李莉　黃秀旺

摘要

什么樣的數(shù)學(xué)課堂才能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，并將數(shù)學(xué)思考引向深層次，引發(fā)學(xué)生思維的生長(zhǎng)？結(jié)合教學(xué)活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)和反思，從概念教學(xué)、符號(hào)教學(xué)、探究教學(xué)、解題教學(xué)等4個(gè)方面談?wù)勅绾卧O(shè)置有利于激活學(xué)生思維活動(dòng)的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞

問(wèn)題 數(shù)學(xué)課堂 思維能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生思考數(shù)學(xué)的積極性，從而將數(shù)學(xué)思考引向深層次，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維。什么樣的數(shù)學(xué)課堂才能達(dá)到這一要求？對(duì)于這種教學(xué)境界，或許仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，但根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情巧妙、恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置課堂問(wèn)題，提出符合學(xué)生心理狀態(tài)和認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題，能不斷激發(fā)學(xué)生新的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激起學(xué)生新的認(rèn)知沖突，實(shí)現(xiàn)在課堂上培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文將重點(diǎn)從自身的教學(xué)實(shí)例中談?wù)剢?wèn)題的設(shè)置。

一、“問(wèn)”出概念的內(nèi)涵和外延

概念是最基本的思維形式。數(shù)學(xué)中的命題，都是由概念構(gòu)成的，數(shù)學(xué)中的推理和證明，又是由命題構(gòu)成的。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要支點(diǎn)。阿基米德說(shuō)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球?！闭_地理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，數(shù)學(xué)概念好比支點(diǎn)，而數(shù)學(xué)法則、定理好比杠桿，可見(jiàn)概念的重要性。

案例：分式方程。

問(wèn)題的引入：

問(wèn)題1 甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工一件，乙加工服裝24件所用的時(shí)間與甲加工服裝20件所用的時(shí)間相同。怎樣用方程來(lái)描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

問(wèn)題2 一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，如果把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的比值是[74]。怎樣用方程來(lái)描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

問(wèn)題3 某校學(xué)生到離學(xué)校15km處植樹(shù)，部分學(xué)生騎自行車(chē)出發(fā)40min后，其余學(xué)生乘汽車(chē)出發(fā)，汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，全體學(xué)生同時(shí)到達(dá)。怎樣用方程來(lái)描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題引入分式方程的模型，激發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的興趣。

探索規(guī)律，揭示新知：

問(wèn)題1 比較前面所學(xué)的一元一次方程，上面所得方程與一元一次方程有什么區(qū)別？

問(wèn)題2 下列方程中，哪些是分式方程，為什么？

（1）2x+[x+15=0]； （2）[2x+x2=5]；

（3）[1x+1=2]； （4）[2y3+y-12=1].

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生將其與熟悉的一元一次方程比較，學(xué)生通過(guò)比較兩者的異同得出分式方程的概念。

讓學(xué)生判斷哪些方程是分式方程，進(jìn)一步鞏固分式方程的特點(diǎn)：分母中含有未知數(shù)。

二、“問(wèn)”出學(xué)生的符號(hào)感

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。符號(hào)意識(shí)是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。

案例：二次根式（2）。

師：觀察下列各式的特點(diǎn)，找出各式的共同規(guī)律，并用表達(dá)式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

[22]=_____，[52]=_____，[102]=_____，

[（-2）2]=_____，[（-5）2]=_____，

[（-10）2]=_____，[02]=_____。

通過(guò)觀察，你得到的結(jié)論是什么？試著說(shuō)一說(shuō)。你能用字母表示上面的結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)意圖：充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，通過(guò)計(jì)算、討論，總結(jié)得出其相關(guān)性質(zhì)。

生：當(dāng)a≥0時(shí)，[a2]=_____；當(dāng)a<0時(shí)，[a2]=______。

根據(jù)絕對(duì)值的意義：當(dāng)a≥0時(shí)，[a]=a；當(dāng)a<0時(shí)，[a]=-a，由此可知：[a2]=[a]。

教師板書(shū)：（1）[4]；（2）[（-1.5）2]；（3）[（x-1）2]（x≤1）。

師：你能分別說(shuō)說(shuō)a在上面題目中分別代表什么嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生理解字母a不僅可以表示一個(gè)數(shù)，也可以表示一個(gè)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，加強(qiáng)符號(hào)感。

三、“問(wèn)”出學(xué)生的探究能力

教師在積極誘導(dǎo)學(xué)生使他們感到自己是個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探究者的同時(shí)，必須加強(qiáng)引導(dǎo)，及時(shí)調(diào)控，充分發(fā)揮教師參與者、組織者、指導(dǎo)者和激勵(lì)者的作用，為“生成性資源”定向?qū)Ш?。教師要不斷捕捉、判斷、重組從學(xué)生那里獲取的各種信息，見(jiàn)機(jī)而作，適時(shí)調(diào)整。

案例：多邊形的內(nèi)角和。

師：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，那么你們知道四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

