段利英 安子軍 付志強

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

2.天津科技大學包裝與印刷工程學院，天津，300222

0 引言

實時無隙鋼球精密傳動系統(tǒng)中，組合行星盤中的彈性體可以實時調(diào)節(jié)鋼球與擺線槽間的間隙，使精密機構(gòu)具有實時無隙傳動、精度高等特點，廣泛應用于航空遙感相機位移補償傳動機構(gòu)［1］及機器人伺服傳動機構(gòu)。

鋼球精密傳動裝置通過組合行星盤中的彈性體調(diào)節(jié)構(gòu)件軸向位置、消除嚙合副的間隙來提高傳動精度。新傳動裝置嚙合處增加了實時變化的軸向位移和軸向力，嚙合過程中產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形和熱變形導致嚙合點并不在一個平面上。由于以上特點和多齒嚙合的不對稱性，活動鋼球相對于中心盤和組合行星盤的運動是復雜的空間嚙合運動，同時也是精密傳動研究關(guān)鍵部分。將擺線鋼球嚙合副投影到端平面上不能詳細描述精密鋼球傳動的空間嚙合副。為了更詳盡地描述嚙合情況，需要建立空間速度矢模型。

HIDETSUGA［2］將鋼球精密傳動應用于機器人關(guān)節(jié)，并給出了減速器理論效率的計算方法，開發(fā)了三種無側(cè)隙減速器并用矢量分析法描述了運動原理。AN等［3］利用超靜變形協(xié)調(diào)條件推導出了擺線槽嚙合副和環(huán)嚙合副的最大作用力公式。宜亞麗等［4］利用弧長差分析了嚙合副的滑動特性。張鵬等［5-6］建立了嚙合副的非線性力學模型和擺線鋼球行星傳動系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型。楊榮剛等［7］建立了純扭轉(zhuǎn)強非線性動力學模型。孫鵬飛等［8］計算了鋼球與齒面接觸域的瞬時生熱率和瞬時摩擦溫升。以上研究都是建立在將鋼球運動簡化，將嚙合副投影到平面上的基礎(chǔ)上的。但以上方法不能精確描述實時無隙鋼球精密傳動系統(tǒng)的空間嚙合情況。

甘屹等［9］利用D-H坐標系建立了6R型機器人工作空間的三維仿真模型。CONTE等［10］利用D-H法建立了一種激光跟蹤儀的運動學模型。LI等［11］利用D-H方法表示了一個由幾個鏈接組成的機構(gòu)中最后一個關(guān)節(jié)相對于第一個關(guān)節(jié)的位置和方向。

本文利用修正D-H矩陣求解了鋼球上任意一點相對于中心盤和組合行星盤的位置。根據(jù)空間幾何建模法和傳動特性，建立了鋼球與中心盤和組合行星盤相對滑動速度矢模型，并分析了槽形角和鋼球數(shù)對速度矢模型的影響。通過與仿真結(jié)果對比分析，驗證了空間速度矢模型的可靠性。

1 傳動機構(gòu)

圖1為實時無隙鋼球精密傳動機構(gòu)的裝配分解圖。減速機構(gòu)中，中心盤2的左端面上加工有齒數(shù)為Z1的外擺線槽，組合行星盤4的右端面上加工有齒數(shù)為Z2的內(nèi)擺線槽。在內(nèi)外擺線槽的交錯區(qū)域內(nèi)等距裝有鋼球3，鋼球3總數(shù)為Zb=(Z1+Z2)/2。其傳動原理在文獻［12］中有詳細的描述。

圖1 實時無隙鋼球精密傳動機構(gòu)的裝配分解圖Fig.1 Explode figure of assembly body of non-clearance ball precision transmission

2 D-H坐標變換矩陣

圖2是傳動機構(gòu)減速部分空間運動坐標系。S1{O1x1y1z1}為空間固定坐標系，將S1{O1x1y1z1}沿 y1軸平移 e，沿 z1軸反向平移 e1，得到動坐標系S3{O3x3y3z3}，其中e為偏心距的1/2，e1為中心盤與組合行星盤的軸向間距的1/2。O1O3視為連桿1，其長度用lO1O3表示。將S3沿 y3軸平移 e，沿著 z3軸反向平移 e1，得到動坐標系S2{O2x2y2z2}，O3O2視為連桿2，其長度用lO3O2表示。

