韓 江 高 婷 李大柱 夏 鏈

合肥工業(yè)大學機械工程學院，合肥，230009

0 引言

非圓齒輪在儀器儀表、航空航天、紡織機械、農業(yè)機械等領域有廣泛應用［1］，其加工精度決定了機構傳動的平穩(wěn)準確性以及設備的使用壽命。常用的非圓齒輪加工方法有滾齒、插齒等。滾齒加工是一種高效的加工方法，但僅適用于節(jié)曲線全凸的非圓外齒輪，較易產生根切。與滾齒加工相比，插齒加工適用于節(jié)曲線有內凹的非圓外齒輪以及非圓內齒輪加工，加工效率高，是一種更通用的非圓齒輪加工方法。隨著科學技術與制造水平的發(fā)展，提高齒輪精度已成為保障機械產品工作精度和延長使用壽命的重要手段［2］，因此，提高非圓齒輪的加工制造精度，對非圓齒輪的應用與發(fā)展具有重要意義。

近年來，人們對非圓齒輪的插削加工技術展開了深入的研究。ZHENG等［3］推導了非圓齒輪插齒加工的數學模型；李波等［4］建立了基于三軸聯動機床的插齒加工數學模型，為非圓齒輪的加工實現提供了理論依據；LIU等［5］研究了非圓齒輪插削加工原理并進行了加工試驗，遴選出了最優(yōu)聯動模型；李建剛等［6］在三軸插齒機上改裝成形磨頭，提出按非圓齒輪插削聯動模型控制成形砂輪進行加工的策略。上述研究成果為非圓齒輪加工工藝的研究提供了理論支撐，具有較強的工程意義。

與常規(guī)圓柱齒輪加工工藝不同，非圓齒輪插削工藝中，由于齒坯節(jié)曲線曲率的不斷變化，分次進刀加工時齒坯與刀具實際參與加工的節(jié)曲線（節(jié)圓）也隨之變化，不等于精切時的節(jié)曲線（節(jié)圓）［7］，從而產生了非圓齒輪左右齒面加工余量分布不均的問題。實際加工中，齒坯左右齒面的切削余量不均勻會導致刀具受力不均、甚至產生切削振動，對機床壽命和工件齒面加工質量造成嚴重影響［8］；若一側齒面加工余量過小或沒有加工余量，還會造成工件因無法有效進行后續(xù)的精加工（精切、磨齒、刮齒等）而報廢［9］，因此，在非圓齒輪加工中實現齒面加工余量的均勻分布，對提高非圓齒輪的加工精度與表面質量具有重要意義。

本文針對非圓齒輪插齒加工中存在的齒面加工余量分布不均問題，提出一種齒面加工余量勻化工藝方法。在分析齒面加工余量分布不均成因的基礎上，建立勻化工藝插削聯動模型，通過實時調整非圓齒輪展成加工時插刀與齒坯的幾何位置關系，實現齒面加工余量的勻化；對所提勻化工藝進行仿真加工檢驗，并對仿真所得齒輪模型進行齒面加工余量不均勻度分析，驗證所提勻化工藝的正確性與可行性；將所提勻化工藝集成到插齒數控系統(tǒng)中，進行非圓齒輪加工試驗與分析，驗證所提勻化工藝的有效性；對加工試驗所得齒輪進行齒面三維形貌檢測，分析所提勻化工藝對齒面加工質量的影響。

1 非圓齒輪齒面加工余量分布不均成因分析

1.1 非圓齒輪插削加工過程分析

非圓齒輪插削加工通常先通過分次進刀對齒輪進行粗切加工，再在最后一次進刀中通過增大切削速度、減小進給量來進行半精切（留有加工余量以便進行后續(xù)磨齒、刮齒等精加工）或精切（無加工余量）加工。建立坐標系{S}(OcXY)，Oc為齒坯回轉中心，齒坯轉速為ωc，Ob為插刀回轉中心，插刀轉速為ωb，插刀沿ObOc速度為vX［9］，如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)非圓齒輪插削加工中插刀與齒坯的展成關系Fig.1 Generation relationship between shaper cutter and gear blank in traditional non-circular gear shaping

精切加工中，設起始點為 A，加工中任一時刻插刀節(jié)圓與齒坯節(jié)曲線相切于P。P點處齒坯節(jié)曲線極徑r與ObOc的夾角為α，插刀節(jié)圓半徑rc與ObOc的夾角為 β。設r=r(φ)，則

式中，μ為極切角，是P點齒坯極徑與其節(jié)曲線切線正方向的夾角。

圖1中，插刀節(jié)圓和齒坯節(jié)曲線純滾動，P為二者的相對速度瞬心，P相對于Ob的速度為vPb，相對于Oc的速度為vPc。為滿足純滾動關系，二者在P點切線方向上的相對速度為零，得到速度矢量三角形，其Y軸方向速度關系為