生1：正方形和長(zhǎng)方形的內(nèi)角和為360°。

師：那一般的四邊形呢？你是怎么得到的呢？

生2：我們也可以像研究三角形一樣用量角器測(cè)量或剪下四個(gè)內(nèi)角進(jìn)行拼接。

師追問(wèn)：這位同學(xué)回答得非常好，邊數(shù)少的多邊形可以通過(guò)量角或者剪拼來(lái)求和，如果邊數(shù)很多那又怎么辦？

生3：我可以通過(guò)連接對(duì)角線把多邊形分割成幾個(gè)三角形，利用三角形內(nèi)角和求得多邊形內(nèi)角和。

師接著追問(wèn)：你們覺(jué)得剛才同學(xué)回答的方法中哪一種可以推廣呢？

學(xué)生交流討論之后得出：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)連接對(duì)角線發(fā)現(xiàn)可以得出幾個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與各三角形內(nèi)角和之間的關(guān)系，三角形個(gè)數(shù)與多邊形邊數(shù)的關(guān)系。

建構(gòu)活動(dòng)過(guò)程是一個(gè)從特殊到一般歸納推理的過(guò)程，教學(xué)中規(guī)律要讓學(xué)生自己去尋找，結(jié)論讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)總結(jié)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)上“化歸”的過(guò)程，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；教學(xué)中要讓學(xué)生嘗試從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法，并能有效地解決問(wèn)題，嘗試評(píng)價(jià)不同方法的差異，從而尋求最優(yōu)化的解題方法。教師的兩次追問(wèn)讓學(xué)生體驗(yàn)了從特殊到一般的研究過(guò)程，為學(xué)生的探究找到了方法，體現(xiàn)了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力。

四、“問(wèn)”出學(xué)生的解題能力

1.在學(xué)生思考粗淺處追問(wèn)。

學(xué)生受知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，在積極學(xué)習(xí)、認(rèn)真思考、熱烈討論中，有時(shí)思維會(huì)遇到障礙或矛盾，不能進(jìn)一步思考、解釋、分析，此時(shí)，教師要有意識(shí)地追問(wèn)和引導(dǎo)，搭設(shè)思維跳板，開(kāi)拓思路，激起學(xué)生創(chuàng)新的火花。

案例：概率。

師：一名籃球運(yùn)動(dòng)員的三分球投籃命中的概率是0.7，這個(gè)0.7表示什么意思？

生1：0.7表示這個(gè)運(yùn)動(dòng)員投10個(gè)球，進(jìn)了（稍微停頓了一下）7個(gè)球。

教室里一片嘩然。教師笑了笑，沒(méi)有評(píng)價(jià)，而是把目光投向全班學(xué)生。

生2馬上站起來(lái)：他投10個(gè)球一定進(jìn)7個(gè)球嗎？應(yīng)該說(shuō)投了10個(gè)球，大約進(jìn)了7個(gè)球。

師追問(wèn)：那他是不是只投了10個(gè)球？

有學(xué)生好像悟到了什么：應(yīng)該說(shuō)他投很多次球，這10次里面有可能進(jìn)了8次，那10次里面有可能進(jìn)了6次，但是平均下來(lái)，每10次平均進(jìn)球7個(gè)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中很多學(xué)生會(huì)望文生義，不求深入思考。教師抓住學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過(guò)不斷的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生去爭(zhēng)論，把課堂上生成的信息加工成階梯式攀升的問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)討論、爭(zhēng)辯，產(chǎn)生自悟，最終達(dá)成共識(shí)。

2.在學(xué)生思考錯(cuò)誤處追問(wèn)。

布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的?！钡拇_如此，錯(cuò)誤是孩子最樸實(shí)的思想、最真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)。所以學(xué)生的錯(cuò)誤往往是一種鮮活的教學(xué)資源，我們教師應(yīng)該善于挖掘和發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后隱藏的教育價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生從錯(cuò)中求知，從錯(cuò)中探究。

案例：三角形邊的關(guān)系。

教師讓學(xué)生判斷：10厘米、5厘米、4厘米這三條線段能否圍成三角形。

生1：可以，因?yàn)?0+5>4，兩邊之和大于第三邊，所以能?chē)扇切巍?/p>

很顯然，學(xué)生的回答是錯(cuò)誤的，教師沒(méi)有馬上糾正，而是追問(wèn)：還有別的想法嗎？

生2：10+4>5，兩邊之和大于第三邊，我認(rèn)為也可以。

生3：我認(rèn)為不行，因?yàn)?+4<10。

教師繼續(xù)追問(wèn)：為什么有的兩邊之和大于第三邊，有的兩邊之和卻不大于第三邊呢？你覺(jué)得在什么情況下，才能?chē)扇切文兀?/p>

生4：剛才兩個(gè)學(xué)生答得不正確，我覺(jué)得應(yīng)是三條邊中，任意兩邊之和都要大于第三邊，才可以。

教師在學(xué)生能深刻理解“任意”的意思后，繼續(xù)追問(wèn)：那我們是不是每次都要考慮三種情況呢？

學(xué)生紛紛表示：不需要。那樣太麻煩了，只需要考慮最短的兩條邊的和是否大于第三邊，如果最短的兩條邊的和大于第三邊，那么一個(gè)長(zhǎng)邊與一個(gè)短邊的和肯定大于另一條短邊了。