圖2 機構(gòu)減速部分空間坐標系Fig.2 Space coordination system of deceleration part

將S3沿鋼球分布圓半徑平移至第i個鋼球的球心Ob，得到動坐標系，O3Ob視為連桿3，其長度用表示。將坐標系繞軸順時針旋轉(zhuǎn)角度 β得到坐標系坐標系?到Sb長度視為連桿4，得到D-H參數(shù)如表1所示。

表1 D-H參數(shù)表Tab.1 D-H parameter table

表1中，φ1為S3繞 z1軸旋轉(zhuǎn)的角度，為S2繞 z1軸旋轉(zhuǎn)的角度，φ3為Sb繞 z3軸旋轉(zhuǎn)的角度。坐標系Sb到空間動坐標系S2的變換矩陣為

其中，cβ表示 cosβ，sβ表示 sin β，余類似。

3 相對速度矢模型

3.1 鋼球與中心盤的相對速度矢模型

鋼球與中心盤之間相對運動，其運動關(guān)系如圖3所示。S1為空間固定坐標系，坐標系S3繞中心盤軸線z1軸做行星運動，角速度為ω1。與動坐標系S3固連的鋼球除繞zb軸自轉(zhuǎn)外，還繞z3軸公轉(zhuǎn)，角速度分別為ωb、ω3。采用反轉(zhuǎn)法確定鋼球與中心盤的相對運動，即對圖3所示機構(gòu)加-ω1，使其繞 z1軸回轉(zhuǎn)。這時，中心盤繞 z1軸自轉(zhuǎn)，角速度為-ω1。坐標系S3視為不動，鋼球繞zb軸自轉(zhuǎn)，又繞z3軸做行星運動。鋼球上任意一點 B(x，y，z)相對中心盤的速度矢量為［13］

圖3 鋼球相對中心盤的運動關(guān)系Fig.3 Moving relationship between ball and the center disc

3.2 鋼球與行星盤的相對速度矢模型

組合行星盤在偏心軸的帶動下，繞中心盤z1軸線旋轉(zhuǎn)，角速度為。同時組合行星盤還以角速度繞z2軸自轉(zhuǎn)。鋼球繞zb軸自轉(zhuǎn)的同時，還繞 z3軸公轉(zhuǎn)，角速度分別為ωb、ω3。鋼球分布圓所在坐標系S3繞行星盤的軸線z2軸以角速度ω2旋轉(zhuǎn)，如圖4所示。同理，用反轉(zhuǎn)法確定鋼球相對于組合行星盤的運動。對整個機構(gòu)加，使其繞 z1軸旋轉(zhuǎn)，這時組合行星盤以繞 z2軸自轉(zhuǎn)，鋼球以ωb繞 zb軸自轉(zhuǎn)，以ω3繞 z3軸公轉(zhuǎn)。鋼球分布圓所在坐標系S3以ω2繞z2軸旋轉(zhuǎn)，同時又以繞z1軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 鋼球相對行星盤的運動關(guān)系Fig.4 Moving relationship between ball and the combination planet disc

同理可以求出鋼球上任意一點 B(x，y，z)相對于行星盤的速度矢量：

4 數(shù)值模擬及參數(shù)分析

4.1 鋼球與擺線槽相對速度數(shù)值模擬

鋼球在擺線槽內(nèi)滾滑，同時與中心盤和組合行星盤接觸。

圖5為嚙合副沿公法線剖開圖，鋼球與中心盤以及組合行星盤內(nèi)外兩側(cè)接觸點分別為

圖5 嚙合副剖面圖Fig.5 Cross section of meshing pair

在坐標系Sb下，鋼球與擺線槽的嚙合點分別為 A?(0，0，rb)、B(rb，0，0)、B?(-rb，0，0)、A(0，0，-rb)。根據(jù)坐標變換矩陣（式（1）），在坐標系S2下

同理，可得

取分布圓半徑r0=2 mm，短幅系數(shù)K=0.42，直母線銑刀槽形角 β=45°，鋼球半徑rb=1.5 mm，內(nèi)擺線槽齒數(shù)Z2=12，鋼球數(shù)Zb=11，外擺線槽齒數(shù) Z1=10。偏心輸入軸角速度根據(jù)第二類橢圓積分E以及式（2）和式（3），可以得到鋼球相對于中心盤在嚙合點B?、A?點的轉(zhuǎn)動速度如圖6所示，鋼球相對于行星盤在嚙合點B、A的相對速度如圖7所示。

