基于自適應(yīng)分級(jí)滑?？刂频那蛐纹魅硕ㄎ豢刂?/h1>
2018-05-14 15:33:30于濤孫漢旭趙偉楊昆
中國(guó)測(cè)試 2018年5期
于濤 孫漢旭 趙偉 楊昆
摘要：探討一種三驅(qū)動(dòng)球形機(jī)器人的定位控制問題，提出基于控制增益自適應(yīng)調(diào)節(jié)的分級(jí)滑?？刂品椒?。相比于現(xiàn)有定位控制方法，所提出的控制方法對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性。將球形機(jī)器人系統(tǒng)分解為球體子系統(tǒng)和偏心質(zhì)塊子系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上分別設(shè)計(jì)系統(tǒng)的各級(jí)滑動(dòng)面?；贚yapunov函數(shù)法選取分級(jí)滑模控制律和控制增益自適應(yīng)律，并采用邊界層法削弱分級(jí)滑模控制器的抖振。應(yīng)用Barbalat引理證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制方法的可行性和有效性。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)帶有不確定性的球形機(jī)器人系統(tǒng)的定位控制。
關(guān)鍵詞：三驅(qū)動(dòng)；球形機(jī)器人；定位控制；自適應(yīng)分級(jí)滑模控制
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2018）05-0097-06
0引言
球形機(jī)器人是一種利用球形外殼滾動(dòng)來實(shí)現(xiàn)自身運(yùn)動(dòng)的新型移動(dòng)機(jī)器人，具有運(yùn)動(dòng)全向性和轉(zhuǎn)向靈活等優(yōu)點(diǎn)。球形機(jī)器人將機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制電路都封裝在球殼內(nèi)部，全封閉的外殼使其對(duì)復(fù)雜物理環(huán)境具有很強(qiáng)的適應(yīng)能力，可應(yīng)用于國(guó)防裝備、環(huán)境監(jiān)測(cè)和行星探測(cè)等諸多領(lǐng)域。目前，球形機(jī)器人研究中所存在的共同理論和技術(shù)難點(diǎn)是其運(yùn)動(dòng)控制問題。因此，深入探索球形機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制方法具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。
縱向運(yùn)動(dòng)是球形機(jī)器人的主要運(yùn)動(dòng)形式之一，縱向運(yùn)動(dòng)控制的有效性直接影響球形機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)性能。目前，球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的定位控制方法主要有：學(xué)習(xí)控制、PID控制、滑?？刂坪头答伨€性化控制。在實(shí)際的控制中，球形機(jī)器人不可避免地會(huì)受到參數(shù)不確定性等因素的影響：因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)必須對(duì)這些因素加以考慮。但遺憾的是，現(xiàn)有定位控制方法均未充分考慮這些不確定因素的影響，因此無法確保閉環(huán)控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。
球形機(jī)器人是一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，分級(jí)滑?？刂剖沁m用于此類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的有效方法。但對(duì)于不確定欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)而言，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須依據(jù)不確定性上界值來選取控制器的控制增益：然而不確定性上界值通常難以直接獲得，這就使得控制增益的選擇變得十分困難。