其X軸方向速度關系為

由圖1所示的幾何關系知rcsin β=rsin α，則

根據式（2）、式（4）得 vX、ωb與 ωc的關系為

圖1所示的粗切加工中，插刀與齒坯回轉中心的距離相較于精切時在中心連線方向上增大Δd，設此時插刀回轉中心為，插刀與齒坯相對速度瞬心為?，則點齒坯節(jié)曲線極徑?與的夾角為?，插刀節(jié)圓半徑?與的夾角為 β?。由圖1速度矢量三角形，得 X軸方向速度關系為

由圖 1 所示的幾何關系知則

由式（4）、式（7）可得：

由式（8）可知，P點與P?點到 X軸的距離相等，P?點在X軸方向上位于P點的正上方。

1.2 非圓齒輪齒面加工余量分布不均的成因

插刀與齒坯的粗切相對速度瞬心P?位于精切相對速度瞬心P的正上方，即粗切加工的徑向進給運動偏離了齒坯節(jié)曲線的法線方向，造成實際參與加工的齒坯節(jié)曲線與插刀節(jié)圓發(fā)生變化，每次進刀后均會產生輪齒齒面加工余量分布不均的問題，如圖2所示。

圖2 齒面加工余量分布不均Fig.2 Non-uniform tooth surface machining allowance

除了齒面加工余量不均，粗切加工后還可能出現某側齒面加工余量極少外或沒有加工余量的情況，如圖3所示。

圖3 齒面加工余量過少或無加工余量Fig.3 Small tooth surface allowance or none tooth surface allowance

2 非圓齒輪齒面加工余量勻化工藝

2.1 非圓齒輪齒面加工余量勻化工藝的原理

按照展成原理加工出的非圓齒輪，其輪齒在齒高方向上沿節(jié)曲線法向分布，故粗切加工時，通過改變傳統(tǒng)插削加工中插刀與齒坯的展成運動關系，使插刀的每個粗切位置與相應的精切位置在齒坯節(jié)曲線的法線方向上一一對應，即插刀粗切位置相當于精切位置沿齒坯節(jié)曲線法線向外偏移了Δd，以保證徑向進給運動始終在節(jié)曲線法向上進行切削，從而實現齒面加工余量的勻化，原理如圖4所示。

圖4 非圓齒輪齒面加工余量勻化工藝原理圖Fig.4 Schematic of tooth surface machining allowance uniform distribution processing technology of non-circular gear

2.2 建立非圓齒輪勻化工藝插削聯動模型

根據前述法向對應關系建立非圓齒輪勻化工藝插削聯動模型，建立坐標系{S}(OcXY)，Oc為齒坯回轉中心，Ob為插刀回轉中心，如圖5所示。

圖5 非圓齒輪勻化工藝插削聯動模型Fig.5 Linkage model of uniform distribution processing technology of non-circular gear shaping

圖5中，精切加工時，設起始點為 A，加工中任一時刻插刀節(jié)圓與齒坯節(jié)曲線相切于點B。B點齒坯節(jié)曲線極徑r與ObOc的夾角為α，插刀節(jié)圓半徑rc與ObOc的夾角為 β，齒坯對應的極角為φ，齒坯繞回轉中心Oc的轉角為ψc，插刀繞回轉中心Ob的轉角為ψb。

粗切加工時，插刀與齒坯回轉中心的距離相較于精切時在齒坯節(jié)曲線法線方向上增大Δd，設此時插刀回轉中心為，插刀節(jié)圓與齒坯節(jié)曲線的切點為 B?，則 B?點處齒坯節(jié)曲線極徑與的夾角為，插刀節(jié)圓半徑?與的夾角為，插刀繞回轉中心的轉角為齒坯繞回轉中心 Oc的轉角為，點與Oc間的距離為。

由圖5所示的幾何關系，得

式中，SAB為齒坯節(jié)曲線上A點到B點的弧長。

將式（1）、式（10）、式（12）代入式（9），再將式（12）代入式（11），得非圓齒輪勻化工藝插削聯動模型為

式中的有正負，其正負情況由極切角 μ決定。

3 齒面加工余量勻化工藝的仿真分析

3.1 仿真加工運動數據的生成

將式（14）代入式（13），得齒坯轉角?為

采用齒坯恒速方案，已知粗切加工中齒坯在某一時刻轉角為，通過Steffensen迭代求解式（15）可得到對應的齒坯節(jié)曲線極角φ。設齒坯和插刀各自運動N步完成一次粗切加工，則齒坯每步 轉 動，運 動 i步 的 轉 角?，i=1，2，…，N+1，代入式（13）、式（15）可得到插刀的轉角以及插刀與齒坯回轉中心的距離l?(i)，則插刀每步的轉動量和移動量 Δl?(j)為