圖6 鋼球與中心盤相對速度矢vb1變化曲線Fig.6 Curve of relative velocityvb1between ball and the center plate

圖7 鋼球與組合行星盤相對速度矢vb2變化曲線Fig.7 Curve of relative velocityvb2between ball and the combined planet plate

由圖6、圖7可以看出，在嚙合過程中，相對速度矢隨時間呈周期性變化，鋼球相對于內(nèi)外擺線槽都不是純滾動，只在有限點處相對速度為零。圖6中，鋼球與中心盤的相對速度矢vb1變化曲線在x、y方向上有兩個波峰，分別出現(xiàn)在齒頂與齒根處。x方向的波峰滯后于y方向的波峰。在半齒高處出現(xiàn)兩個小波峰，其值為齒頂處波峰值一半。在z方向上有兩個波峰，一個波谷，其中兩個波峰出現(xiàn)在半齒高處，為正值，波谷出現(xiàn)在齒頂處，為負值。圖7中，鋼球與行星盤的相對滑動速度矢vb2在x、y方向上較大，曲線有兩個波峰分別出現(xiàn)在半齒高附近。 y方向上波峰較x方向上波峰出現(xiàn)得早。在z方向上，鋼球與行星盤相對滑動速度較小，曲線有三個峰值，在齒根附近滑動速度絕對值最大，且為負值。 x、y方向上波峰值為 z方向上波峰值的7.7倍與7.9倍。由于槽形角 β=45°，vb1與 vb2在點 A?、B?和點 A、B 處差別不大。

4.2 槽形角對速度矢的影響

圖8 槽形角在B?點處對vb1的影響Fig.8 Influence of the groove angle on the relative velocityvb1at the pointB?

由圖6、圖7可知，鋼球與中心盤和組合行星盤內(nèi)外兩側(cè)的速度相差較小，所以以下只考慮擺線盤內(nèi)側(cè)情況。圖8給出了槽形角分別為27°、36°、45°、54°、63°時，在 x、y 、z方向上鋼球與中心盤的相對速度vb1。由于對稱性，只討論半個齒內(nèi)的相對速度。在外擺線內(nèi)側(cè)，即B?點處，x、y方向上隨著槽形角的增大，vb1變化減小。相差最大點發(fā)生在半齒高處以及齒頂附近，B?點處的差值分別為12.835 0 mm/s與13.035 2 mm/s，這是由于此處曲率變化最大。當 β=27°時，相對速度變化最大。z方向上隨著槽形角的增大，相對速度變化增大。相差最大點發(fā)生在半齒高處，B?點處的差值為7.906 7 mm/s。

圖 9給出了槽形角分別為 27°、36°、45°、54°、63°時，在x、y、z方向上鋼球與組合行星盤的相對速度vb2。由于對稱性，只討論在x、y方向半個齒以及z方向一個齒的相對速度。在內(nèi)擺線內(nèi)側(cè)，即 A點處，在三個方向上，隨著槽形角的增大，vb2變化增大。在x方向上，相差最大的點在齒頂處，為13.226 0 mm/s。在 y方向上，vb2相差最大的點在1/3齒高處，差值為16.039 7 mm/s。在z方向上，后半齒廓比前半齒廓變化較大，vb2相差最大的點在過齒頂1/3齒高處，差值為11.800 2 mm/s。當 β =63°時，vb2最大。

圖9 槽形角在A點處對vb2的影響Fig.9 Influence of the groove angle on the relative velocityvb2at the pointA

4.3 鋼球數(shù)對相對速度的影響

圖10、圖11分別給出了鋼球數(shù)分別為10、15、20、25、30時，在 x、y、z方向上鋼球與中心盤和組合行星盤的相對速度vb1和。由于運動周期不同，只討論鋼球數(shù)為30的一個周期內(nèi)的相對速度。在x、y、z方向上，鋼球滾過內(nèi)外擺線槽一個齒所用的時間隨著鋼球數(shù)的增大而增多，分別為0.923 1 s、2.100 0 s、3.755 4 s、6.000 0 s、8.400 0 s和 0.466 7 s、1.100 0 s、1.900 0 s、3.328 3 s、4.200 0 s。鋼球數(shù)對vb1的最大值與最小值影響不大，vb2的最大值隨鋼球數(shù)的增大而增大，最小值隨鋼球數(shù)的增大而減小。

圖10 鋼球數(shù)在B?點處對vb1的影響Fig.10 Influence of the number of ball on the relative velocityvb1at the pointB?