針對(duì)現(xiàn)有定位控制方法和分級(jí)滑?？刂品椒ù嬖诘闹T多不足，本文在分析一種三驅(qū)動(dòng)球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)特性的基礎(chǔ)上，提出一種基于自適應(yīng)分級(jí)滑模控制的定位控制方法。所提控制方法通過自適應(yīng)機(jī)制動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)控制器的控制增益，對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性。從理論上分析了系統(tǒng)各級(jí)滑動(dòng)面的漸近穩(wěn)定性，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。
1球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型
BYQ-XII型球形機(jī)器人主要由球殼、主梁、偏心質(zhì)塊和伺服電機(jī)等部分構(gòu)成，其機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示。球殼內(nèi)表面赤道處的軌道上設(shè)有環(huán)形齒條，轉(zhuǎn)向支座通過與齒條嚙合的轉(zhuǎn)向輪與軌道相連。軌道電機(jī)驅(qū)動(dòng)主梁和偏心質(zhì)塊相對(duì)球殼轉(zhuǎn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的轉(zhuǎn)向控制。主梁一端與轉(zhuǎn)向支座相連，另一端與導(dǎo)向支座相連。長(zhǎng)軸電機(jī)帶動(dòng)主梁相對(duì)球殼轉(zhuǎn)動(dòng)，使機(jī)器人重心向前或向后移動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行縱向運(yùn)動(dòng)。短軸電機(jī)驅(qū)動(dòng)偏心質(zhì)塊相對(duì)主梁轉(zhuǎn)動(dòng)，使機(jī)器人重心向左或向右偏移，從而控制機(jī)器人向左或向右轉(zhuǎn)向。由此可見，當(dāng)長(zhǎng)軸電機(jī)分別與短軸電機(jī)或軌道電機(jī)配合使用時(shí)，機(jī)器人系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)兩種不同的雙驅(qū)動(dòng)模式。在這兩種不同的驅(qū)動(dòng)模式下，該球形機(jī)器人均能在地面上全向滾動(dòng)。
為便于對(duì)該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，首先對(duì)該機(jī)器人做出如下4點(diǎn)假設(shè)：
假設(shè)1：將球殼視為均質(zhì)對(duì)稱的薄壁球殼，球殼的質(zhì)量為m1，球殼的半徑為l2。
假設(shè)2：主梁的質(zhì)心與球心重合，主梁的質(zhì)量為m2，主梁相對(duì)長(zhǎng)軸電機(jī)輸出軸軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1。
假設(shè)3：將偏心質(zhì)塊視為偏心質(zhì)點(diǎn)，偏心質(zhì)塊通過長(zhǎng)度為l2的無質(zhì)量擺桿與主梁鉸接于球心處，偏心質(zhì)塊的質(zhì)量為m3。
假設(shè)4：球形機(jī)器人在地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，球殼僅進(jìn)行無滑動(dòng)的純滾動(dòng)。
然后計(jì)算系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L=K-P，并應(yīng)用拉格朗日一歐拉方程來推導(dǎo)球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，其中K和P分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。
分別對(duì)球殼、主梁和偏心質(zhì)塊的動(dòng)能進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而可得系統(tǒng)的動(dòng)能為
選取地面作為系統(tǒng)的零勢(shì)能面，可得系統(tǒng)的勢(shì)能為
忽略機(jī)器人系統(tǒng)內(nèi)部的摩擦力，將拉格朗日函數(shù)L=K-P代入拉格朗日一歐拉方程，可得球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為
2定位控制器設(shè)計(jì)
對(duì)于式（5）所示的球形機(jī)器人系統(tǒng)，將整個(gè)系統(tǒng)分解為球體子系統(tǒng)A和偏心質(zhì)塊子系統(tǒng)B：