3.2 齒面加工余量勻化工藝的仿真驗證

以三階橢圓齒輪為例進行仿真驗證，齒輪節(jié)曲線極坐標方程為

其中，a為半長軸；k為偏心率。齒輪與插刀的基本參數如表1所示。

表1 三階橢圓齒輪及插刀參數Tab.1 Parameters of third-order elliptical gear and shaper cutter

以SolidWorks為軟件平臺，利用VBA編寫程序調用API函數，開發(fā)非圓齒輪插齒CAM系統(tǒng)進行仿真驗證，流程如下：分別對刀具和齒坯進行三維實體建模，控制二者按加工數據逐步運動，每步運動完成后進行實體布爾運算［10-11］，工件整轉一周后，刀具包絡出全部齒廓。輸入齒輪與插刀參數，設置加工余量Δd=0，得到非圓齒輪精切模型，如圖6所示。

圖6 插齒仿真加工得到三階橢圓齒輪精切模型Fig.6 Third-order elliptical gear model of finish shaping obtained by simulation

設置加工余量Δd=2mm，分別按照傳統(tǒng)插削聯動模型與勻化工藝插削聯動模型進行仿真加工，得到三階橢圓齒輪粗切模型，如圖7所示。

圖7 三階橢圓齒輪粗切模型Fig.7 Third-order elliptical gear models of rough shaping

將粗切模型與精切模型進行疊加，對比齒面加工余量分布情況，如圖8所示。由圖8可知，傳統(tǒng)插削粗切后輪齒兩邊的加工余量明顯不均；勻化工藝插削粗切后輪齒兩邊的加工余量則較為均勻。

圖8 粗切模型齒面加工余量分布Fig.8 Distribution of tooth surface machining allowances of gear models of rough shaping

圖9中，A、D為節(jié)曲線與粗切齒廓的交點，B、C為節(jié)曲線與精切齒廓的交點，定義節(jié)曲線上AB、CD的弦長LAB、LCD分別為左右側齒廓的加工余量，則齒面加工余量不均勻度δ為

圖9 齒面加工余量不均勻度的定義Fig.9 Definition of non-uniformity of tooth surface machining allowances

三階橢圓齒輪具有周期對稱性，故取第一周期[0，2π 3]內的輪齒進行分析。利用非圓齒輪插齒CAM系統(tǒng)導出各輪齒粗切、精切齒廓與節(jié)曲線的交點坐標，求得各輪齒的齒面加工余量如表2所示。

表2 各輪齒齒面加工余量Tab.2 Tooth surface machining allowances of gears mm

將齒面加工余量代入式（18），得到傳統(tǒng)插削粗切加工的齒面加工余量不均勻度如圖10a所示，可以看出，均值為91.234 4%；勻化工藝插削粗切加工的齒面加工余量不均勻度如圖10b所示，可以看出，均值為2.760 6%，相較傳統(tǒng)插削的加工余量不均勻度降低了88.473 8%。仿真結果表明，所提齒面加工余量勻化工藝能夠極大地降低非圓齒輪齒面加工余量的不均勻度，該工藝方法正確、可行。

4 加工試驗驗證與齒面質量分析

4.1 齒面加工余量勻化工藝的試驗驗證

以ARM+DSP+FPGA開放式數控系統(tǒng)為平臺，利用柔性電子齒輪箱［12］技術開發(fā)高階橢圓齒輪的勻化工藝插削G代碼。G84的定義為G84其中A為半長軸，N為橢圓階數，K為偏心率，R為插刀節(jié)圓半徑，D為加工起始極角，S為剩余進刀量。加工流程如圖11所示。

圖10 齒面加工余量不均勻度分析Fig.10 Analyses of non-uniformity of tooth surface machining allowances

圖11 非圓齒輪插齒加工流程圖Fig.11 Flow chart of non-circular gear shaping

在YKS5132B數控插齒機上進行三階橢圓齒輪（齒輪、插刀參數見表1）加工試驗，如圖12所示。

圖12 三階橢圓齒輪加工試驗Fig.12 Machining experiments of third-order elliptical gears

采用傳統(tǒng)插削工藝與齒面加工余量勻化工藝分別進行粗切（加工余量2mm）、精切（無余量）加工。將加工所得三階橢圓齒輪置于TESA Micro-Hite 3D三坐標測量機上進行測繪，如圖13所示。

圖13 非圓齒輪齒廓測量Fig.13 Measurements of tooth profiles of non-circular gears

根據測量結果重建第一周期[0，2π 3]內粗切、精切齒廓，得齒面加工余量不均勻度如圖14所示，可以看出，采用所提齒面余量勻化工藝進行加工可將齒面加工余量不均勻度由110.21%降低至4.95%，能夠有效改善傳統(tǒng)非圓齒輪插削加工中的齒面加工余量分布不均問題。