5 仿真驗證

圖11 鋼球數(shù)在A點處對vb2的影響Fig.11 Influence of the number of ball on the relative velocityvb2at the pointA

根據(jù)圖1所示的幾何模型和上節(jié)數(shù)值模擬的幾何參數(shù)，在ADAMS中建立減速部分幾何模型，設(shè)置如下約束：①減速機構(gòu)部件中，偏心輸入軸、中心盤、組合行星盤、減速鋼球系以及輸出裝置均采用鋼材材質(zhì)；②偏心輸入軸與組合行星盤和中心盤，輸出盤與機殼的約束均定義為旋轉(zhuǎn)約束，中心盤與機殼為固定約束；③中心盤、組合行星盤與鋼球之間定義接觸力：剛度系數(shù)取值為1×105N/m，非線性系數(shù)取值為2.2，黏滯阻尼系數(shù)為10 N·s/m，最大阻尼切入深度取值為0.1 mm；④仿真時間取5 s，步長為 0.001 s。

圖12為實時無隙鋼球精密傳動減速部分ADAMS仿真圖。為了驗證本文模型的正確性，將鋼球與中心盤和組合行星盤的相對速度矢數(shù)值模擬結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果進行對比。圖13為vb1、vb2的數(shù)值解與仿真解對比圖。由圖13a可知，x、y方向上，vb1的數(shù)值解與仿真解誤差最大值分別為11.542 9 mm/s和10.504 1 mm/s，相對誤差最大值分別為5.54%、4.51%。這是由于半齒高處有曲率半徑奇異點，鋼球轉(zhuǎn)動時容易打滑。z方向上，誤差值最大的點發(fā)生在齒頂。

圖12 ADAMS仿真模型圖Fig.12 Graph of ADAMS model

圖13 鋼球相對擺線盤速度對比圖Fig.13 Comparison graph of velocity of steel ball relative to cycloid plates

由圖13b可知，x、y方向上，vb2的數(shù)值解與仿真解誤差最大值分別為4.213 3 mm/s和6.347 0 mm/s，相對誤差最大值分別為5.54%和4.51%。 z方向上誤差最大值為1.769 3 mm/s。最大誤差發(fā)生在齒頂附近，這是由于鋼球在齒頂處發(fā)生自旋。

本文推導了實時無隙鋼球精密傳動的空間速度矢模型，分析了機構(gòu)參數(shù)對速度矢模型的影響，并將模型的數(shù)值解與ADAMS仿真解進行了對比分析。結(jié)果顯示，兩者有很好的一致性，驗證了空間速度矢模型的正確性，為提高減速機構(gòu)的精度提供了可靠的理論基礎(chǔ)。

6 結(jié)論

（1）鋼球與中心盤的相對速度矢vb1曲線在x、y方向上波峰出現(xiàn)在齒頂與齒根處，在z方向上兩個波峰出現(xiàn)在半齒高處，波谷出現(xiàn)在齒頂處。鋼球與組合行星盤相對速度矢vb2曲線在x、y方向上較大，曲線波峰分別出現(xiàn)半齒高附近，在z方向上波峰在齒根附近。x、y方向上波峰值為z方向上波峰值的7.7倍與7.9倍。

（2）在 x、y方向上，隨槽形角增大，vb1變化幅值減小，在z方向上，變化幅值增大。在x、y、z方向上，vb2變化幅值隨槽形角的增大而增大。鋼球數(shù)對vb1影響不大，vb2的最大值隨鋼球數(shù)增大而增大，最小值隨鋼球數(shù)增大而減少。

（3）x、y方向上，vb1的數(shù)值解與仿真解相對誤差最大值分別為5.54%和4.51%。vb2的數(shù)值解與仿真解相對誤差最大值分別為2.89%和3.84%。

參考文獻：

［1］ 王國彪，賴一楠，范大鵬，等.新型精密傳動機構(gòu)設(shè)計與制造綜述［J］.中國機械工程，2010，21（16）：1891-1897.

WANG Guobiao，LAI Yinan，F(xiàn)AN Dapeng，et al.Sum?mary of New Type Precision Transmission Design and Manufacture［J］.China Mechanical Engineering，2010，21（16）：1891-1897.