在動(dòng)力學(xué)模型式（4）中令所有的速度和加速度為零，從而可知當(dāng)機(jī)器人站定在地面上時(shí)，系統(tǒng)的平衡擺角應(yīng)為零。由此分析結(jié)果可見，球形機(jī)器人定位控制的目標(biāo)包含了滾動(dòng)球殼的位置控制和偏心質(zhì)塊擺起角度的穩(wěn)定控制兩個(gè)子目標(biāo)。
對(duì)球體子系統(tǒng)A，設(shè)計(jì)第一級(jí)滑動(dòng)面s1為
由式（11）可得，第一級(jí)滑動(dòng)面s2的等效控制為
由于整個(gè)系統(tǒng)只有一個(gè)輸入變量，需要進(jìn)一步將2個(gè)第一級(jí)滑動(dòng)面聯(lián)系起來。為此，定義系統(tǒng)的第二級(jí)滑動(dòng)面為
與文獻(xiàn)相比，本文方法在邊界層內(nèi)外采用了相同的控制增益調(diào)節(jié)機(jī)制，因而避免了系統(tǒng)狀態(tài)穿越邊界層時(shí)由于控制增益切換而引起的控制輸入突變的問題。23穩(wěn)定性證明
定理1：對(duì)于式（5）所示的機(jī)器人系統(tǒng)，分別按式（8）、式（9）和式（14）構(gòu)造系統(tǒng)的各級(jí)滑動(dòng)面，如果采用式（21）所示的分級(jí)滑模控制律和式（19）所示的控制增益自適應(yīng)律，那么系統(tǒng)的第二級(jí)滑動(dòng)面S是漸近穩(wěn)定的。
定理2：對(duì)于式（5）所示的機(jī)器人系統(tǒng)，分別按式（8）、式（9）和式（14）構(gòu)造系統(tǒng)的各級(jí)滑動(dòng)面，如果采用式（21）所示的分級(jí)滑?？刂坡珊褪剑?9）所示的控制增益自適應(yīng)律，那么系統(tǒng)的第一級(jí)滑動(dòng)面s。和s2是漸近穩(wěn)定的。
4仿真研究
4.1機(jī)器人參數(shù)
為驗(yàn)證本文提出的定位控制方法的有效性，利用Matlab/Simtdink仿真環(huán)境進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)分兩個(gè)部分來進(jìn)行，分別用于驗(yàn)證本文提出的控制方法的控制性能和對(duì)于系統(tǒng)不確定性的魯棒性。BYQ-XII型球形機(jī)器人各物理參數(shù)的標(biāo)稱值分別為
4.2控制性能驗(yàn)證
本文方法的仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。圖3為球心位置和偏心質(zhì)塊擺起角度的變化曲線。由圖可以看出，在本文控制器作用下，機(jī)器人在約7.7 s就能無超調(diào)地運(yùn)動(dòng)至指定位置，機(jī)器人的縱向滾動(dòng)具有明顯的加速過程和減速過程。在加速過程的第1個(gè)階段，偏心質(zhì)塊首先由豎直方向擺至正向最大擺角位置，這一階段機(jī)器人的加速度逐漸增大。在加速過程的第2個(gè)階段，偏心質(zhì)塊由正向最大擺角位置擺回至豎直方向，這一階段機(jī)器人的加速度逐漸減小至0。機(jī)器人的減速過程也包括兩個(gè)階段，偏心質(zhì)塊首先由豎直方向擺至反向最大擺角位置，然后再由反向最大擺角位置擺回至豎直方向。機(jī)器人系統(tǒng)最終實(shí)現(xiàn)偏心質(zhì)塊擺起角度穩(wěn)定控制的時(shí)間約為8.1 s，機(jī)器人滾動(dòng)過程中偏心質(zhì)塊的最大擺起幅度約為26.6°。圖4為系統(tǒng)各級(jí)滑動(dòng)面的變化曲線，可以看出各級(jí)滑動(dòng)面均能快速地收斂至零。圖5為控制器輸出的變化曲線，可以看出控制信號(hào)較為平滑且無抖振。
文獻(xiàn)方法的仿真結(jié)果如圖6所示，由圖可以看出在文獻(xiàn)控制器作用下，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)至給定位置的時(shí)間約為8.2 s，實(shí)現(xiàn)偏心質(zhì)塊擺起角度穩(wěn)定控制的時(shí)間約為8.5 s，機(jī)器人滾動(dòng)過程中偏心質(zhì)塊的最大擺起幅度約為28.1°。對(duì)比本文方法和文獻(xiàn)方法可知，本文方法較為有效地減小了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和偏心質(zhì)塊擺起角度的超調(diào)量。
4.3魯棒性驗(yàn)證
為測(cè)試本文方法對(duì)于系統(tǒng)不確定性的魯棒性，假設(shè)系統(tǒng)模型帶有15%的參數(shù)不確定性。魯棒性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，選取系統(tǒng)模型各參數(shù)值為4.1中機(jī)器人各參數(shù)標(biāo)稱值的1.15倍。需要說明的是，本文所提方法仍然采用標(biāo)稱模型來選取控制律。同時(shí)為便于分析，將控制性能驗(yàn)證結(jié)果與魯棒性驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。
