級(jí)為“好”，且可以從上表看到其相對(duì)誤差的變動(dòng)范圍基本維持在0.1%之間.這些可以進(jìn)行接下來(lái)的人口預(yù)測(cè)。

根據(jù)上述得到的時(shí)間相應(yīng)方程用matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得出我國(guó)2017年到2052年人口預(yù)測(cè)值。

2017年的預(yù)測(cè)值是13.67億，并以線性的趨勢(shì)持續(xù)增長(zhǎng)，到2023年是14.078億，2033年為14.78億，2050年突破了16億。從誤差檢驗(yàn)上看，灰色模型在短期和中期的預(yù)測(cè)效果非常好，要優(yōu)于Logistic模型，但是從預(yù)測(cè)值整個(gè)變動(dòng)的趨勢(shì)上看，它的擬合值是呈現(xiàn)直線增長(zhǎng)的方式并且長(zhǎng)期發(fā)展下去，僅以單人口的因素進(jìn)行推算而沒(méi)有考慮其他因素，這個(gè)是本模型的缺點(diǎn)，所以可以肯定地說(shuō)灰色系統(tǒng)模型不適合人口長(zhǎng)期發(fā)展的預(yù)測(cè)，其誤差也會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸增大。

3.人口增長(zhǎng)的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)――Leslie模型

Logistic模型能夠較好地反映短期人口增長(zhǎng)的規(guī)律，但是限制的條件也很多，對(duì)長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)肯定不符合現(xiàn)實(shí)，因此本文引入第三個(gè)模型，Leslie模型進(jìn)行人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)。