圖14 齒面加工余量不均勻度分析Fig.14 Analyses of non-uniformity of tooth surface machining allowances

4.2 非圓齒輪齒面三維形貌檢測

將三階橢圓齒輪的3號輪齒置于TRMOS TR-SCAN微觀形貌測量儀上進行檢測，如圖15所示。

圖15 齒面三維微觀形貌測試Fig.15 3D micro-topography measurements of tooth surfaces

圖16a為傳統(tǒng)插削加工所得非圓齒輪的齒面三維形貌，可以看出，該齒面加工痕跡不均勻，齒面出現較多凹谷與刮痕，表面粗糙度較大；圖16b為勻化工藝插削加工所得非圓齒輪的齒面三維形貌，可以看出，該齒面加工痕跡較為均勻，齒面無明顯缺陷，表面粗糙度較小。檢測結果表明，勻化工藝插削加工所得非圓齒輪的齒面微觀形貌更好。

圖16 加工試驗所得齒輪的齒面三維形貌Fig.16 3D micro-topographies of the tooth surfaces obtained by machining experiments

4.3 非圓齒輪齒面形貌指標對比分析

以國際標準ISO25178和EUR15178N為依據，對傳統(tǒng)插削與勻化工藝插削的微觀性能進行分析。Sa是以表面粗造度Ra為面進行擴展的參數，表示相對于平均面各點高度差絕對值的平均值，可用來評估表面的粗糙度，如圖17所示。由圖17可以看出，勻化工藝插削所得非圓齒輪的Sa由3.18μm減小至1.26μm，小于傳統(tǒng)插削的Sa。功能性參數Sk為核心粗糙度深度，是分離出輪廓峰谷之后的核心輪廓的深度，Spk為平均輪廓峰高度，Svk為平均輪廓谷深度，三者可用來評估表面粗糙度輪廓的功能特性［13］，如圖18所示。由圖18可以看出，勻化工藝插削所得非圓齒輪的Sk、Svk較大，Spk較小，其粗糙度輪廓的耐磨性更高，初期磨損量更小，進而齒面性能更好。

圖17 高度參數對比圖Fig.17 Contrast chart of height parameter

圖18 功能性參數對比圖Fig.18 Contrast chart of function parameters

分析結果表明，采用所提齒面加工余量勻化工藝進行加工能夠顯著提高非圓齒輪加工精度與表面質量。

5 結論

（1）分析了非圓齒輪齒面加工余量分布不均的成因：徑向進給運動偏離齒坯節(jié)曲線法線方向，造成實際參與加工的齒坯節(jié)曲線與插刀節(jié)圓發(fā)生變化，從而產生齒面加工余量分布不均問題。

（2）提出了非圓齒輪齒面加工余量勻化工藝方法：建立了非圓齒輪勻化工藝插削聯動模型，通過實時調整展成加工時插刀與齒坯的幾何位置關系，實現了非圓齒輪插齒加工中齒面加工余量的勻化。

（3）對齒面加工余量勻化工藝進行了仿真分析和加工試驗，仿真結果表明，勻化工藝可將齒面加工余量不均勻度由91.234 4%降低至2.760 6%；加工試驗結果表明，勻化工藝可將齒面加工余量不均勻度由110.21%降低至4.95%，該工藝方法能夠有效勻化非圓齒輪齒面加工余量。

（4）對非圓齒輪進行了三維形貌檢測，檢測結果表明，采用齒面加工余量勻化工藝加工出的非圓齒輪齒面加工痕跡均勻、無缺陷，微觀形貌平整，齒面粗糙度小于傳統(tǒng)插削，粗糙度輪廓性能優(yōu)于傳統(tǒng)插削，該工藝方法能夠顯著提高非圓齒輪齒面質量。

研究工作對改善非圓齒輪插削加工中的齒面加工余量分布不均現象、提高齒輪加工精度與表面質量具有一定意義。該勻化工藝也可應用于加工原理相近的刮齒加工與基于插削聯動模型的成形磨齒加工中。

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（編輯 胡佳慧）

作者簡介：韓 江，男，1963年生，教授、博士研究生導師。研究方向為智能制造及裝備、現代數控技術與數控機床、齒輪精密制造技術。獲中國機械工業(yè)科學技術三等獎1項。出版專著和教材5部，發(fā)表論文100余篇。E-mail：jianghan@hfut.edu.cn。夏鏈（通信作者），女，1964年生，教授。研究方向為齒輪精密制造技術、智能制造技術與系統(tǒng)。E-mail：xialian@hfut.edu.cn。