圖7為本文方法的魯棒性驗(yàn)證結(jié)果。由圖可以看出，被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能在一定程度上受到了系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性的影響，球心位置上產(chǎn)生了很小幅度的超調(diào)，同時(shí)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間也稍有增加。盡管如此，在本文所提控制器作用下，機(jī)器人系統(tǒng)仍然能夠被鎮(zhèn)定至期望的平衡點(diǎn)，球心位置和偏心質(zhì)塊擺起角度均能夠收斂至各自的目標(biāo)值。由魯棒性驗(yàn)證結(jié)果可見，本文方法對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性。
5結(jié)束語
本文研究了一種三驅(qū)動(dòng)球形移動(dòng)機(jī)器人的定位控制問題，提出了一種自適應(yīng)分級(jí)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法。所設(shè)計(jì)的控制律中包含了由自適應(yīng)律調(diào)節(jié)的變控制增益，可使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)入滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)。該控制方法無需已知機(jī)器人系統(tǒng)不確定性的上界值，較好地解決了傳統(tǒng)方法中控制增益選取困難的問題，并可有效地實(shí)現(xiàn)帶有系統(tǒng)不確定性的球形機(jī)器人的定位控制。通過與現(xiàn)有控制方法的對(duì)比驗(yàn)證了本文所提方法的控制性能，并采用帶有15%參數(shù)不確定性的機(jī)器人模型驗(yàn)證了本文所提方法的魯棒性。在后續(xù)研究中，將進(jìn)一步考慮在球殼與偏心質(zhì)塊間存在阻尼情況下的球形機(jī)器人定位控制問題。
（編輯：莫婕）
于濤 孫漢旭 趙偉 楊昆
摘要：探討一種三驅(qū)動(dòng)球形機(jī)器人的定位控制問題，提出基于控制增益自適應(yīng)調(diào)節(jié)的分級(jí)滑?？刂品椒?。相比于現(xiàn)有定位控制方法，所提出的控制方法對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性。將球形機(jī)器人系統(tǒng)分解為球體子系統(tǒng)和偏心質(zhì)塊子系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上分別設(shè)計(jì)系統(tǒng)的各級(jí)滑動(dòng)面?；贚yapunov函數(shù)法選取分級(jí)滑模控制律和控制增益自適應(yīng)律，并采用邊界層法削弱分級(jí)滑模控制器的抖振。應(yīng)用Barbalat引理證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制方法的可行性和有效性。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)帶有不確定性的球形機(jī)器人系統(tǒng)的定位控制。
關(guān)鍵詞：三驅(qū)動(dòng)；球形機(jī)器人；定位控制；自適應(yīng)分級(jí)滑模控制
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2018）05-0097-06
0引言
球形機(jī)器人是一種利用球形外殼滾動(dòng)來實(shí)現(xiàn)自身運(yùn)動(dòng)的新型移動(dòng)機(jī)器人，具有運(yùn)動(dòng)全向性和轉(zhuǎn)向靈活等優(yōu)點(diǎn)。球形機(jī)器人將機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制電路都封裝在球殼內(nèi)部，全封閉的外殼使其對(duì)復(fù)雜物理環(huán)境具有很強(qiáng)的適應(yīng)能力，可應(yīng)用于國(guó)防裝備、環(huán)境監(jiān)測(cè)和行星探測(cè)等諸多領(lǐng)域。目前，球形機(jī)器人研究中所存在的共同理論和技術(shù)難點(diǎn)是其運(yùn)動(dòng)控制問題。因此，深入探索球形機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制方法具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。