“問(wèn)題是科學(xué)思維的焦點(diǎn)”，好的問(wèn)題是打開(kāi)思維的鑰匙?！叭切芜叺年P(guān)系”的重、難點(diǎn)是讓學(xué)生理解三角形任意兩邊之和大于第三邊，會(huì)判斷三條線段能否圍成三角形，只要看最短的兩條邊的和是否大于第三條邊。學(xué)生在學(xué)習(xí)中由于考慮問(wèn)題不全面，通常都暴露出此案例中的錯(cuò)誤和問(wèn)題，教師不斷追問(wèn)，不僅讓學(xué)生明白了錯(cuò)誤的根源，而且讓學(xué)生很好地理解了“任意”，也很好地掌握了判斷三條線段能否圍成三角形的最好方法。錯(cuò)誤是有利教學(xué)的鮮活資源，教師要及時(shí)捕捉，讓學(xué)生在糾錯(cuò)中體驗(yàn)到自己主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的快樂(lè)，取得滿意的學(xué)習(xí)效果。

3.在學(xué)生對(duì)問(wèn)題的答案有爭(zhēng)議時(shí)追問(wèn)。

學(xué)生受知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，有時(shí)思維會(huì)遇到障礙或產(chǎn)生矛盾，不能進(jìn)一步思考、解釋、分析，此時(shí)，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的思維矛盾沖突及時(shí)追問(wèn)，積極引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生的思維，從而幫助學(xué)生開(kāi)拓思路。

案例：相似三角形。

問(wèn)題：一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm、5cm，和它相似的三角形一邊長(zhǎng)為6cm，求另外兩邊長(zhǎng)。

生1：另外一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8cm和10cm。因?yàn)?是3擴(kuò)大兩倍得到的，另外兩條邊也相應(yīng)地?cái)U(kuò)大了兩倍。

教師笑著看看全班同學(xué)追問(wèn)：你回答得很好，其他同學(xué)還有什么想法嗎？

生2：我不同意他的說(shuō)法，問(wèn)題中并沒(méi)有說(shuō)6和3是對(duì)應(yīng)邊，6和4也可以是對(duì)應(yīng)邊。

“是的，是的，6和5也可以是對(duì)應(yīng)邊?！敝宦?tīng)到下面學(xué)生七嘴八舌地議論道，同座位之間在相互爭(zhēng)論，教師繼續(xù)追問(wèn)：你們覺(jué)得該怎么解決這道問(wèn)題呢？

生3：我覺(jué)得要分3種情況討論，分別是6和3對(duì)應(yīng)，6和4對(duì)應(yīng)，6和5對(duì)應(yīng)，所以應(yīng)該有3個(gè)答案。

教師繼續(xù)追問(wèn)：那同學(xué)們覺(jué)得什么樣的問(wèn)題需要這種分類(lèi)討論呢？

學(xué)生討論之后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)某些條件不確定時(shí)，通常需要分類(lèi)討論。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是頗為常見(jiàn)的，分類(lèi)是在題目部分條件缺失或不明確的情況下，按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。掌握分類(lèi)的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是十分重要的。正確的分類(lèi)必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏。

課堂是知識(shí)傳遞的交接地，是師生生命涌動(dòng)的精神家園，是由諸多教學(xué)細(xì)節(jié)組成的，精彩的教學(xué)細(xì)節(jié)使課堂充滿靈動(dòng)。而教師每一次有價(jià)值的提問(wèn)正是教學(xué)中的精彩細(xì)節(jié)，它撥動(dòng)著學(xué)生的心弦，引領(lǐng)著學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，給數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)了太多的精彩。

（作者單位：1江蘇省南京市江寧區(qū)湖熟初級(jí)中學(xué)；2江蘇省南京市竹山中學(xué)）

本文系南京市江寧區(qū)初中數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村骨干教師培育站研修項(xiàng)目“基于初中生思維力生長(zhǎng)的問(wèn)題導(dǎo)學(xué)式課堂教學(xué)”的研究成果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]華應(yīng)龍.我這樣教數(shù)學(xué)——華應(yīng)龍課堂實(shí)錄[M].上海：華東范大學(xué)出版社，2009.

[2]潘慶玉.富有想象力的課堂教學(xué)[M].廣州：廣東教育出版社 ，2009.

[3]張敏.生成性教學(xué)的有效性實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2012.

[4]錢(qián)守旺.走近錢(qián)守旺[M].福州：福建教育出版社 ，2006.

[5][蘇聯(lián)]瓦·阿·蘇霍姆林斯基.給教師的建議（全一冊(cè)）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2001.