［2］ HIDETSUGU T.The Development of Gearless Reduc?ers with Rolling Balls［J］.Journal of Mechanical Sci?ence and Technology，2010，24：189-195.

［3］ AN Zijun，YI Yali.Force Analysis and Stress Calcula?tion of Non-clearance Cycloid Ball Transmission［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Me?chatronics and Automation. Takamatsu， 2008：1089-1093.

［4］ 宜亞麗，安子軍，王海俠.無隙鋼球精密傳動嚙合副滑動特性研究［J］.中國機械工程，2014，25（23）：3206-3211.

YI Yali，AN Zijun，WANG Haixia.Research on Slid?ing Property of No-backlash Ball Precision Transmis?sion Meshing Pair［J］.China Mechanical Engineering，2014，25（23）：3206-3211.

［5］ 張鵬，安子軍，楊作梅.擺線鋼球行星傳動嚙合副非線性力學性能研究［J］.工程力學，2010，27（3）：186-192.

ZHANG Peng，AN Zijun，YANG Zuomei.Research on Nonlinear Mechanical Properties for Engagement Pair of Cycloid Ball Planetary Transmission［J］.Engineer?ing Mechanics，2010，27（3）：186-192.

［6］ 張鵬，安子軍.擺線鋼球行星傳動動力學建模與固有特性分析［J］.中國機械工程，2014，25（2）：157-162.

ZHANG Peng，AN Zijun.Dynamics Model and Natural Characteristics of Cycloid Ball Planetary Transmission［J］.China Mechanical Engineering，2014，25（2）：157-162.

［7］ 楊榮剛，安子軍.基于諧波平衡法的擺線鋼球行星傳動等速輸出機構(gòu)非線性動態(tài)特性研究［J］.振動與沖擊，2017，36（2）：153-158.

YANG Ronggang，AN Zijun.Nonlinear Dynamic Char?acteristics of the Equal Speed Output Mechanism of Cycloid Ball Planetary Transmission Based on Harmon?ic Balance Method［J］.Journal of Vibration and Shock，2017，36（2）：153-158.

［8］ 孫鵬飛，安子軍，劉向輝.精密鋼球傳動減速機構(gòu)的瞬時接觸熱特性分析［J］.中國機械工程，2017，28（9）：1009-1015.

SUN Pengfei，AN Zijun，LIU Xianghui.Analysis on In?stantaneous Contact Thermal Characteristics of Reduc?ing Mechanisms for Precision Ball Transmissions［J］.China MechanicalEngineering，2017，28 （9） ：1009-1015.

［9］ 甘屹，王均壘，孫福佳.基于給定工作空間的6R型機器人D-H參數(shù)優(yōu)化設(shè)計［J］.中國機械工程，2014，25（22）：3003-3007.

GAN Yi，WANG Junlei，SUN Fujia.Optimal Design of D-H Parameters of a 6R Robot for a Prescribed Workspace［J］.China Mechanical Engineering，2014，25（22）：3003-3007.

［10］ CONTE J，SANTOLARIA J，MAJARENA A C，et al.Laser Tracker Kinematic Error Model Formulation and Subsequent Verification under Real Working Conditions［J］.Procedia Engineering，2015，132：788-795.

［11］ LI Z，SCHICHO J.A Technique for Deriving Equa?tional Conditions on the Denavit-Hartenberg Parame?ters of 6R Linkages that Are Necessary for Movability［J］.Mechanism&Machine Theory，2015，94：1-8.

［12］ DUAN Liying，AN Zijun，YANG Ronggang，et al.Mechanical Model of Coupling Rolling and Sliding Friction in Real-time Non-clearance Precision Ball Transmission［J］.Tribology International，2016，103：218-227.

［13］ 吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1982：145-163.WU Xutang.The Principle of Gear Engagement［M］.Beijing：Mechanical Industry Press，1982：145-163.

（編輯 王艷麗）

作者簡介：段利英，女，1982年生，博士研究生。主要研究方向為現(xiàn)代機械傳動理論及應用。發(fā)表論文7篇。E-mail：duanly05@sina.com。安子軍（通信作者），男，1960年生，教授、博士研究生導師。主要研究方向為現(xiàn)代機械傳動理論與控制。發(fā)表論文120余篇。E-mail：zjan@ysu.edu.cn。