縱向運(yùn)動(dòng)是球形機(jī)器人的主要運(yùn)動(dòng)形式之一，縱向運(yùn)動(dòng)控制的有效性直接影響球形機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)性能。目前，球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的定位控制方法主要有：學(xué)習(xí)控制、PID控制、滑?？刂坪头答伨€性化控制。在實(shí)際的控制中，球形機(jī)器人不可避免地會(huì)受到參數(shù)不確定性等因素的影響：因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)必須對(duì)這些因素加以考慮。但遺憾的是，現(xiàn)有定位控制方法均未充分考慮這些不確定因素的影響，因此無法確保閉環(huán)控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。
球形機(jī)器人是一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，分級(jí)滑?？刂剖沁m用于此類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的有效方法。但對(duì)于不確定欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)而言，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須依據(jù)不確定性上界值來選取控制器的控制增益：然而不確定性上界值通常難以直接獲得，這就使得控制增益的選擇變得十分困難。
針對(duì)現(xiàn)有定位控制方法和分級(jí)滑?？刂品椒ù嬖诘闹T多不足，本文在分析一種三驅(qū)動(dòng)球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)特性的基礎(chǔ)上，提出一種基于自適應(yīng)分級(jí)滑模控制的定位控制方法。所提控制方法通過自適應(yīng)機(jī)制動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)控制器的控制增益，對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性。從理論上分析了系統(tǒng)各級(jí)滑動(dòng)面的漸近穩(wěn)定性，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。
1球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型
BYQ-XII型球形機(jī)器人主要由球殼、主梁、偏心質(zhì)塊和伺服電機(jī)等部分構(gòu)成，其機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示。球殼內(nèi)表面赤道處的軌道上設(shè)有環(huán)形齒條，轉(zhuǎn)向支座通過與齒條嚙合的轉(zhuǎn)向輪與軌道相連。軌道電機(jī)驅(qū)動(dòng)主梁和偏心質(zhì)塊相對(duì)球殼轉(zhuǎn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的轉(zhuǎn)向控制。主梁一端與轉(zhuǎn)向支座相連，另一端與導(dǎo)向支座相連。長(zhǎng)軸電機(jī)帶動(dòng)主梁相對(duì)球殼轉(zhuǎn)動(dòng)，使機(jī)器人重心向前或向后移動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行縱向運(yùn)動(dòng)。短軸電機(jī)驅(qū)動(dòng)偏心質(zhì)塊相對(duì)主梁轉(zhuǎn)動(dòng)，使機(jī)器人重心向左或向右偏移，從而控制機(jī)器人向左或向右轉(zhuǎn)向。由此可見，當(dāng)長(zhǎng)軸電機(jī)分別與短軸電機(jī)或軌道電機(jī)配合使用時(shí)，機(jī)器人系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)兩種不同的雙驅(qū)動(dòng)模式。在這兩種不同的驅(qū)動(dòng)模式下，該球形機(jī)器人均能在地面上全向滾動(dòng)。
為便于對(duì)該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，首先對(duì)該機(jī)器人做出如下4點(diǎn)假設(shè)：
假設(shè)1：將球殼視為均質(zhì)對(duì)稱的薄壁球殼，球殼的質(zhì)量為m1，球殼的半徑為l2。
假設(shè)2：主梁的質(zhì)心與球心重合，主梁的質(zhì)量為m2，主梁相對(duì)長(zhǎng)軸電機(jī)輸出軸軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1。
假設(shè)3：將偏心質(zhì)塊視為偏心質(zhì)點(diǎn)，偏心質(zhì)塊通過長(zhǎng)度為l2的無質(zhì)量擺桿與主梁鉸接于球心處，偏心質(zhì)塊的質(zhì)量為m3。
假設(shè)4：球形機(jī)器人在地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，球殼僅進(jìn)行無滑動(dòng)的純滾動(dòng)。
然后計(jì)算系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L=K-P，并應(yīng)用拉格朗日一歐拉方程來推導(dǎo)球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，其中K和P分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。
分別對(duì)球殼、主梁和偏心質(zhì)塊的動(dòng)能進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而可得系統(tǒng)的動(dòng)能為
選取地面作為系統(tǒng)的零勢(shì)能面，可得系統(tǒng)的勢(shì)能為
忽略機(jī)器人系統(tǒng)內(nèi)部的摩擦力，將拉格朗日函數(shù)L=K-P代入拉格朗日一歐拉方程，可得球形機(jī)器人縱向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為
2定位控制器設(shè)計(jì)
對(duì)于式（5）所示的球形機(jī)器人系統(tǒng)，將整個(gè)系統(tǒng)分解為球體子系統(tǒng)A和偏心質(zhì)塊子系統(tǒng)B：
在動(dòng)力學(xué)模型式（4）中令所有的速度和加速度為零，從而可知當(dāng)機(jī)器人站定在地面上時(shí)，系統(tǒng)的平衡擺角應(yīng)為零。由此分析結(jié)果可見，球形機(jī)器人定位控制的目標(biāo)包含了滾動(dòng)球殼的位置控制和偏心質(zhì)塊擺起角度的穩(wěn)定控制兩個(gè)子目標(biāo)。
對(duì)球體子系統(tǒng)A，設(shè)計(jì)第一級(jí)滑動(dòng)面s1為
由式（11）可得，第一級(jí)滑動(dòng)面s2的等效控制為
由于整個(gè)系統(tǒng)只有一個(gè)輸入變量，需要進(jìn)一步將2個(gè)第一級(jí)滑動(dòng)面聯(lián)系起來。為此，定義系統(tǒng)的第二級(jí)滑動(dòng)面為
與文獻(xiàn)相比，本文方法在邊界層內(nèi)外采用了相同的控制增益調(diào)節(jié)機(jī)制，因而避免了系統(tǒng)狀態(tài)穿越邊界層時(shí)由于控制增益切換而引起的控制輸入突變的問題。23穩(wěn)定性證明
定理1：對(duì)于式（5）所示的機(jī)器人系統(tǒng)，分別按式（8）、式（9）和式（14）構(gòu)造系統(tǒng)的各級(jí)滑動(dòng)面，如果采用式（21）所示的分級(jí)滑模控制律和式（19）所示的控制增益自適應(yīng)律，那么系統(tǒng)的第二級(jí)滑動(dòng)面S是漸近穩(wěn)定的。
定理2：對(duì)于式（5）所示的機(jī)器人系統(tǒng)，分別按式（8）、式（9）和式（14）構(gòu)造系統(tǒng)的各級(jí)滑動(dòng)面，如果采用式（21）所示的分級(jí)滑?？刂坡珊褪剑?9）所示的控制增益自適應(yīng)律，那么系統(tǒng)的第一級(jí)滑動(dòng)面s。和s2是漸近穩(wěn)定的。
4仿真研究
4.1機(jī)器人參數(shù)
為驗(yàn)證本文提出的定位控制方法的有效性，利用Matlab/Simtdink仿真環(huán)境進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)分兩個(gè)部分來進(jìn)行，分別用于驗(yàn)證本文提出的控制方法的控制性能和對(duì)于系統(tǒng)不確定性的魯棒性。BYQ-XII型球形機(jī)器人各物理參數(shù)的標(biāo)稱值分別為
4.2控制性能驗(yàn)證
本文方法的仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。圖3為球心位置和偏心質(zhì)塊擺起角度的變化曲線。由圖可以看出，在本文控制器作用下，機(jī)器人在約7.7 s就能無超調(diào)地運(yùn)動(dòng)至指定位置，機(jī)器人的縱向滾動(dòng)具有明顯的加速過程和減速過程。在加速過程的第1個(gè)階段，偏心質(zhì)塊首先由豎直方向擺至正向最大擺角位置，這一階段機(jī)器人的加速度逐漸增大。在加速過程的第2個(gè)階段，偏心質(zhì)塊由正向最大擺角位置擺回至豎直方向，這一階段機(jī)器人的加速度逐漸減小至0。機(jī)器人的減速過程也包括兩個(gè)階段，偏心質(zhì)塊首先由豎直方向擺至反向最大擺角位置，然后再由反向最大擺角位置擺回至豎直方向。機(jī)器人系統(tǒng)最終實(shí)現(xiàn)偏心質(zhì)塊擺起角度穩(wěn)定控制的時(shí)間約為8.1 s，機(jī)器人滾動(dòng)過程中偏心質(zhì)塊的最大擺起幅度約為26.6°。圖4為系統(tǒng)各級(jí)滑動(dòng)面的變化曲線，可以看出各級(jí)滑動(dòng)面均能快速地收斂至零。圖5為控制器輸出的變化曲線，可以看出控制信號(hào)較為平滑且無抖振。
文獻(xiàn)方法的仿真結(jié)果如圖6所示，由圖可以看出在文獻(xiàn)控制器作用下，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)至給定位置的時(shí)間約為8.2 s，實(shí)現(xiàn)偏心質(zhì)塊擺起角度穩(wěn)定控制的時(shí)間約為8.5 s，機(jī)器人滾動(dòng)過程中偏心質(zhì)塊的最大擺起幅度約為28.1°。對(duì)比本文方法和文獻(xiàn)方法可知，本文方法較為有效地減小了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和偏心質(zhì)塊擺起角度的超調(diào)量。
4.3魯棒性驗(yàn)證
為測(cè)試本文方法對(duì)于系統(tǒng)不確定性的魯棒性，假設(shè)系統(tǒng)模型帶有15%的參數(shù)不確定性。魯棒性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，選取系統(tǒng)模型各參數(shù)值為4.1中機(jī)器人各參數(shù)標(biāo)稱值的1.15倍。需要說明的是，本文所提方法仍然采用標(biāo)稱模型來選取控制律。同時(shí)為便于分析，將控制性能驗(yàn)證結(jié)果與魯棒性驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。
圖7為本文方法的魯棒性驗(yàn)證結(jié)果。由圖可以看出，被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能在一定程度上受到了系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性的影響，球心位置上產(chǎn)生了很小幅度的超調(diào)，同時(shí)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間也稍有增加。盡管如此，在本文所提控制器作用下，機(jī)器人系統(tǒng)仍然能夠被鎮(zhèn)定至期望的平衡點(diǎn)，球心位置和偏心質(zhì)塊擺起角度均能夠收斂至各自的目標(biāo)值。由魯棒性驗(yàn)證結(jié)果可見，本文方法對(duì)于系統(tǒng)不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性。
5結(jié)束語
本文研究了一種三驅(qū)動(dòng)球形移動(dòng)機(jī)器人的定位控制問題，提出了一種自適應(yīng)分級(jí)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法。所設(shè)計(jì)的控制律中包含了由自適應(yīng)律調(diào)節(jié)的變控制增益，可使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)入滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)。該控制方法無需已知機(jī)器人系統(tǒng)不確定性的上界值，較好地解決了傳統(tǒng)方法中控制增益選取困難的問題，并可有效地實(shí)現(xiàn)帶有系統(tǒng)不確定性的球形機(jī)器人的定位控制。通過與現(xiàn)有控制方法的對(duì)比驗(yàn)證了本文所提方法的控制性能，并采用帶有15%參數(shù)不確定性的機(jī)器人模型驗(yàn)證了本文所提方法的魯棒性。在后續(xù)研究中，將進(jìn)一步考慮在球殼與偏心質(zhì)塊間存在阻尼情況下的球形機(jī)器人定位控制問題。
（編輯：莫婕）
